需要点,供給点,辺容量を持つ木の分割アルゴリズム

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需要点,供給点,辺容量を持つ木の分割アルゴリズム           西関研究室 7671                川端 真生

研究背景 電力配送問題 供給点はどの需要点にどれだけの電力を送ればよいのか 送電線には送電量の制限がある

分割問題 需要点 発電所 送電線

分割問題 供給可能な量 需要点 供給点 必要な電力 4

分割問題 供給可能な量 需要点 供給点 辺容量 必要な電力 辺容量 供給点 需要点 辺を除去し, いくつかの連結成分に分割

分割問題 13 18 15 18 辺容量 供給点 需要点 各成分にちょうど1つの供給点 供給量は需要量の合計以上 辺容量を超えない

最大分割問題 辺容量 供給点 需要点 分割はない 電力が供給される需要量を最大にする 分割を考えたとき 7

最大分割問題 8+17+8+16 =49 8 17 8 16 辺容量 供給点 需要点 電力が供給される需要量を最大にする 8

研究結果 分割問題 既存の研究 (辺容量を考えない) 自分の結果 (辺容量を考慮) 最大分割問題 グラフの形 一般 NP完全 木 線形時間 擬多項式時間アルゴリズム FPTAS (完全多項式近似スキーム)

FPTAS(Fully Polynomial-Time Approximation Scheme) 完全多項式時間近似スキーム 誤差   計算時間 10

まとめ 分割問題 木に対して解く線形時間アルゴリズム 最大分割問題 木に対して解く擬多項式時間アルゴリズム 木に対して解くFPTAS 11

今後の課題 グラフの形を限定した場合 木より広いグラフのクラス 計算時間量の短縮 FPTAS 12

予備スライド

直並列グラフ

分割問題アルゴリズム 線形時間で解ける 子がすべて葉である点に対して操作を行う. 子が葉である点が需要点or供給点 葉が需要点or供給点 16

分割問題 例 17

最大分割問題アルゴリズム 木Tの葉から根に対してDP(動的計画)法を適用する. 擬多項式時間アルゴリズムである. 18

最大分割問題アルゴリズム 部分木がある需要量が供給されたときの 余裕量 不足量 を計算する 5 8 4 15 3 10 7 20 7 5 9 7 1 10 4 16 7 9 14 4 20 6 8 15 2 19

FPTAS 擬多項式時間アルゴリズムを変更する. 満たされる需要量を ずつ計算する. 20

アルゴリズム(工夫) 分割問題 場合分けの操作方法の拡張 最大分割問題 実際の余裕量と不足量を求める関数 21

最大分割問題アルゴリズム 22