電気回路学Ⅱ コミュニケーションネットワークコース 5セメ 山田 博仁

連絡事項 講義担当教員 山田 博仁 ‥ 前半(過渡現象、ラプラス変換、時間域、周波数域解析)担当 　　　山田 博仁　‥　前半(過渡現象、ラプラス変換、時間域、周波数域解析)担当 　　　大寺 康夫　‥　後半(フーリエ変換、信号波解析、歪波交流)担当 2. 教科書および参考書 　　1) 電気回路　- 三相、過渡現象、線路 -　喜安 善市、斉藤 伸自 著、朝倉書店 　　2) フーリエ解析　大石 著　岩波書店 3. 成績評価 　　・ 講義点と定期試験の両方を勘案して行う 　　・ 講義点は、出席状況、演習、レポートなどで評価する　　 4. オフィスアワー 　　　随時、場所: 2号館203号室　(事前に電話またはE-mailにより予約のこと) 　　　E-mail: yamada@ecei.tohoku.ac.jp、電話(内線): 7101 5. 連絡および講義資料のダウンロード: http://www5a.biglobe.ne.jp/~babe/

講義日程と内容 日程 (回目) 講義内容 教科書の章との対応 1) 2) 　日程 (回目)　　　　　　講義内容　　　　　　　　　　　　　　　　教科書の章との対応 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1)　　　　　　2) 4/11 (第1回)　RL, RC回路の過渡現象　　　　　　　　　　　　　　　2.1, 2.2　　　　- 4/18 (第2回)　RLC回路の過渡現象　　　　　　　　　　　　　　　　　2.3, 2.4　　　　- 4/25 (第3回)　ラプラス変換　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5.1, 5.2　　　　 - 5/2　　　　　　　　　　　休講 5/9　 (第4回)　過渡現象とラプラス変換　　　　　　　　　　　　　　　6.1～6.2　　　 - 5/16 (第5回)　過渡現象とラプラス変換の続きと演習　　　　　　　　6.3　　　　　　- 5/23 (第6回)　過渡関数波と周期波形のラプラス変換　　　　　　5.3 ～5.5　　　- 5/30 (第7回)　時間域、周波数域解析　　　　　　　　　　　　　　　　7.1, 7.2　　　　- 6/6　 (第8回)　微分、積分回路、RLC直並列回路　　　　　　　　　7.3～7.5　　　- 6/13　(第9回)　インパルス、ステップ、任意波形に対する応答　7.7～7.9　　 　- 6/20 (第10回)　フーリエ変換　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4.1, 4.2 6/27 (第11回)　フーリエ変換、信号波解析　　　　　　　　　　　　　　4.3 7/4　(第12回)　フーリエ変換と演習　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4.5 7/11　(第13回)　歪波交流　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3.1, 3.2 7/18　(第14回)　歪波交流回路の計算と演習　　　　　　　　　　　　　3.4 7/25　(第15回)　補講および定期試験期間　 山田 大寺先生

過渡現象とは? スイッチを入れて、回路が定常状態に移行するまでの現象、あるいは定常状態にあった回路のスイッチを切った後の現象を扱う 過渡現象 スピード 時刻:t アクセルペダルを踏む 回路素子が、電源と抵抗のみからなる電気回路では、 時刻 t = 0 でスイッチ S を閉じる R E S i(t) t = 0 t < 0 において回路を流れる電流 i(t)は、 i(t) = 0 t > 0 において回路を流れる電流 i(t)は、 i(t) 定常状態 t この場合、過渡現象は現れない(スイッチを入れた瞬間に定常状態になる)

過渡現象とは? t i(t) 定常状態 t = 0 において回路を流れる電流 i(t)は ? i(t) 定常状態 t = 0 において回路を流れる電流 i(t)は ? t = 0 における扱いに関しては、 t = 0 でスイッチを閉じる直前および直後の時刻を t = – 0 , + 0 で表すと、 i(– 0) = 0 である。 このように、「スイッチを閉じる」といったようなある事象の直前および直後の時刻において取り得る初期値の値が異なる場合、直前の初期値を第1種初期値、直後を第2種初期値と呼んで区別することがある。

回路素子を流れる電流と両端の電圧との関係 1) 抵抗 R を流れる電流 i と両端の電圧 v との関係、 i v R 2) コイル L を流れる電流 i と両端の電圧 v との関係、 i v L ただし i0 は、t = 0 の時にコイルに流れていた電流 3) キャパシタ C を流れる電流 i と両端の電圧 v との関係、 i v C ただし v0 は、t = 0 の時のキャパシタの両端の電圧

回路素子を流れる電流と両端の電圧との関係 コイルを流れる電流は、瞬時には変化できない。 何故なら、瞬時に変化するということは、　　　　　　　を意味し、 i v L その場合、左式の関係より、コイル L の両端には ±∞の電圧が生じることになる。 ブザー 高電圧 子供の頃、こんな回路のびっくり箱を作ったことがありませんか? キャパシタの両端の電圧は、瞬時には変化できない。 何故なら、瞬時に変化するということは、　　　　　　　を意味し、 i v C その場合、左式の関係より、キャパシタ C には ±∞の電流が流れることになる。

RC直列回路の過渡現象 C R E S i(t) t = 0 時刻 t = 0 でスイッチ S を閉じる。 t > 0 において回路を流れる電流 i(t)は、 積分方程式 を解いて求められる。 なお積分範囲は、 – ∞ から現在の時刻 t までである。 電荷 q(t) と電流 i(t) との関係 を用いて書き直し、 まず、E = 0 とした同次方程式の特解は、 (sは定数)を代入した特性方程式 の根 を用いて、 と得られるから、A を任意の定数 として、E = 0 の時の一般解は、 によって与えられる。 次に、 (定常状態)とした時の式(1)の解は、 であるから、 が E ≠ 0 時の特解であることは明らかである。

RC直列回路の過渡現象 従って、式(1)の解として、 を得る。 上式で、任意定数 A は初期条件によって定められる。つまり、 C R E S i(t) t = 0 スイッチ S を閉じる時刻 t = 0 以前に、キャパシタ C が 電荷 q0 を蓄えていたとすれば、上式より、 の関係が成り立つ。従って、 と定まり、 となる。 従って電流は、 より、 と得られる。もちろん t < 0 では、i(t) = 0, q(t) = q0 である。 スイッチ S を閉じる直前および直後の時刻を t = – 0, + 0で表わすと、 であり、t = – 0, + 0の初期値を各々、 第1種初期値、第2種初期値と呼ぶ。

RC直列回路の自由振動 t = 0 C R S i(t) + - q0 C R E S i(t) t = 0 - q0 + r or 上の回路で、時刻 t = 0 でスイッチ S を閉じる。 t > 0 において、キャパシタ C に蓄えられていた電荷 q0 が、抵抗 R を通じて放電される場合を考える。式(2)に E = 0 を代入すると、 によって自由振動電流が与えられる。 また、電荷 q(t) は、 となる。 ここで、τ = RC と置くと、 と表わされ、τ を時定数と呼ぶ。

過渡現象の時定数 時定数(time constant) τ の意味 τ は、初期値の 1/e になる時刻 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1 2 3 4 5 τ は、初期値の 1/e になる時刻 t = 0 において関数　　　に引いた接線が横軸と交わる点が t = τ に相当

消費エネルギー 抵抗 R で消費されるエネルギー W は、 となる。 これは、キャパシタ C に初めに蓄えられていた静電エネルギーに等しい。それが全て抵抗 R で消費されて熱となる。

RC直列回路の過渡現象 RC直列回路に直流電圧 E を突如印加した時の電流 i(t) は、キャパシタの初期電荷 q0 が 0 であるとすると、 であり、同様に電荷 q(t) については、 である。 この様に、RC直列回路においては、スイッチを入れた直後は E/R の電流が流れるが、キャパシタ C が充電されていくに従って電流が減少して行き、十分に時間が経てば(t → ∞)、q(t) は EC に近づき、電流は 0 に近づく。 十分に時間が経過した後の状態を定常状態(steady state)と呼び、その状態を表わす項を定常項と呼ぶ。上のケースでは、i(t) および q(t) の定常項は各々 0 および EC である。また、定常状態になるまでの間を過渡状態(transient)と呼び、この状態を表わす項を過渡項と呼ぶ。上のケースでは、i(t) および q(t) の過渡項は各々 および である。過渡項は t → ∞ において消滅する。 上のケースで時定数 τ = RC は、充電される速さ、あるいは過渡項消滅の早さの目安と考えられる。

RL直列回路の過渡現象 L R E S i(t) t = 0 時刻 t = 0 でスイッチ S を閉じる。 t > 0 において回路を流れる電流 i(t)は、 微分方程式 を解いて求められる。 まず、E = 0 とした同次方程式の一般解を求めるために、A を任意の定数として、 を代入すると、 の関係より、 となる。従って、 である。この if は、過渡項であり、t → ∞ で 0 に収束する。 次に、E ≠ 0 の時の特解を求めるが、これは定常項を求めるもので、 としてよい。 即ち、 である。従って、求める電流は、 となる。 ここで、A は積分定数で、初期条件によって定まる。

RL直列回路の過渡現象 L R E S i(t) t = 0 が有限である限り、電流は 0 である。 従って、初期条件としては、t = 0 において i = 0 即ち、 i(0) = 0である。 この初期条件から、 であり、電流は、 となる。 第一項が定常解、第二項が過渡解である。また、τ は時定数である。

RL直列回路の自由振動 (例 2.2.1) L R E i0 R0 S t = 0 L R E i(t) R0 S t = 0 左の回路において、当初はスイッチ S が開いており、コイル L には電流 が流れていた。時刻 t = 0 でスイッチ S を閉じると、右のような回路となり、 回路の動作を表わす微分方程式は、 で与えられる。 この解は、 であり、初期条件としの を用いると、 が得られ、従って、 が t > 0 での 自由振動電流を与える。

消費エネルギー 抵抗 R で消費されるエネルギー W は、 となる。 これは、コイル L に初めに蓄えられていた電磁エネルギーに等しい。それが全て抵抗 R で消費されて熱となる。