今回からは、位相の合っているものと位相のずれているもので色分けします。 電気回路第1スライド7-1 電気回路第1　第7回 －RL並列回路－ 今回からは、位相の合っているものと位相のずれているもので色分けします。 目次 ２前回の復習 ３RL並列回路1－並列回路電流を足す－ ４RL並列回路2－合計の電流－ ５RC直列回路１－直列回路電圧を足す－ ６RC直列回路2 ７sinとcosを加えて（復習） ８RLC直列回路(イントロ） ９今日のまとめ

今回からは、位相の合っているものと位相のずれているもので色分けします。 電圧はそのまま。 iL RL並列回路１ 並列回路 電流をたす。 → iR + iL e = eR = eL eL e i i = 電気回路第1　第7回 －RL並列回路－ 今回からは、位相の合っているものと位相のずれているもので色分けします。 前回の復習 電気回路第1スライド7-2-1 正弦波交流 電圧（電流）がsin(ωt+θ) 時間 電圧 ０ ①正弦波交流として、電圧と電流のカーブを考える。 ②抵抗回路は、電圧と電流が同相。電力は、実効値の積。 ③インダクタンス回路では波形が左に動き、電圧が進む。 ④出たり入ったりで電力消費なし。 ⑤ωLが誘導リアクタンス。 ⑥キャパシタンス回路では電圧が右に動いて90゜遅れ。 ⑦Lと同様1/ωCが│E│＝│I│/ωC。電力はゼロ。 ！ 前回の演習問題の解答 です。

今回からは、位相の合っているものと位相のずれているもので色分けします。 電圧はそのまま。 iL RL並列回路１ 並列回路 電流をたす。 → iR + iL e = eR = eL eL e i i = 電気回路第1　第7回 －RL並列回路－ 今回からは、位相の合っているものと位相のずれているもので色分けします。 前回の復習 電気回路第1スライド7-2-2 正弦波交流 電圧（電流）がsin(ωt+θ) 時間 電圧 ０ 抵抗回路 電圧と電流は同相 電力は実効値の積で │I││E│ 時間 電流 ０ ①正弦波交流として、電圧と電流のカーブを考える。 ②抵抗回路は、電圧と電流が同相。電力は、実効値の積。 ③インダクタンス回路では波形が左に動き、電圧が進む。 ④出たり入ったりで電力消費なし。 ⑤ωLが誘導リアクタンス。 ⑥キャパシタンス回路では電圧が右に動いて90゜遅れ。 ⑦Lと同様1/ωCが│E│＝│I│/ωC。電力はゼロ。 ！ 前回の演習問題の解答 です。

今回からは、位相の合っているものと位相のずれているもので色分けします。 電圧はそのまま。 iL RL並列回路１ 並列回路 電流をたす。 → iR + iL e = eR = eL eL e i i = 電気回路第1　第7回 －RL並列回路－ 今回からは、位相の合っているものと位相のずれているもので色分けします。 前回の復習 電気回路第1スライド7-2-3 正弦波交流 電圧（電流）がsin(ωt+θ) 時間 電圧 ０ 抵抗回路 電圧と電流は同相 インダクタンス回路 電圧が90゜進む 時間 電流 ０ ①正弦波交流として、電圧と電流のカーブを考える。 ②抵抗回路は、電圧と電流が同相。電力は、実効値の積。 ③インダクタンス回路では波形が左に動き、電圧が進む。 ④出たり入ったりで電力消費なし。 ⑤ωLが誘導リアクタンス。 ⑥キャパシタンス回路では電圧が右に動いて90゜遅れ。 ⑦Lと同様1/ωCが│E│＝│I│/ωC。電力はゼロ。 前回の演習問題の解答 です。 ！

今回からは、位相の合っているものと位相のずれているもので色分けします。 電圧はそのまま。 iL RL並列回路１ 並列回路 電流をたす。 → iR + iL e = eR = eL eL e i i = 電気回路第1　第7回 －RL並列回路－ 今回からは、位相の合っているものと位相のずれているもので色分けします。 前回の復習 電気回路第1スライド7-2-4 正弦波交流 電圧（電流）がsin(ωt+θ) 電力 時間 電圧 ０ も 抵抗回路 電圧と電流は同相 の平均で、 インダクタンス回路 電圧が90゜進む 時間 電流 ０ 位相がずれて電力が出たり入ったりして 電力消費ゼロ ①正弦波交流として、電圧と電流のカーブを考える。 ②抵抗回路は、電圧と電流が同相。電力は、実効値の積。 ③インダクタンス回路では波形が左に動き、電圧が進む。 ④出たり入ったりで電力消費なし。 ⑤ωLが誘導リアクタンス。 ⑥キャパシタンス回路では電圧が右に動いて90゜遅れ。 ⑦Lと同様1/ωCが│E│＝│I│/ωC。電力はゼロ。 ！ 前回の演習問題の解答 です。

今回からは、位相の合っているものと位相のずれているもので色分けします。 電圧はそのまま。 iL RL並列回路１ 並列回路 電流をたす。 → iR + iL e = eR = eL eL e i i = 電気回路第1　第7回 －RL並列回路－ 今回からは、位相の合っているものと位相のずれているもので色分けします。 前回の復習 電気回路第1スライド7-2-5 正弦波交流 電圧（電流）がsin(ωt+θ) 電力 時間 電圧 ０ 抵抗回路 電圧と電流は同相 インダクタンス回路 電圧が90゜進む 電圧と電流の比は 誘導リアクタンスωL 時間 電流 ０ ①正弦波交流として、電圧と電流のカーブを考える。 ②抵抗回路は、電圧と電流が同相。電力は、実効値の積。 ③インダクタンス回路では波形が左に動き、電圧が進む。 ④出たり入ったりで電力消費なし。 ⑤ωLが誘導リアクタンス。 ⑥キャパシタンス回路では電圧が右に動いて90゜遅れ。 ⑦Lと同様1/ωCが│E│＝│I│/ωC。電力はゼロ。 前回の演習問題の解答 です。 ！

今回からは、位相の合っているものと位相のずれているもので色分けします。 電圧はそのまま。 iL RL並列回路１ 並列回路 電流をたす。 → iR + iL e = eR = eL eL e i i = 電気回路第1　第7回 －RL並列回路－ 今回からは、位相の合っているものと位相のずれているもので色分けします。 前回の復習 電気回路第1スライド7-2-6 正弦波交流 電圧（電流）がsin(ωt+θ) 電圧 電力 時間 電圧 ０ 抵抗回路 電圧と電流は同相 インダクタンス回路 電圧が90゜進む 誘導リアクタンスωL 時間 電流 ０ キャパシタンス回路 電圧が90゜遅れる ①正弦波交流として、電圧と電流のカーブを考える。 ②抵抗回路は、電圧と電流が同相。電力は、実効値の積。 ③インダクタンス回路では波形が左に動き、電圧が進む。 ④出たり入ったりで電力消費なし。 ⑤ωLが誘導リアクタンス。 ⑥キャパシタンス回路では電圧が右に動いて90゜遅れ。 ⑦Lと同様1/ωCが│E│＝│I│/ωC。電力はゼロ。 ！ 前回の演習問題の解答 です。

今回からは、位相の合っているものと位相のずれているもので色分けします。 電圧はそのまま。 iL RL並列回路１ 並列回路 電流をたす。 → iR + iL e = eR = eL eL e i i = 電気回路第1　第7回 －RL並列回路－ 今回からは、位相の合っているものと位相のずれているもので色分けします。 前回の復習 電気回路第1スライド7-2-7 正弦波交流 電圧（電流）がsin(ωt+θ) 電圧 電力 時間 電圧 ０ 抵抗回路 電圧と電流は同相 インダクタンス回路 電圧が90゜進む 誘導リアクタンスωL 時間 電流 ０ キャパシタンス回路 電圧が90゜遅れる 電力 ゼロ 1 ― ωC 電圧と電流の比は 容量リアクタンス ①正弦波交流として、電圧と電流のカーブを考える。 ②抵抗回路は、電圧と電流が同相。電力は、実効値の積。 ③インダクタンス回路では波形が左に動き、電圧が進む。 ④出たり入ったりで電力消費なし。 ⑤ωLが誘導リアクタンス。 ⑥キャパシタンス回路では電圧が右に動いて90゜遅れ。 ⑦Lと同様1/ωCが│E│＝│I│/ωC。電力はゼロ。 前回の演習問題の解答 です。 ！

？ RL並列回路１ RL並列回路は、 のように、 抵抗R と インダクタンスL を 並列に接続した回路です。 時間 電圧 ０ RL並列回路２ ー合計の電流ー 電流 iL iR インダクタと抵抗の 電流（正弦波）を 合計すると、 I＝ILｍ sin(ωt+θ) 　　＋ IRｍ cos(ωt+θ) ＝ √ ILｍ2 ＋ IRｍ2　sin(ωt+θ +φ) 電圧が90゜進む 前回の復習 正弦波交流 電圧（電流）がsin(ωt+θ) 抵抗回路 電圧と電流は同相 時間 電流 ０ インダクタンス回路 誘導リアクタンスωL キャパシタンス回路 電圧が90゜遅れる 電圧 容量リアクタンス 電力 ゼロ 1 ― ωC RL並列回路１ 電気回路第1スライド7-3-1 RL並列回路は、 のように、 抵抗R と インダクタンスL を 並列に接続した回路です。 並列回路の基本的な考え方から述べます。 ①抵抗RとインダクタンスLを並列に接続します。 ②例のキルヒホッフの法則から並列なら電流を足す。 ③電圧は全部同じeです。 並列回路の復習 ？

？ i = iR + iL RL並列回路１ i iL iR 並列回路 → 電流をたす。 です。 RL並列回路２ ー合計の電流ー 前回の復習 時間 電圧 ０ RL並列回路２ ー合計の電流ー 電流 iL iR インダクタと抵抗の 電流（正弦波）を 合計すると、 I＝ILｍ sin(ωt+θ) 　　＋ IRｍ cos(ωt+θ) ＝ √ ILｍ2 ＋ IRｍ2　sin(ωt+θ +φ) 電圧が90゜進む 前回の復習 正弦波交流 電圧（電流）がsin(ωt+θ) 抵抗回路 電圧と電流は同相 時間 電流 ０ インダクタンス回路 誘導リアクタンスωL キャパシタンス回路 電圧が90゜遅れる 電圧 容量リアクタンス 電力 ゼロ 1 ― ωC RL並列回路１ 電気回路第1スライド7-3-2 i iL 並列回路 → 電流をたす。 iR i = iR + iL です。 ①抵抗RとインダクタンスLを並列に接続します。 ②例のキルヒホッフの法則から並列なら電流を足す。 ③電圧は全部同じeです。 並列回路の復習 ？

？ iR + iL i = eR eL e = eR = eL RL並列回路１ i iL iR 並列回路 電流をたす。 → ですが、 e → 時間 電圧 ０ RL並列回路２ ー合計の電流ー 電流 iL iR インダクタと抵抗の 電流（正弦波）を 合計すると、 I＝ILｍ sin(ωt+θ) 　　＋ IRｍ cos(ωt+θ) ＝ √ ILｍ2 ＋ IRｍ2　sin(ωt+θ +φ) 電圧が90゜進む 前回の復習 正弦波交流 電圧（電流）がsin(ωt+θ) 抵抗回路 電圧と電流は同相 時間 電流 ０ インダクタンス回路 誘導リアクタンスωL キャパシタンス回路 電圧が90゜遅れる 電圧 容量リアクタンス 電力 ゼロ 1 ― ωC RL並列回路１ 電気回路第1スライド7-3-3 i iL iR 並列回路 電流をたす。 → iR + iL ですが、 i = e eR eL → 電圧はそのまま。 e = eR = eL です。 ①抵抗RとインダクタンスLを並列に接続します。 ②例のキルヒホッフの法則から並列なら電流を足す。 ③電圧は全部同じeです。 並列回路の復習 ？

？ ！ RL並列回路２ ー合計の電流ー 電流のグラフを合成してみましょう。 先ほどの この回路で RL並列回路１ RC直列回路１ iR 電圧はそのまま。 iL RL並列回路１ 並列回路 電流をたす。 → iR + iL e = eR = eL eL e i i = RC直列回路１ ―直列回路電圧を足す― 抵抗RとキャパシタンスCを直列接続 直列回路では電圧を足し、電流は１つです。 すなわち e ＝ eR ＋ eC で、 i ＝ iR ＝ iC です。 ですから、まず電流を設定しましょう。 i ＝ Im sin（ωt+θ）　次で、電圧を計算します。 eR eC RL並列回路２ ー合計の電流ー 電気回路第1スライド7-4-1 先ほどの 電流のグラフを合成してみましょう。 この回路で ①先ほどの回路の電流をグラフ上で合成します。 ②電圧のグラフより遅れ位相の電流をプロット。 ③抵抗の同相の電流のグラフを移動。 ④黄色と赤を合成し中間の位置に少し大きい正弦波。 ⑤sinとcosを合成すると面倒な式で、電圧は少し進む。 ？ sin+cosの計算について ！ 足した結果のsinと位相の 変化について

？ ！ RL並列回路２ ー合計の電流ー iL 電流 時間 ０ 電流のグラフを合成してみましょう。 電圧 時間 ０ 電圧はそのまま。 iL RL並列回路１ 並列回路 電流をたす。 → iR + iL e = eR = eL eL e i i = RC直列回路１ ―直列回路電圧を足す― 抵抗RとキャパシタンスCを直列接続 直列回路では電圧を足し、電流は１つです。 すなわち e ＝ eR ＋ eC で、 i ＝ iR ＝ iC です。 ですから、まず電流を設定しましょう。 i ＝ Im sin（ωt+θ）　次で、電圧を計算します。 eR eC RL並列回路２ ー合計の電流ー 電気回路第1スライド7-4-2 電流 時間 ０ iL 電流のグラフを合成してみましょう。 電圧 時間 ０ インダクタンスの電流は前のグラフで、 の電圧に対して ①先ほどの回路の電流をグラフ上で合成します。 ②電圧のグラフより遅れ位相の電流をプロット。 ③抵抗の同相の電流のグラフを移動。 ④黄色と赤を合成し中間の位置に少し大きい正弦波。 ⑤sinとcosを合成すると面倒な式で、電圧は少し進む。 ？ sin+cosの計算について 足した結果のsinと位相の 変化について ！

？ ！ RL並列回路２ ー合計の電流ー iL iR 電流 時間 ０ 電流のグラフを合成してみましょう。 電圧 時間 ０ 電圧はそのまま。 iL RL並列回路１ 並列回路 電流をたす。 → iR + iL e = eR = eL eL e i i = RC直列回路１ ―直列回路電圧を足す― 抵抗RとキャパシタンスCを直列接続 直列回路では電圧を足し、電流は１つです。 すなわち e ＝ eR ＋ eC で、 i ＝ iR ＝ iC です。 ですから、まず電流を設定しましょう。 i ＝ Im sin（ωt+θ）　次で、電圧を計算します。 eR eC RL並列回路２ ー合計の電流ー 電気回路第1スライド7-4-3 電流 時間 ０ iL 電流のグラフを合成してみましょう。 iR 電圧 時間 ０ インダクタンスの電流は前のグラフで、 抵抗の電流は電圧と同位相だから、 ①先ほどの回路の電流をグラフ上で合成します。 ②電圧のグラフより遅れ位相の電流をプロット。 ③抵抗の同相の電流のグラフを移動。 ④黄色と赤を合成し中間の位置に少し大きい正弦波。 ⑤sinとcosを合成すると面倒な式で、電圧は少し進む。 ？ sin+cosの計算について ！ 足した結果のsinと位相の 変化について

？ ！ RL並列回路２ ー合計の電流ー iL iR 電流 時間 ０ インダクタと抵抗の電流（正弦波）を合計すると、 電圧 時間 ０ 電圧はそのまま。 iL RL並列回路１ 並列回路 電流をたす。 → iR + iL e = eR = eL eL e i i = RC直列回路１ ―直列回路電圧を足す― 抵抗RとキャパシタンスCを直列接続 直列回路では電圧を足し、電流は１つです。 すなわち e ＝ eR ＋ eC で、 i ＝ iR ＝ iC です。 ですから、まず電流を設定しましょう。 i ＝ Im sin（ωt+θ）　次で、電圧を計算します。 eR eC RL並列回路２ ー合計の電流ー 電気回路第1スライド7-4-4 電流 時間 ０ iL インダクタと抵抗の電流（正弦波）を合計すると、 iR 電圧 時間 ０ ①先ほどの回路の電流をグラフ上で合成します。 ②電圧のグラフより遅れ位相の電流をプロット。 ③抵抗の同相の電流のグラフを移動。 ④黄色と赤を合成し中間の位置に少し大きい正弦波。 ⑤sinとcosを合成すると面倒な式で、電圧は少し進む。 ？ sin+cosの計算について ！ 足した結果のsinと位相の 変化について

？ ！ RL並列回路２ ー合計の電流ー iL iR i＝IRm sin(ωt+θ) － ILm cos(ωt+θ) 電圧はそのまま。 iL RL並列回路１ 並列回路 電流をたす。 → iR + iL e = eR = eL eL e i i = RC直列回路１ ―直列回路電圧を足す― 抵抗RとキャパシタンスCを直列接続 直列回路では電圧を足し、電流は１つです。 すなわち e ＝ eR ＋ eC で、 i ＝ iR ＝ iC です。 ですから、まず電流を設定しましょう。 i ＝ Im sin（ωt+θ）　次で、電圧を計算します。 eR eC RL並列回路２ ー合計の電流ー 電気回路第1スライド7-4-5 電流 時間 ０ iL インダクタと抵抗の電流（正弦波）を合計すると、 iR 電圧 時間 ０ i＝IRm sin(ωt+θ) 　　－ ILm cos(ωt+θ) ＝ √ IRm２ ＋ ILm２　 sin(ωt+θ－φ) とかけます。 ①先ほどの回路の電流をグラフ上で合成します。 ②電圧のグラフより遅れ位相の電流をプロット。 ③抵抗の同相の電流のグラフを移動。 ④黄色と赤を合成し中間の位置に少し大きい正弦波。 ⑤sinとcosを合成すると面倒な式で、電圧は少し進む。 ？ sin+cosの計算について 足した結果のsinと位相の 変化について ！

？ RC直列回路１ ―直列回路電圧を足す― RC直列回路は、 を直列接続 抵抗R とキャパシタンスC 抵抗R とキャパシタンスC 時間 電圧 ０ RL並列回路２ ー合計の電流ー 電流 iL iR インダクタと抵抗の 電流（正弦波）を 合計すると、 I＝ILｍ sin(ωt+θ) 　　＋ IRｍ cos(ωt+θ) ＝ √ ILｍ2 ＋ IRｍ2　sin(ωt+θ +φ) RC直列回路２ ER EC 　ER ＝ ImR sin（ωt+θ） 　EC ＝ e ＝ ER ＋ EC Im ー ― cos（ωt+θ） ωC ∫ ＝― C －cos（ωt+θ） × ω 　＝ ImR sin（ωt+θ） 　i ＝ Im sin（ωt+θ） 1 ― idt RC直列回路１ 電気回路第1スライド7-5-1 ―直列回路電圧を足す― RC直列回路は、 を直列接続 抵抗R とキャパシタンスC 抵抗R とキャパシタンスC 並列回路だと電流をたしましたが、… のように、 ①今度は、黄色の抵抗と赤のキャパシタンスを直列接続。 ②直列回路は逆で、電圧を足し、電流は一個です。 ③そこで電流をImsin（ωｔ+θ）とします。 直列回路について （不要なリンクだと思い ますが。） ？

？ RC直列回路１ ―直列回路電圧を足す― eR を直列接続 抵抗R とキャパシタンスC 直列回路では電圧を足し、電流は１つです。 時間 電圧 ０ RL並列回路２ ー合計の電流ー 電流 iL iR インダクタと抵抗の 電流（正弦波）を 合計すると、 I＝ILｍ sin(ωt+θ) 　　＋ IRｍ cos(ωt+θ) ＝ √ ILｍ2 ＋ IRｍ2　sin(ωt+θ +φ) RC直列回路２ ER EC 　ER ＝ ImR sin（ωt+θ） 　EC ＝ e ＝ ER ＋ EC Im ー ― cos（ωt+θ） ωC ∫ ＝― C －cos（ωt+θ） × ω 　＝ ImR sin（ωt+θ） 　i ＝ Im sin（ωt+θ） 1 ― idt RC直列回路１ 電気回路第1スライド7-5-2 ―直列回路電圧を足す― eR を直列接続 抵抗R とキャパシタンスC 直列回路では電圧を足し、電流は１つです。 電流は１つ すなわち e ＝ eR ＋ eC で、 i ＝ iR ＝ iC です。 eC ①今度は、黄色の抵抗と赤のキャパシタンスを直列接続。 ②直列回路は逆で、電圧を足し、電流は一個です。 ③そこで電流をImsin（ωｔ+θ）とします。 ？ 直列回路について （不要なリンクだと思い ますが。）

？ RC直列回路１ ―直列回路電圧を足す― eR eC を直列接続 抵抗R とキャパシタンスC 直列回路では電圧を足し、電流は１つです。 時間 電圧 ０ RL並列回路２ ー合計の電流ー 電流 iL iR インダクタと抵抗の 電流（正弦波）を 合計すると、 I＝ILｍ sin(ωt+θ) 　　＋ IRｍ cos(ωt+θ) ＝ √ ILｍ2 ＋ IRｍ2　sin(ωt+θ +φ) RC直列回路２ ER EC 　ER ＝ ImR sin（ωt+θ） 　EC ＝ e ＝ ER ＋ EC Im ー ― cos（ωt+θ） ωC ∫ ＝― C －cos（ωt+θ） × ω 　＝ ImR sin（ωt+θ） 　i ＝ Im sin（ωt+θ） 1 ― idt RC直列回路１ 電気回路第1スライド7-5-3 ―直列回路電圧を足す― eR eC を直列接続 抵抗R とキャパシタンスC 直列回路では電圧を足し、電流は１つです。 電流は１つ すなわち e ＝ eR ＋ eC で、 i ＝ iR ＝ iC です。 ですから、まず電流を設定しましょう。 　i ＝ Im sin（ωt+θ） 次で、電圧を計算します。 ①今度は、黄色の抵抗と赤のキャパシタンスを直列接続。 ②直列回路は逆で、電圧を足し、電流は一個です。 ③そこで電流をImsin（ωｔ+θ）とします。 ？ 直列回路について （不要なリンクだと思い ますが。）

？ RC直列回路2 先ほどの回路で i ＝ Im sin（ωt+θ） ここで電圧を足します。 sinとcosを加えて(復習） RC直列回路１ － ― cos（ωt+θ） ωC e ＝ Im R sin（ωt+θ） sinとcosを加えて(復習） φ＝tan-1 ωCR 1 ＝ Im 　R2 ＋（1/ωC）2 sin（ωt+θーφ） √ 時間 ０ となってグラフは と少し遅れた位 相になります。 電圧 次に式で 合成すると… RC直列回路１ ―直列回路電圧を足す― 抵抗RとキャパシタンスCを直列接続 直列回路では電圧を足し、電流は１つです。 すなわち e ＝ eR ＋ eC で、 i ＝ iR ＝ iC です。 ですから、まず電流を設定しましょう。 i ＝ Im sin（ωt+θ）　次で、電圧を計算します。 eR eC RC直列回路2 電気回路第1スライド7-6-1 先ほどの回路で 電流を、 電流を、 　i ＝ Im sin（ωt+θ） ここで電圧を足します。 ①電流をImsinと決めたので、電圧を足します。 ②黄色の抵抗の電圧はオームの法則で、iRです。 ③キャパシタンスの電圧は、i=CdV/dtを積分する。 ④電流の積分をCで割ったものが電圧。 ⑤積分を計算し、sinがマイナスcosになり、ωで割る。 ⑥二つを足し、eはsinから分母付いたのcosを引いたもの。 ？ sin+cosの計算について

？ RC直列回路2 i ＝ Im sin（ωt+θ） ここで電圧を足します。 eR 抵抗Rにかかる電圧は、eR ＝ iR でよくて － ― cos（ωt+θ） ωC e ＝ Im R sin（ωt+θ） sinとcosを加えて(復習） φ＝tan-1 ωCR 1 ＝ Im 　R2 ＋（1/ωC）2 sin（ωt+θーφ） √ 時間 ０ となってグラフは と少し遅れた位 相になります。 電圧 次に式で 合成すると… RC直列回路１ ―直列回路電圧を足す― 抵抗RとキャパシタンスCを直列接続 直列回路では電圧を足し、電流は１つです。 すなわち e ＝ eR ＋ eC で、 i ＝ iR ＝ iC です。 ですから、まず電流を設定しましょう。 i ＝ Im sin（ωt+θ）　次で、電圧を計算します。 eR eC RC直列回路2 電気回路第1スライド7-6-2 eR 　i ＝ Im sin（ωt+θ） ここで電圧を足します。 抵抗Rにかかる電圧は、eR ＝ iR でよくて 　eR ＝ ImR sin（ωt+θ） ただのオームの法則、もちろん 位相も変わらず、そのままのsin ①電流をImsinと決めたので、電圧を足します。 ②黄色の抵抗の電圧はオームの法則で、iRです。 ③キャパシタンスの電圧は、i=CdV/dtを積分する。 ④電流の積分をCで割ったものが電圧。 ⑤積分を計算し、sinがマイナスcosになり、ωで割る。 ⑥二つを足し、eはsinから分母付いたのcosを引いたもの。 sin+cosの計算について ？

？ RC直列回路2 i ＝ Im sin（ωt+θ） eR eR ＝ ImR sin（ωt+θ） 今度は、キャパシタンスにかかる電圧です。 － ― cos（ωt+θ） ωC e ＝ Im R sin（ωt+θ） sinとcosを加えて(復習） φ＝tan-1 ωCR 1 ＝ Im 　R2 ＋（1/ωC）2 sin（ωt+θーφ） √ 時間 ０ となってグラフは と少し遅れた位 相になります。 電圧 次に式で 合成すると… RC直列回路１ ―直列回路電圧を足す― 抵抗RとキャパシタンスCを直列接続 直列回路では電圧を足し、電流は１つです。 すなわち e ＝ eR ＋ eC で、 i ＝ iR ＝ iC です。 ですから、まず電流を設定しましょう。 i ＝ Im sin（ωt+θ）　次で、電圧を計算します。 eR eC RC直列回路2 電気回路第1スライド7-6-3 eR 　i ＝ Im sin（ωt+θ） 　eR ＝ ImR sin（ωt+θ） 今度は、キャパシタンスにかかる電圧です。 eC dV i=C― dt 前回学習した式は、 でしたが、 電圧にしたいので積分します。 ①電流をImsinと決めたので、電圧を足します。 ②黄色の抵抗の電圧はオームの法則で、iRです。 ③キャパシタンスの電圧は、i=CdV/dtを積分する。 ④電流の積分をCで割ったものが電圧。 ⑤積分を計算し、sinがマイナスcosになり、ωで割る。 ⑥二つを足し、eはsinから分母付いたのcosを引いたもの。 ？ sin+cosの計算について

？ ∫ RC直列回路2 eR i ＝ Im sin（ωt+θ） eR ＝ ImR sin（ωt+θ） － ― cos（ωt+θ） ωC e ＝ Im R sin（ωt+θ） sinとcosを加えて(復習） φ＝tan-1 ωCR 1 ＝ Im 　R2 ＋（1/ωC）2 sin（ωt+θーφ） √ 時間 ０ となってグラフは と少し遅れた位 相になります。 電圧 次に式で 合成すると… RC直列回路１ ―直列回路電圧を足す― 抵抗RとキャパシタンスCを直列接続 直列回路では電圧を足し、電流は１つです。 すなわち e ＝ eR ＋ eC で、 i ＝ iR ＝ iC です。 ですから、まず電流を設定しましょう。 i ＝ Im sin（ωt+θ）　次で、電圧を計算します。 eR eC RC直列回路2 電気回路第1スライド7-6-4 eR 　i ＝ Im sin（ωt+θ） 　eR ＝ ImR sin（ωt+θ） 今度は、キャパシタンスにかかる電圧です。 eC dV i=C― dt 前回学習した式は、 でしたが、 ∫ 電圧にしたいので積分すると、 idt ＝ CV C ＝ V ①電流をImsinと決めたので、電圧を足します。 ②黄色の抵抗の電圧はオームの法則で、iRです。 ③キャパシタンスの電圧は、i=CdV/dtを積分する。 ④電流の積分をCで割ったものが電圧。 ⑤積分を計算し、sinがマイナスcosになり、ωで割る。 ⑥二つを足し、eはsinから分母付いたのcosを引いたもの。 ？ sin+cosの計算について

？ ∫ RC直列回路2 eR i ＝ Im sin（ωt+θ） eR ＝ ImR sin（ωt+θ） 1 ― C Im ＝― C － ― cos（ωt+θ） ωC e ＝ Im R sin（ωt+θ） sinとcosを加えて(復習） φ＝tan-1 ωCR 1 ＝ Im 　R2 ＋（1/ωC）2 sin（ωt+θーφ） √ 時間 ０ となってグラフは と少し遅れた位 相になります。 電圧 次に式で 合成すると… RC直列回路１ ―直列回路電圧を足す― 抵抗RとキャパシタンスCを直列接続 直列回路では電圧を足し、電流は１つです。 すなわち e ＝ eR ＋ eC で、 i ＝ iR ＝ iC です。 ですから、まず電流を設定しましょう。 i ＝ Im sin（ωt+θ）　次で、電圧を計算します。 eR eC RC直列回路2 電気回路第1スライド7-6-5 eR 　i ＝ Im sin（ωt+θ） 　eR ＝ ImR sin（ωt+θ） 1 ― C ∫ Im ＝― C －cos（ωt+θ） × ω eC 　eC ＝ idt ①電流をImsinと決めたので、電圧を足します。 ②黄色の抵抗の電圧はオームの法則で、iRです。 ③キャパシタンスの電圧は、i=CdV/dtを積分する。 ④電流の積分をCで割ったものが電圧。 ⑤積分を計算し、sinがマイナスcosになり、ωで割る。 ⑥二つを足し、eはsinから分母付いたのcosを引いたもの。 sin+cosの計算について ？

？ ∫ RC直列回路2 eR i ＝ Im sin（ωt+θ） eR ＝ ImR sin（ωt+θ） 1 ― C Im ＝― C － ― cos（ωt+θ） ωC e ＝ Im R sin（ωt+θ） sinとcosを加えて(復習） φ＝tan-1 ωCR 1 ＝ Im 　R2 ＋（1/ωC）2 sin（ωt+θーφ） √ 時間 ０ となってグラフは と少し遅れた位 相になります。 電圧 次に式で 合成すると… RC直列回路１ ―直列回路電圧を足す― 抵抗RとキャパシタンスCを直列接続 直列回路では電圧を足し、電流は１つです。 すなわち e ＝ eR ＋ eC で、 i ＝ iR ＝ iC です。 ですから、まず電流を設定しましょう。 i ＝ Im sin（ωt+θ）　次で、電圧を計算します。 eR eC RC直列回路2 電気回路第1スライド7-6-6 eR 　i ＝ Im sin（ωt+θ） 　eR ＝ ImR sin（ωt+θ） 1 ― C ∫ Im ＝― C －cos（ωt+θ） × ω eC 　eC ＝ idt e ＝ eR ＋ eC は、 Im ー ― cos（ωt+θ） ωC 　＝ ImR sin（ωt+θ） となる。 ①電流をImsinと決めたので、電圧を足します。 ②黄色の抵抗の電圧はオームの法則で、iRです。 ③キャパシタンスの電圧は、i=CdV/dtを積分する。 ④電流の積分をCで割ったものが電圧。 ⑤積分を計算し、sinがマイナスcosになり、ωで割る。 ⑥二つを足し、eはsinから分母付いたのcosを引いたもの。 ？ sin+cosの計算について

！ ！ sinとcosを加えて(復習） Im ー ― cos（ωt+θ） e ＝ Im R sin（ωt+θ） ωC ∫ RC直列回路２ ER EC 　ER ＝ ImR sin（ωt+θ） 　EC ＝ e ＝ ER ＋ EC Im ー ― cos（ωt+θ） ωC ∫ ＝― C －cos（ωt+θ） × ω 　＝ ImR sin（ωt+θ） 　i ＝ Im sin（ωt+θ） 1 ― idt RLC直列回路（イントロ） ちょっと前にやったRC直列回路に Lを１つ直列にいれてみましょう。 ここだけの話、RC回路と似ていて、 LとCの電圧が打ち消し合う場合がある。 なぜなら、直列だから電流をたす。LとC は位相がずれますが、＋とーのcosで… sinとcosを加えて(復習） 電気回路第1スライド7-7-1 Im ー ― cos（ωt+θ） ωC e ＝ Im R sin（ωt+θ） この回路 の電圧は、 となります。 ①この回路の電圧は、この式。 ②グラフは、sinの方はそのままで、マイナスcosは右に。 ③Im/ωCの振幅をこの位にします。 ④式変形をまとめると、ωCRは正で、電圧が遅れる。 φの計算結果から ！ ωを変えて位相の変化を みよう。（授業後にでも是 非見ておいてね。） ！

！ ！ sinとcosを加えて(復習） Im ー ― cos（ωt+θ） ωC e ＝ Im R sin（ωt+θ） Im RC直列回路２ ER EC 　ER ＝ ImR sin（ωt+θ） 　EC ＝ e ＝ ER ＋ EC Im ー ― cos（ωt+θ） ωC ∫ ＝― C －cos（ωt+θ） × ω 　＝ ImR sin（ωt+θ） 　i ＝ Im sin（ωt+θ） 1 ― idt RLC直列回路（イントロ） ちょっと前にやったRC直列回路に Lを１つ直列にいれてみましょう。 ここだけの話、RC回路と似ていて、 LとCの電圧が打ち消し合う場合がある。 なぜなら、直列だから電流をたす。LとC は位相がずれますが、＋とーのcosで… sinとcosを加えて(復習） 電気回路第1スライド7-7-2 Im ー ― cos（ωt+θ） ωC e ＝ Im R sin（ωt+θ） Im ー ― cos（ωt+θ） ωC Im R sin（ωt+θ） この赤の位相の90゜遅れたものを足しますが、少し振幅が小さいケースを想定します。 グラフも描いて考えると… 時間 電流 ０ 電圧 ①この回路の電圧は、この式。 ②グラフは、sinの方はそのままで、マイナスcosは右に。 ③Im/ωCの振幅をこの位にします。 ④式変形をまとめると、ωCRは正で、電圧が遅れる。 ！ φの計算結果から ！ ωを変えて位相の変化を みよう。（授業後にでも是 非見ておいてね。）

！ ！ sinとcosを加えて(復習） Im ー ― cos（ωt+θ） e ＝ Im R sin（ωt+θ） ωC RC直列回路２ ER EC 　ER ＝ ImR sin（ωt+θ） 　EC ＝ e ＝ ER ＋ EC Im ー ― cos（ωt+θ） ωC ∫ ＝― C －cos（ωt+θ） × ω 　＝ ImR sin（ωt+θ） 　i ＝ Im sin（ωt+θ） 1 ― idt RLC直列回路（イントロ） ちょっと前にやったRC直列回路に Lを１つ直列にいれてみましょう。 ここだけの話、RC回路と似ていて、 LとCの電圧が打ち消し合う場合がある。 なぜなら、直列だから電流をたす。LとC は位相がずれますが、＋とーのcosで… sinとcosを加えて(復習） 電気回路第1スライド7-7-3 Im ー ― cos（ωt+θ） ωC e ＝ Im R sin（ωt+θ） この赤の位相の90゜遅れたものを足しますが、少し振幅が小さいケースを想定します。 時間 電流 ０ 電圧 ①この回路の電圧は、この式。 ②グラフは、sinの方はそのままで、マイナスcosは右に。 ③Im/ωCの振幅をこの位にします。 ④式変形をまとめると、ωCRは正で、電圧が遅れる。 φの計算結果から ！ ！ ωを変えて位相の変化を みよう。（授業後にでも是 非見ておいてね。）

！ ！ sinとcosを加えて(復習） √ Im ー ― cos（ωt+θ） e ＝Im R sin（ωt+θ） ωC RC直列回路２ ER EC 　ER ＝ ImR sin（ωt+θ） 　EC ＝ e ＝ ER ＋ EC Im ー ― cos（ωt+θ） ωC ∫ ＝― C －cos（ωt+θ） × ω 　＝ ImR sin（ωt+θ） 　i ＝ Im sin（ωt+θ） 1 ― idt RLC直列回路（イントロ） ちょっと前にやったRC直列回路に Lを１つ直列にいれてみましょう。 ここだけの話、RC回路と似ていて、 LとCの電圧が打ち消し合う場合がある。 なぜなら、直列だから電流をたす。LとC は位相がずれますが、＋とーのcosで… sinとcosを加えて(復習） 電気回路第1スライド7-7-4 Im ー ― cos（ωt+θ） ωC e ＝Im R sin（ωt+θ） 次に式で 合成すると… ＝ Im 　R2 ＋（1/ωC）2 sin（ωt+θーφ） √ φ＝tan-1 ωCR 1 時間 電流 ０ 電圧 となってグラフは と少し遅れた位相になります。 ①この回路の電圧は、この式。 ②グラフは、sinの方はそのままで、マイナスcosは右に。 ③Im/ωCの振幅をこの位にします。 ④式変形をまとめると、ωCRは正で、電圧が遅れる。 φの計算結果から ！ ！ ωを変えて位相の変化を みよう。（授業後にでも是 非見ておいてね。）

！ RLC直列回路（イントロ） ちょっと前にやったRC直列回路 に ちょっといた ずらをして sinとcosを加えて(復習） 今日のまとめ Im － ― cos（ωt+θ） ωC e ＝ Im R sin（ωt+θ） sinとcosを加えて(復習） φ＝tan-1 ωCR 1 ＝ Im 　R2 ＋（1/ωC）2 sin（ωt+θーφ） √ 時間 ０ となってグラフは と少し遅れた位 相になります。 電圧 次に式で 合成すると… 位相の合うsinと 計算方法 ずれるcosを加算。 位相差:tan-1（L、Cの寄与/Rの寄与） 結果の振幅:振幅二乗の和のルート RC回路：電圧の位相が遅れる。 RLC回路：位相進んだり遅れたり。 RL回路：電圧の位相が進む。 L、Cが効くとき90°に近く、 Rが効くときは0°に近い。 さらに、LとCが相殺の場合あり。 直列回路 並列回路 考え方 では電圧を足す。 では電流を足す。 ： 　結果(回路の特徴)　 今日のまとめ RLC直列回路（イントロ） 電気回路第1スライド7-8-1 ちょっと前にやったRC直列回路 に ちょっといた ずらをして │ ①RC直列回路にはさみを入れる。 ②間にLを１つ入れる。 ③RC回路と似た解析で、LとCの電圧が相殺。 ④電圧を足しますが、LやCで発生する電圧は…。 暇でしたら、LC直列回路 ではなく、RLC直列回路を 検討しているのはなぜか 考えてください。 ！

！ RLC直列回路（イントロ） ちょっと前にやったRC直列回路 に Lを１つ直列に入れてみましょう。 sinとcosを加えて(復習） Im － ― cos（ωt+θ） ωC e ＝ Im R sin（ωt+θ） sinとcosを加えて(復習） φ＝tan-1 ωCR 1 ＝ Im 　R2 ＋（1/ωC）2 sin（ωt+θーφ） √ 時間 ０ となってグラフは と少し遅れた位 相になります。 電圧 次に式で 合成すると… 位相の合うsinと 計算方法 ずれるcosを加算。 位相差:tan-1（L、Cの寄与/Rの寄与） 結果の振幅:振幅二乗の和のルート RC回路：電圧の位相が遅れる。 RLC回路：位相進んだり遅れたり。 RL回路：電圧の位相が進む。 L、Cが効くとき90°に近く、 Rが効くときは0°に近い。 さらに、LとCが相殺の場合あり。 直列回路 並列回路 考え方 では電圧を足す。 では電流を足す。 ： 　結果(回路の特徴)　 今日のまとめ RLC直列回路（イントロ） 電気回路第1スライド7-8-2 ちょっと前にやったRC直列回路 に Lを１つ直列に入れてみましょう。 ①RC直列回路にはさみを入れる。 ②間にLを１つ入れる。 ③RC回路と似た解析で、LとCの電圧が相殺。 ④電圧を足しますが、LやCで発生する電圧は…。 暇でしたら、LC直列回路 ではなく、RLC直列回路を 検討しているのはなぜか 考えてください。 ！

！ RLC直列回路（イントロ） Lを１つ直列に入れてみましょう。 ちょっと前にやったRC直列回路 に ここだけの話、RC回路と似ていて、 Im － ― cos（ωt+θ） ωC e ＝ Im R sin（ωt+θ） sinとcosを加えて(復習） φ＝tan-1 ωCR 1 ＝ Im 　R2 ＋（1/ωC）2 sin（ωt+θーφ） √ 時間 ０ となってグラフは と少し遅れた位 相になります。 電圧 次に式で 合成すると… 位相の合うsinと 計算方法 ずれるcosを加算。 位相差:tan-1（L、Cの寄与/Rの寄与） 結果の振幅:振幅二乗の和のルート RC回路：電圧の位相が遅れる。 RLC回路：位相進んだり遅れたり。 RL回路：電圧の位相が進む。 L、Cが効くとき90°に近く、 Rが効くときは0°に近い。 さらに、LとCが相殺の場合あり。 直列回路 並列回路 考え方 では電圧を足す。 では電流を足す。 ： 　結果(回路の特徴)　 今日のまとめ RLC直列回路（イントロ） 電気回路第1スライド7-8-3 Lを１つ直列に入れてみましょう。 ちょっと前にやったRC直列回路 に ここだけの話、RC回路と似ていて、 LとCが醜い電圧のつぶしあいをします。 の電圧が打ち消し合う場合がある。 ①RC直列回路にはさみを入れる。 ②間にLを１つ入れる。 ③RC回路と似た解析で、LとCの電圧が相殺。 ④電圧を足しますが、LやCで発生する電圧は…。 暇でしたら、LC直列回路 ではなく、RLC直列回路を 検討しているのはなぜか 考えてください。 ！

！ RLC直列回路（イントロ） Lを１つ直列に入れてみましょう。 ちょっと前にやったRC直列回路 に ここだけの話、RC回路と似ていて、 Im － ― cos（ωt+θ） ωC e ＝ Im R sin（ωt+θ） sinとcosを加えて(復習） φ＝tan-1 ωCR 1 ＝ Im 　R2 ＋（1/ωC）2 sin（ωt+θーφ） √ 時間 ０ となってグラフは と少し遅れた位 相になります。 電圧 次に式で 合成すると… 位相の合うsinと 計算方法 ずれるcosを加算。 位相差:tan-1（L、Cの寄与/Rの寄与） 結果の振幅:振幅二乗の和のルート RC回路：電圧の位相が遅れる。 RLC回路：位相進んだり遅れたり。 RL回路：電圧の位相が進む。 L、Cが効くとき90°に近く、 Rが効くときは0°に近い。 さらに、LとCが相殺の場合あり。 直列回路 並列回路 考え方 では電圧を足す。 では電流を足す。 ： 　結果(回路の特徴)　 今日のまとめ RLC直列回路（イントロ） 電気回路第1スライド7-8-4 Lを１つ直列に入れてみましょう。 ちょっと前にやったRC直列回路 に ここだけの話、RC回路と似ていて、 LとCの電圧が打ち消し合う場合がある。 なぜなら、直列だから電圧をたす。LとC は位相がずれますが、＋とーのcosで… ①RC直列回路にはさみを入れる。 ②間にLを１つ入れる。 ③RC回路と似た解析で、LとCの電圧が相殺。 ④電圧を足しますが、LやCで発生する電圧は…。 暇でしたら、LC直列回路 ではなく、RLC直列回路を 検討しているのはなぜか 考えてください。 ！

！ ！ 今日のまとめ iL iR まず、 考え方 から述べると、 直列回路 では電圧を足す。 ： eR 並列回路 では電流を足す。 eC RLC直列回路（イントロ） ちょっと前にやったRC直列回路に Lを１つ直列にいれてみましょう。 ここだけの話、RC回路と似ていて、 LとCの電圧が打ち消し合う場合がある。 なぜなら、直列だから電流をたす。LとC は位相がずれますが、＋とーのcosで… ここをクリックすると終了します。 今日のまとめ 電気回路第1スライド7-9-1 iL まず、 考え方 から述べると、 直列回路 では電圧を足す。 ： eR iR 並列回路 では電流を足す。 eC ①基本的に直列なら電圧を並列なら電流を足す。 ②計算はsinと90°ずれたcosを足す。位相差tan－1 ③RL回路では電圧の位相が進み、RC回路で遅れる。 ④位相差は赤（LやC）が大きければ±90°に近い。 ！ LやCの入った回路の 考え方について 次回までの演習課題です。 ！

！ ！ 今日のまとめ √ 直列回路 並列回路 考え方 では電圧を足す。 では電流を足す。 Φ ＝ tan-1 ー 1 ωC R ： eC RLC直列回路（イントロ） ちょっと前にやったRC直列回路に Lを１つ直列にいれてみましょう。 ここだけの話、RC回路と似ていて、 LとCの電圧が打ち消し合う場合がある。 なぜなら、直列だから電流をたす。LとC は位相がずれますが、＋とーのcosで… ここをクリックすると終了します。 今日のまとめ 電気回路第1スライド7-9-2 直列回路 並列回路 考え方 では電圧を足す。 では電流を足す。 Φ ＝ tan-1 ー 1 ωC R RC直列回路 ： eC eR ＝ ImR sin（ωt+θ） 　 Im ＝ー ― cos（ωt+θ） 　 ωC その 計算方法 は、 位相の合うsinと ずれるcosを加算。 結果の振幅:振幅二乗の和のルート 　 Im 　R2 ＋（1/ωC）2 sin... √ 位相差:tan-1（L、Cの寄与/Rの寄与） ①基本的に直列なら電圧を並列なら電流を足す。 ②計算はsinと90°ずれたcosを足す。位相差tan－1 ③RL回路では電圧の位相が進み、RC回路で遅れる。 ④位相差は赤（LやC）が大きければ±90°に近い。 LやCの入った回路の 考え方について ！ ！ 次回までの演習課題です。

！ ！ 今日のまとめ 直列回路 並列回路 考え方 では電圧を足す。 では電流を足す。 （ ） その 結果、回路の特徴は、 ： RLC直列回路（イントロ） ちょっと前にやったRC直列回路に Lを１つ直列にいれてみましょう。 ここだけの話、RC回路と似ていて、 LとCの電圧が打ち消し合う場合がある。 なぜなら、直列だから電流をたす。LとC は位相がずれますが、＋とーのcosで… ここをクリックすると終了します。 今日のまとめ 電気回路第1スライド7-9-3 直列回路 並列回路 考え方 では電圧を足す。 では電流を足す。 （　　　　　　　　） その 結果、回路の特徴は、 ： RL回路：電圧の位相が進む。 RC回路：電圧の位相が遅れる。 RLC回路：位相進んだり遅れたり。 位相の合うsinと 計算方法 ずれるcosを加算。 位相差:tan-1（L、Cの寄与/Rの寄与） 結果の振幅:振幅二乗の和のルート ①基本的に直列なら電圧を並列なら電流を足す。 ②計算はsinと90°ずれたcosを足す。位相差tan－1 ③RL回路では電圧の位相が進み、RC回路で遅れる。 ④位相差は赤（LやC）が大きければ±90°に近い。 ！ LやCの入った回路の 考え方について 次回までの演習課題です。 ！

！ ！ 今日のまとめ 直列回路 並列回路 考え方 では電圧を足す。 では電流を足す。 RC回路：電圧の位相が遅れる。 RLC直列回路（イントロ） ちょっと前にやったRC直列回路に Lを１つ直列にいれてみましょう。 ここだけの話、RC回路と似ていて、 LとCの電圧が打ち消し合う場合がある。 なぜなら、直列だから電流をたす。LとC は位相がずれますが、＋とーのcosで… スライドを終了します。 今日のまとめ 電気回路第1スライド7-9-4 直列回路 並列回路 考え方 では電圧を足す。 では電流を足す。 RC回路：電圧の位相が遅れる。 RLC回路：位相進んだり遅れたり。 RL回路：電圧の位相が進む。 結果、回路の特徴 ： 位相の合うsinと 計算方法 ずれるcosを加算。 位相差:tan-1（L、Cの寄与/Rの寄与） 結果の振幅:振幅二乗の和のルート さらに、LとCが相殺の場合あり。 これは、 L、Cが効くとき90°に近く、 Rが効くときは0°に近い。 ①基本的に直列なら電圧を並列なら電流を足す。 ②計算はsinと90°ずれたcosを足す。位相差tan－1 ③RL回路では電圧の位相が進み、RC回路で遅れる。 ④位相差は赤（LやC）が大きければ±90°に近い。 LやCの入った回路の 考え方について ！ 次回までの演習課題です。 ！

電気回路第1スライド付録 補足１：並列回路 キルヒホッフの電流の法則から、接点に流入する電流の和は流出する電流の和に等しい。ここまでで理解いただければ本文に戻ってかまいません。 並列回路は、負荷または電源などを複数並列につないだ回路ですね。負荷を並列につないだ場合には、当然入ってくる電源は1個で負荷が複数個です。したがって、先ほどの電流連続の法則は、1個からどっと来た電流（電圧じゃないよ）を、いくつかの負荷たちで少しずつ分け前を配分しているといった情景です。 　　　 次に電圧のお話をします。今度は、キルヒホッフの電圧の法則＝ぐるっと回って起電力と電圧降下の和は等しいを使うと面倒ですね。むしろ、上の点の電圧は e で決まっていると考えましょう。すると、電圧eは誰の持ち物でもなく、みんなで共有するので１つと覚えてください。 上は電圧の高い所 分け前を もらった 電流は、 オレの物 電源電圧は みんなの物 わかったら（でなくっても） ここをクリックして元の スライドに戻りましょう。 !! 下は電圧の低い所

補足2：sin＋cosの計算（RL並列回路） 電気回路第1スライド付録 補足2：sin＋cosの計算（RL並列回路）　 ３角関数の加法定理から 　　　 　sin (α+β) = sin α cos β + cos α sin β ① はご存知とします。これを変形して sin+cos を1つの sin にまとめましょう。 ①でα＝ωt +θ、 β＝－φとおいて、 　　sin (ωt +θ－φ) = sin (ωt +θ) cos φ － cos (ωt +θ) sin φ ② これを k 倍して少し整理すると、 　　k sin (ωt +θ－φ)= k cos φ sin (ωt +θ) － k sin φ cos (ωt +θ) ③ ここで、右辺のk cos φやk sin φ は定数（ t と共に変化しない量）なので、これが元の式を満たすように、すなわち、 　　　 k cos φ ＝ IRm ④ 　　 　k sin φ ＝ ILm ⑤ となるように、kとφを調整してあげると良いですね。もちろん、④、⑤は、二乗の和で、 　　 k2 cos2 φ＋k2 sin 2 φ＝k2 ＝IRm2＋ILm2 ⑥ ですから、後半部分の平方根を取って、 　　　 　　　　k ＝ [ILm2＋IRm2]1/2 ⑦ ですし、⑤÷④から 　　　　 　tanφ ＝ILm/IRm ⑧ となります。したがって、 　　　　　　　　i ＝ [ILm2＋IRm2]1/2 sin [ωt +θ－tan-1（ILm/IRm）] ⑨ となって、本編上の式が導出されました。φは正の値ですから、電圧の位相は φだけ進みます。もちろん、 IRm = Em/R ⑩ ILm = Em/ωL ⑪ ですから、⑨式は、 　　　 i ＝Em[1/(ωL)2＋1/R2]1/2 sin [ωt +θ－tan-1（R/ωL）] ⑫ となります。 !! わかったら（でなくっても） ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。

電源電圧はあっちこっちで使ってなくなる。 電気回路第1スライド付録 補足3：直列回路 抵抗の接続の時から、直列足せばいいと簡単でしたね。ここも余計なリンクと思いますが、まあ、『またくだらんこと書いとるわい。』とでも見ておいてください。 キルヒホッフの電流の法則は、これは簡単ですね、電流さんにとってはどこにも逃げ道がありません。入ってきた電流はやむなく直進、全部の素子さん（女の子ではない）とエクスカーションを楽しんで行きましょう。 今度は、キルヒホッフの電圧の法則ですが、あそんで回って同じ街にもどったというわけで足してゼロは理解しやすいのではないでしょうか。下の絵はお遊びですので、覚えてくださ い、結果を。 上は電圧の高い所 この人とも 電源電圧はあっちこっちで使ってなくなる。 一人（？） の電流が ループを 回る。 この人とも !! わかったら（でなくっても） ここをクリックして元の スライドに戻りましょう。 この人とも 遊んで行か ないといけ ない。 下は電圧の低い所

補足4：sin＋cosの計算（RC直列回路） 電気回路第1スライド付録 補足4：sin＋cosの計算（RC直列回路）　 ３角関数の加法定理から 　　　 sin (α+β) = sin α cos β + cos α sin β ① はご存知とします。これを変形して sin+cos を1つの sin にまとめましょう。 ①でα＝ωt +θ、 β＝－φとおいて、 　　　 sin (ωt +θ－φ) = sin (ωt +θ) cos φ － cos (ωt +θ) sin φ ② これを k 倍して少し整理すると、 　　 k sin (ωt +θ－φ) = k cos φ sin (ωt +θ) －k sin φ cos (ωt +θ) ③ ここで、右辺のk cos φやk sin φ は定数（ t と共に変化しない量）なので、これが元の式を満たすように、すなわち、 　　　 k cos φ ＝ ImR ④ 　　　 k sin φ ＝ Im /ωC ⑤ となるように、kとφを調整してあげると良いですね。もちろん、④、⑤は、二乗の和で、 k2 cos2 φ＋k2 sin 2 φ ＝k2 ＝（ImR）2＋（Im /ωC ）2 ⑥ ですから、 　　　 k ＝ Im [R2 ＋（1/ωC ）2]1/2 ⑦ ですし、⑤÷④から 　　　 tanφ ＝1/ωCR ⑧ となります。したがって、 　　　e ＝ Im [R2 ＋（1/ωC ）2]1/2 sin [ωt －tan-1（1/ωCR）] ⑨ となって、本編上の式が導出されました。電圧を計算しましたので、 電圧の位相が遅れること、その位相差φがゼロないし90゜の範囲 であることも理解されたい。 !! わかったら（でなくっても） ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。

!! 発展１ 前回の演習問題の解答 電気回路第1スライド付録 発展１　前回の演習問題の解答　 [1] まず、インダクタンス 1 [mH] のコイルに交流 60 [Hz] を加えた場合の誘導リアクタンスはいくらか。では、誘導リアクタンスを 1 [Ω] とするためにはどのような交流を印加するとよいか。 　　これは簡単ですね。誘導リアクタンスはωLと覚えてくださいましたか。前回から出ている角周波数ω＝2πf （fは周波数）もご存知でしたら、f = 60 [Hz] はω＝120π[rad/s] です。すると誘導リアクタンスはωL＝120π×10‐3＝0.12π [Ω] です。 　　次に、誘導リアクタンスを 1 [Ω] とするのは、1＝ωL＝2πfL＝2×10‐3πf となって、加える交流の周波数を500/π≒159 [Hz] とすると良いですね。もちろん、例の初期位相はいくらでも結構です。 [2] 身の回りで電気機器をつくると浮遊容量というものがあってせっかく加えた電源や信号をロスしてしまいます。では、この浮遊容量が 30 [pF] (=3×10-11 F) のとき、60 [Hz] の交流電源と、100 [MHz] の信号それぞれに対する容量リアクタンスを求めなさい。 　　これは容量リアクタンスの大きさを実感してもらうのが目的です。容量リアクタンスは1/ωＣ でした。誘導リアクタンスとちがって逆数の格好で面倒ですね。でも周波数への依存性がまったく逆で大変に重要です。 　　30 [pF] というのは、60 [Hz] とすると、1/（2π×60×3×10-11）≒88 [MΩ] とかなり大きな抵抗です。 　　一方、100 [MHz] の信号ですと、1/ωC＝1/（2π×100×106×3×10-11）≒53 [Ω] となって、かなり効いてきそうな値になります。 !! 見終わったら、ここを クリックして帰りましょう。

!! 発展2 sinを足して位相が変化 30° 45° 60° √ √ √ 電気回路第1スライド付録 3 1 R ωL ＝ のとき 電流 ＝　　　　　　　のとき 電流 電流は電圧より30° 位相が遅れます。 振幅はEm/ωLの2倍 です。 ０ 時間 45° 1 R ωL ＝　　　　のとき 電流 RL並列回路で1/Rと1/ωLの関係と波形の変化を比較しましょう。計算が楽なように簡単なパラメータだけを示しました。 電流は電圧より45° 位相が遅れます。 振幅はEm/Rなどの 　　倍です。 ０ 時間 √ 2 1 R ωL ＝　　　　のとき √ 3 電流 60° 電流は電圧より60° 位相が遅れます。 ０ 時間 !! 見終わったら、ここを クリックして帰りましょう。 電圧 基準の電圧のグラフです。もちろんただの抵抗の場合の電流のグラフ（電圧と同相）と思っていただいても結構です。 ０ 時間

!! 発展3 φの計算結果など 30° 45° 60° √ √ 電気回路第1スライド付録 ωCR＝ のとき わずかに（？）30° 発展3　φの計算結果など 30° ωCR＝ 　のとき わずかに（？）30° 電圧の位相が遅れます。 √ 3 電圧 ０ 時間 45° このRC直列回路では、 位相差φが、 電圧 ωCR＝1 のとき 電圧の位相が45°電流 よりも遅れます。 φ＝tan-1 1 ωCR ０ 時間 となりますから、分母 のωCRで議論します。 ほとんど前のRL並列 回路のときの同じこと を述べています。 1 √ 3 電圧 60° ωCR＝　　　のとき 電圧の位相が60°電流 よりも遅れます。 ０ 時間 見終わったら、ここを クリックして帰りましょう。 !! 電流 こんどは直列回路であったため電流が基準の波形になりました。Cが入って上の電圧は全部これより位相が遅れます。 ０ 時間

!! 発展4 ωとともに位相が変化 1 φ＝tan-1 ωCR ω（周波数に対応）が変わるとφはどのように変わるか考えよう。φは、 電気回路第1スライド付録 発展4　ωとともに位相が変化　 ω（周波数に対応）が変わるとφはどのように変わるか考えよう。φは、 で与えられます。これを代入して右のグラフのようになります。読み取って欲しいのは、 ①RC回路で常に電圧の位相は遅れていること ②周波数が増大するとだんだんCの効果がなくなってくる。 ③このように周波数軸を対数で議論すると便利です。 φ＝tan-1 ωCR 1 !! 見終わったら、ここを クリックして帰りましょう。

!! 発展5 LC直列回路だと(余談) i ＝ Im sinωt e ＝ [ωL ー ] Im cosωt 1 ωC ωL ー 1 ωC 電気回路第1スライド付録 発展5　LC直列回路だと(余談)　 LC直列回路だと、電流から設定して計算して i ＝ Im sinωt ① e ＝ [ωL ー ] Im cosωt 1 ωC ② となりますが、 ωL ー 1 ωC X ＝ ＝０ ③ のとき、│Z│＝０となりますから、 │I│＝│E│／│Z│＝∞ となります。 これは、簡単には実現できない(系のどこかに抵抗がある方が一般的）ので、最初からRを入れておきましょう。また、このRが小さければ小さいほど、ωが③を満たすときたくさん電流が取れる良い回路として使えます。 ④ !! 見終わったら、ここを クリックして帰りましょう。

電気回路第1スライド付録 発展6　LやCが入った回路の考え方　 R回路が素直だったのに対して、LやCが入ると位相が90゜ずれました。RとLかCを含む回路だと、（例によって）sinとcosを足す式を扱いました。すこし面倒な計算でとくにtan-1のところで符号を間違うと全然違った結果となります。間違わないために次の原則を覚えてください。 抵抗にLやCを加える LにCか、CにLを 直列 │Z│を増やし電流が減る │Z│が減る 並列 │Z│を減らし電流が増える │Z│が増える 直列、並列に関係なく　 Lが入れば電圧の位相が進む 位相が合う方へ Cが入れば電圧の位相が遅れる !! 見終わったら、ここを クリックして帰りましょう。

電気回路第1スライド付録 発展7　次回までの演習課題　 [1] 左のRL並列回路で、電圧の位相が電流の位相よりも60°進むとき、RとLと角周波数ωの関係を求めなさい。 [2] 左のRC直列回路で、電圧の位相が電流の位相よりも30°遅れるとき、RとCと角周波数ωの関係を求めなさい。 !! 見終わったら、ここを クリックして帰りましょう。