【第七講義】 大域分岐
〔７．０〕質問 【質問】以下の分岐図において，(a)(b)(c)の余次元１分岐現象の名称を答えよ． (b) (a) (c)
〔７．０〕質問 A B 【質問】２次元写像の周期点の名称を答えよ （１）特性乗数が複素固有値である場合，３種類． （１）特性乗数が複素固有値である場合，３種類． （２）特性乗数が実固有値である場合，３種類． 【質問】以下の写像の局所分岐の退化・非退化条件を述べよ （１）写像のサドルノード分岐 （２）写像の周期倍分岐 （３）写像のHopf分岐 （４）ベクトル場のHopf分岐 【質問】２次元微分可能写像Fの相空間において安定ノードが１対存在する． このとき，ベーシン境界はいかなる構造になっているか考察せよ． A B 【質問】上記の２次元微分可能写像Fが１係数族Fpであり，Fpの構造が より単純になるならば，いかなる分岐現象が発生するか考察せよ．
〔７．１〕バウンダリクライシス 【定義：大域分岐】多様体間の絡み（コネクション）の組替えによって生じる分岐 を大域分岐という． 【定義：大域分岐】多様体間の絡み（コネクション）の組替えによって生じる分岐 を大域分岐という． 【定義：クライシス】ベーシン境界を形成するサドル型周期軌道の安定多様体と カオス的アトラクタ（不安定多様体）の接触による分岐現象をクライシスという． 【定義：バウンダリクライシス】クライシスによりカオス的アトラクタが消滅する 分岐現象をバウンダリクライシスという．
〔７．２〕インテリアクライシス 【定義：インテリアクライシス】クライシスによりカオス的アトラクタが拡大する 分岐現象をインテリアクライシスという．
〔７．３〕クライシスの例 ・インテリアクライシス ・バウンダリクライシス
〔７．４〕カオスへのルート ※カオスのルートの歴史的な推移 Landau-Hopfのルート：無限自由度の力学系が，無限回のHopf分岐を 発生して，無限のモード（連続スペクトル）を持つ乱流へ推移する． Ruelle-Takens-Newhouseのルート：４自由度以上の微分力学系が， ２回のHopf分岐を発生することで，カオスへ推移する． 準周期崩壊ルート，間欠ルート，周期倍分岐ルートのいずれかでカオスへ推移する．
〔７．５〕周期倍分岐・間欠ルートの例
qn+1 = Ksin(qn /2p) + W + qn mod 2p 〔７．６〕準周期崩壊ルート qn+1 = Ksin(qn /2p) + W + qn mod 2p K 1 1 1/2 W ●Arnoldの舌：W軸上の全ての有理数を頂点とする． ●臨界線：K=1上の準周期領域はCantor集合となる．