潜在変数に交互作用がある 構造方程式モデル（共分散構造モデル）： 二段階最小二乗推定値 Kenneth A. Bollen University of North Carolina at Chapel Hill 本講演のテクニカルな内容は以下の論文を参照されたい Bollen(1995). Structural Equation Models that are Nonlinear in Latent Variables: A least Squares Approach, In Sociological Methodology (P.M. Marsden ed.).

問題 非線型な関係 回帰モデルはこれらを扱うことができる 収入と工業化は，逆U字形の関係 生活満足度は，収入×健康度に影響される 収入は，年齢の非線型関数 回帰モデルはこれらを扱うことができる

暗に（独立変数に）測定誤差がないことが仮定されている たとえ誤差がランダムであったとしてもOLS（通常の最小二乗推定値）に偏りを生じさせる どのようにして測定誤差を許すモデルを導入するか Busemeyer-Jones(1983)：信頼性係数を既知とした 単一指標のモデル Kenny-Judd(1984):多重指標モデル＋非線型制約 欠点 a. 有意性検定ができない b. 推定値などの分布が分からない c. コンピュータプログラムの作成が難しい

本講演の目的 １．潜在変数や観測変数の非線型関数をモデルに含めるための一般的な枠組みを与える ２．Bollen（1995）による二段階最小二乗推定値(2SLS)の利用 a. 簡単で使いやすい b. 漸近的な分布の性質が分かっている c. 正規性の仮定に依存しない ３．適用例

先行研究 Busemeyer-Jones(1983)

限界（Limitations） １．一つの潜在変数に対して一つの指標（観測変数）しかない ２．誤差分散が既知でないといけない ３．有意性検定ができない ４．切片項の推定ができない ５．正規性の仮定が必要 ６．ロバストネス（頑健性）が未知 改良の試み： Feucht(1989), Fuller(1980) は上記３と５を議論 しかし，結果は数値実験によるものであり魅力的ではない

先行研究（続） Kenny-Judd(1984)の方法 １．多重指標（複数個の観測変数）が扱える

Kenny-Judd(1984)の方法（続） 線形・非線型制約を置いて推定値を求めることが必要 e.g., (12)式では， と の因子負荷が（ に）等しい e.g., (14)式では， 係数に非線型制約が入る．また

限界（Liminations） １．正規性が崩れたときに何が起こるか，（潜在変数が）独立でないとき何が起こるかが不明 ２．積の項をつくることで変数が増大する ３．生データではなく中心化したデータ（deviation scores）を扱っている

新しいモデルと推定値

『reduced formとは』 y の定義式などを 代入することで u や v を独立変数で 表すこと

Kenny-Judd の例による説明

図1．積の項による交互作用 （測定モデル） 英語版をご覧ください

積の項による交互作用 （測定モデル）

図２．２乗の項を持つ 潜在変数モデル 英語版をご覧ください

２乗の項を持つ潜在変数モデル

操作変数の評価 １．方程式の右辺の変数と同数の操作変数（IVs）が必要 方程式の識別問題に関連する ２．操作変数（IVs）がよりたくさんあれば，操作変数の適切性を検定できる ある操作変数（IVs）が誤差項と相関しているかどうかの検定 ３．操作変数（IVs）がどの程度，従属変数を予測できるかを測ることができる 第一段階の推定から得られるR２ R２が低ければ，IVsのクオリティは低い

表１．ブッシュ大統領に対する 好感度(feeling)のモデル(N=1944) 潜在変数 L1=回答者の経済状態の自己知覚 L2=民主党との一体感 L3=L2*y1 L4=ブッシュ大統領に対する好感度 観測変数 y1=教育年数 y2=1 男性 0 女性 y3=1 アフリカ系アメリカ人 0 その他 y4=log(1991年の家族の税込み総収入) y5=1 やむを得ず購入を延期したことがある 0 ない 次スライドへ 続く

y6=1 やむを得ず通院を延期したことがある 0 ない y7=1 やむを得ずお金を借りたことがある 0 ない 全ての変数は，1992年国政選挙研究からのもの （ICPSRから入手可能）

補足スライド：ICPSRとは 全ての変数は，1992年国政選挙研究からのもの（ICPSRから入手可能） ICPSR とは次の略語：The Inter-university Consortium for Political and Social Research http://www.icpsr.umich.edu/ cgi/ab.prl?file=6230

図３．ブッシュ大統領に対する 好感度のモデル：積による交互作用の導入 英語版をご覧ください 画質が悪いので 英語版スライドか 元論文 Bollen 1995 ２４３頁をご覧ください

実データの解析：ブッシュ大統領への好感度

SAS 入力ファイル： Data two; set one; proc reg; model y12=y1--y11 y13 y15 y13y1 output out=three p=y12hat; data four; set three; y12haty1=y12hat*y1; proc syslin 2sls; endogenous y16 y14 y12 y12y1; instruments y1--y11 y13 y15 y13y1 y12haty1; model y16=y14 y12 y12y1 y1 y3; 次スライドへ 続く

SAS 入力ファイル(続) ＊データ名を “one.” と指定してからSASプログラムを走らせる．最後の４行が，２SLSによる推定値をもとめるための鍵ステートメントである．

結論 非線型潜在変数をもつモデルを推定する新しい方法を提案した 望ましい性質 一致推定量 推定量の漸近分布が既知 非正規分布への対応 　一致推定量 　推定量の漸近分布が既知 　非正規分布への対応 　有意性検定が可能 　SASなどの２SLS法をサポートするソフトウェア が利用可能

表２．潜在変数の非線型関数への方法の比較： Kenny-Judd (1988) versus 2SLS 次スライドへ 続く 次スライドへ

Kenny-Judd(1988) versus 2SLS