非自明な大域的構造を持つ 5次元ブラックホール解 松野　研（阪市大理）

2. Coalescence of 5D Black Holes 1. Introduction ( なぜ高次元か , 次元低下 , コンパクトな余剰次元を持つブラックホール , ... ) 2. Coalescence of 5D Black Holes ( 漸近構造の違いを調べる , ... ) 3. Geodesics and Massless Scalar Fields in Rotating GPS Monopole Spacetime ( Ergoregions , Penrose Processes , ... )

1. Introduction

空間 3次元 時間 1次元 我々は 4次元時空 に住んでいる 量子論と矛盾なく , 4種類の力を統一的に議論する 弦理論 超重力理論 余剰次元 の効果が顕著 高次元ブラックホール ( BH ) に注目 高次元時空 上の理論 高エネルギー現象 強重力場

次元低下 高次元時空 ⇒ 有効的に 4次元時空 Kaluza-Klein model “ とても小さく丸められていて見えない ” 高次元時空 ⇒ 有効的に 4次元時空 Kaluza-Klein model “ とても小さく丸められていて見えない ” Brane world model “行くことが出来ないため見えない” 余剰次元方向 余剰次元方向 4次元

“ Hybrid ” Brane world model Bulk Brane Brane Brane ( 4次元時空 ) : 物質 と 重力以外の力 が束縛 Bulk ( 高次元時空 ) : 重力のみ伝播 重力の逆2乗則から制限 ⇒ ( 余剰次元 ) ≦ 0.1 mm 加速器内で ミニ・ブラックホール 生成 ? ( 高次元時空の実験的検証 )

Large Scale Extra Dimension in Brane world model D次元時空 ( D ≧ 4 ) ( 余剰次元サイズ L ) : D次元重力定数 : D次元プランクエネルギー When EP,D ≒ TeV , D = 6

⇒ mc2 ≧ TeV ≒ (proton mass)×103 ミニ・ブラックホール ! ミニ・ブラックホールの形成条件 コンプトン波長 ブラックホール半径 [ 4次元 ] ≫ 1 GeV : 1 Proton [ D次元 ] 例. LHC 加速器内 : EP,D ≒ TeV ⇒ mc2 ≧ TeV ≒ (proton mass)×103 ミニ・ブラックホール !

5-dim. Black Objects [ 以降、5次元時空に注目 ] 4次元 : 定常 , 真空 , 漸近平坦 , Regular Horizon ( 境界条件 ) ⇒ Kerr BH with S2 horizon only 5次元　:　For above conditions ⇒ Variety of Horizon Topologies Black Rings ( S2×S1 ) Black Holes ( S3 )

Asymptotic Structures of Black Holes 4D Black Holes : Asymptically Flat 5D Black Holes : Variety of Asymptotic Structures ( time ) ( radial ) ( angular ) Asymptotically Flat : Asymptotically Locally Flat : : 5D Minkowski : Lens Space : 4D Minkowski + a compact dim. Kaluza-Klein Black Holes

Kaluza-Klein Black Holes 4次元 Minkowski Compact S1 [ 4次元 Minkowski と Compact S1 の直積 ] 4次元 Minkowski

Squashed Kaluza-Klein Black Holes Twisted S1 [ 4次元 Minkowski 上に Twisted S1 Fiber ] 4次元 Minkowski

異なる漸近構造を持つ5次元帯電ブラックホール解 5D 漸近平坦 BH ( Tangherlini ) 5D Kaluza-Klein BH ( Ishihara - Matsuno ) r+ r- r- r+ 4D Minkowski + a compact dim. 5D Minkowski

Two types of Kaluza-Klein BHs 同じ漸近構造 r- r+ r+ r- Point Singularity Stretched Singularity

Geodesics of massive particles 5D Sch. BH Squashed KK BH Stable circular orbit

2. ブラックホールの合体 [ PRD 76, 104037 (2007) ]

Study of Five-dimensional Black Holes Horizon Topologies Asymptotic Structures Five-dim. BHs : Variety of S3 , S3 / Zn ( Lens Space ), S2×S1 , … ex) Creation of Charged Rotating Multi-BHs in LHC ( Coalescence of these BHs ? ) Change of Horizon Topologies ? ( S3 + S3 ⇒ ? ) Distinguishable of Asymptotic Structures ? ( From Behavior of Horizon Areas ? )

2種類の漸近構造 ここでは 平坦空間上 Eguchi - Hanson 空間上 の 回転BH の 合体 : 5D Minkowski : Lens Space ここでは 平坦空間上 Eguchi - Hanson 空間上 の 回転BH の 合体

Multi-Black Holes Multi-BHs : ( mass ) = ( charge ) 重力場 (引力) とマックスウェル場 (斥力) のつりあい

Multi-Black Holes Time

( In “ dynamical ” Time slices ) 宇宙項 ( In “ dynamical ” Time slices ) Time

( In “ dynamical ” Time slices ) 時間反転 ( In “ dynamical ” Time slices ) Time

BHの合体 Time

BHの合体 ( In “ dynamical ” Time slices ) Time 合体前と合体後の Apparent Horizon

System 5D Einstein-Maxwell system with Chern-Simons term and positive cosmological constant

Rotating Solution on Eguchi-Hanson space Specified by ( m1 , m2 , j )

Three-sphere S3 ( S2 base ) ( twisted S1 fiber ) S1 S3 S2

Three-sphere S3 ( S2 base ) ( twisted S1 fiber ) S2×S1 S3

“special” Lens space L(n;1) = S3 / Zn ( S2 base ) ( S1 / Zn fiber ) S1 / Zn S1 S2 S3 S2 S3 / Zn ( ex. Changing of Horizon Areas )

Eguchi-Hanson space 4D Ricci Flat ( Rij = 0 ) z S2 - bolt 2 NUTs on S2 - bolt at ri = ( 0 , 0 , zi ) : 両極 ( Fixed point of ∂/∂ζ ) Asymptotic Structure ( r ~ ∞) : R1×S3 / Z2

Rotating Solution on Eguchi-Hanson space For Suitable ( m1 , m2 , j )

“ Mapping Rules ” of parameters ( mi , j ) ( 質量&角運動量 : 保存 ) [ 漸近的に Lens Space ( R1×R1×S3 / Z2 ) な時空 ] ( on EH space ) Early Time Late Time 2(m1 + m2) 8 j m1 , j m2 , j + S3 S3 S3 / Z2 [ 漸近平坦 ( R1×R1×S3 ) な時空 ] ( on Flat space ) m1 + m2 2 j m1 , j m2 , j + S3 S3 S3

“ Mapping Rules ” of parameters ( m , j ) m = m1 = m2 [ 漸近的に Lens Space ( R1×R1×S3 / Z2 ) な時空 ] ( on EH space ) Early Time Late Time 4 m 8 j m , j m , j + S3 S3 S3 / Z2 [ 漸近平坦 ( R1×R1×S3 ) な時空 ] ( on Flat space ) 2 m 2 j m , j m , j + S3 S3 S3

Comparison of Horizon Areas Early Time m , j m , j + S3 S3 Late Time 4 m 8 j 2 m 2 j S3 S3 / Z2 ( Lens space S3 / Z2 )

[ 漸近的に Lens Space ( R1×R1×S3 / Z2 ) な時空 ] Horizon Area の変化 [ 漸近的に Lens Space ( R1×R1×S3 / Z2 ) な時空 ] Early Time Late Time 4 m 8 j m , j m , j + S3 S3 S3 / Z2 [ 漸近平坦 ( R1×R1×S3 ) な時空 ] 2 m 2 j m , j m , j + S3 S3 S3

Comparison of Horizon Areas AEH(l) / AFlat(l) j2 / m3 j → 0 mλ2

Comparison of Horizon Areas AEH(l) / AFlat(l) | j → 0

Comparison of Horizon Areas AEH(l) / AFlat(l) λ→ 0 j2 / m3 mλ2

Comparison of Horizon Areas AEH(l) / AFlat(l) | λ→ 0

Conclusion We construct 5D new Rot. Multi-BH Sol.s on Eguchi-Hanson space Coalescence of Rotating BHs with Change of Horizon Topology : S3 ⇒ S3 / Z2 ( Lens Space ) Comparing with that on Flat space without change of Horizon Topology : S3 ⇒ S3 Horizon Areas の振る舞い 回転の影響 漸近構造を区別可能

3. Geodesics and Massless Scalar Fields in Rotating GPS Monopole Spacetime

Asymptotically KK Black Holes 例．5D Squashed Kerr - Gödel Black Holes [ PTP 121, 823 (2009) ] Kerr rotation “ a ” Gödel rotation “ j ” Two disconnected Ergoregions Background spacetime : Rotating GPS monopole 2 Parameters BH

Asymptotically KK Black Holes 例. Rot. Multi - BHs with Gödel parameter [ PRD 78, 064016 (09) ] Various shapes of Ergoregions Background spacetime : Rotating GPS monopole BH BH

回転パラメータの変化

BH間の距離の変化

測地線 スカラー場の伝播 ( ⇒ スカラー場摂動に対する安定性 … ) 背景時空を特徴付ける テスト粒子 スカラー場 Rot. GPS monopole 内の の有効pot.の振る舞い

Rotating GPS Monopole

System 5D Einstein-Maxwell system with Chern-Simons term

Rotating GPS monopole Stationary & SO(3)×U(1) symmetry Regular & No Closed Timelike Curve ( CTC )

Asymptotic structures ρ → 0 ( 5D Minkowski ) ρ → ∞ ( 4D Minkowski + twisted S1 fiber )

Killing vectors ( Always Timelike ) Identify

No unique timelike Killing vec. at ρ = ∞ (∵ compact S1 ) Killing vectors Identify No unique timelike Killing vec. at ρ = ∞ (∵ compact S1 )

Ergoregion Ergoregions ⇔ ρ

Particle Geodesics

Geodesics

Effective potentials

Effective potentials V+ V+ V- V- 逆回転 ( j >0 , L >0 )

Null particles ( L ≠ 0 ) ( L = 0 ) V+ V+ = V- = 0 V- Ergoregion 内に 負エネルギー の 束縛軌道

V+ Penrose Process E+δE δE E δE エルゴ領域内で 分裂 ⇒ 負エネルギー粒子が 円軌道 に貯まる Ergoregion エルゴ領域内で 分裂 ⇒ 負エネルギー粒子が 円軌道 に貯まる

無限遠の Energy Gap V+ V+ V- 束縛軌道 V- 軸対称形 非対称形 例. superradiance の議論 Null 粒子の KK 運動量 L ⇔ Massive 粒子の energy gap Massive particles ( L = 0 ) Null particles ( L ≠ 0 ) V+ V+ V- 束縛軌道 Ergoregion Ergoregion V- 軸対称形 非対称形

入射粒子 と 回転方向 V+ V+ V- V- 貯まってくる 抜けていく Null particles ( 逆回転 ) Ergoregion Ergoregion V- V- 貯まってくる 抜けていく

Massless Scalar Fields

Massless Scalar Fields Klein-Gordon equation anzats ⇒　変数分離可能

角度成分 S(θ) Spin-weighted spherical function

動径成分 R(ρ) (R ⇒ R / ρ )

Massless scalars ( λ = l = 1 ) U+ 負エネルギーのスカラー場 Ergoregion U- No Level Crossing

Conclusion テスト粒子 スカラー場 Ergoregion 内に 束縛状態 ⇒ Penrose Process ... 　　　　　　　　　　　　　　テスト粒子 　　　　　　　　　　　　　　スカラー場 Ergoregion 内に 束縛状態 ⇒ Penrose Process ... No Level Crossing ⇒ Stable scalar fields ... Rot. GPS monopole 時空内の の振る舞い

Discussions

Squashed Kerr-Gödel Black Holes Discussion (1) Squashed Kerr-Gödel Black Holes

Discussion (1) Rotating GPS Monopole V+ V-

Discussion (1) Squashed Kerr-Gödel Black Holes V+ rH V- Superradiant Instability ... ?

Discussion (2) Squashed Transformation ? Asymptotically Flat Asymptotically Kaluza-Klein GPS monopole ( self-dual Taub-NUT space + time )

Discussion (2) Eguchi-Hanson space + time Asymptotically Flat Asymptotically Lens Space Eguchi-Hanson space + time

“ Double Transformation ” Discussion (2) “ Double Transformation ” No Curvature Singularity Conical Singularities … ?

More Higher-dimensions Discussion (2) More Higher-dimensions S3 : S1 bundle over CP1 ・・・ S2n+1 : S1 bundle over CPn Ex) S7 : S1 bundle over CP3

Discussion (2) Black Objects … Kasner spacetime ( Bianchi types ) … Dynamical ( Rotating ) BHs without Λ

Ex) Wald Solutions ( vacuum background ) Discussion (3) Test Maxwell Fields Ex) Wald Solutions ( vacuum background ) Kerr BH in Uniform Magnetic Field “ Misner effect ” for extreme BH 最内部安定円軌道 ( ISCO ) BH

Discussion (3) Black Strings in … Black Rings in … ( Charged ) squashed KK BH in …