電気回路学Ⅱ 通信工学コース 5セメ 山田 博仁

RLC直列回路の過渡現象 C R E S i(t) t = 0 L RLC直列回路で、時刻 t = 0 でスイッチ S を閉じる。 t > 0 において回路を流れる電流 i(t)は、 で与えられる。 なお積分範囲は、–∞ から現在の時刻 t までである。 キャパシタの電荷 q(t) と電流 i(t) との関係 を用いて書き直し、 とおく まず、E ≠ 0 のときの非同次方程式の特解 qs(t) は定常解であるから、 t → ∞ における回路の状態、或いは から、 となる。 次に、E = 0 とした時の同次方程式の一般解 qf(t) は、 を式(2)に代入して得られる 特性方程式 の根 s1 および s2、即ち から、

RLC直列回路の過渡現象 (a) 即ち、D = 0 の時には、 で重根となるから、 E = 0 とした式(2)の一般解は、任意の定数を A1, A2 として、 によって与えられる。 従って、前述の定常解(特解) qs と重ねて、 が式(2)の解となる。 これから、電流 i(t) が、 何故なら、コイルを流れる電流は瞬時には変化できないので と与えられる。 A1 および A2 は積分定数であり、初期条件によって定まる。 回路から、t = 0 の初期電流 i(0) は 0 であり、キャパシタの初期電荷を q(0) = q0 とすれば、q(t) および i(t) の t →0 の値から、 従って、 従って、

RLC直列回路の過渡現象 以上より、 と求まる。 初期電荷 q0 = 0 とした時の q(t) および i(t) の変化を左図に示す。i(t) は、t = 2L/R で最大値 im = 2E/Re をとる。 の場合は、臨界的(critical)あるいは臨界減衰(clitical-damping)と呼ばれる。

RLC直列回路の過渡現象 (b) 即ち、D > 0 の時には、特性方程式 の根は、 2つの異なる実根 s1, s2 となる。 と置く。 ただし、 E = 0 とした式(2)の一般解は、任意の定数を B1, B2 として、 によって与えられる。 従って、前述の定常解(特解) qs と重ねて、 が式(2)の解となる。 電流 i(t) は、 と与えられる。 B1 および B2 は積分定数であり、初期条件によって定まる。

RLC直列回路の過渡現象 初期条件は同様に、i(0) = 0、q(0) = q0 とすれば、q(t) および i(t) の t →0 の値から、 従って、 従って、 より、 より、 ここで、 と置くと、

RLC直列回路の過渡現象 従って、 ここで、双曲線関数を用いると、 であるから、 であり、 指数関数と双曲線関数との関係式 従って、 さらに、s1, s2 < 0 であるから、 従って、 t > 0

RLC直列回路の過渡現象 電流 i(t) についても同様に、 ここでまず、{　　}内について考える。 より、

RLC直列回路の過渡現象 従って、{　　}内は、 従って電流 i(t) は、 t > 0

RLC直列回路の過渡現象 初期電荷 q0 = 0 とした時の q(t) および i(t) の変化を左図に示す。 の場合は、臨界的の場合よりも収束が遅いので、非振動的(aperiodic)あるいは過減衰(over-damping)と呼ばれる。

RLC直列回路の過渡現象 (c) 即ち、D < 0 の時には、特性方程式 の根は、 2つの異なる虚根 s1, s2 となる。 と置く。 ただし、 かつ ω0 は実数である。 ここで、 と置くと、 指数関数と三角関数との関係式

RLC直列回路の過渡現象 何故なら、s1, s2 < 0 であるから、 t > 0 t > 0

RLC直列回路の過渡現象 初期電荷 q0 = 0 とした時の q(t) および i(t) の変化を左図に示す。 の場合は、振動的(oscillatory)あるいは振動減衰(under-damping)と呼ばれる。 インピーダンスの値が　　　　　　　　　　　　　 のRLC直列回路の共振角周波数 ωn は、 であった。これに対して、振動的な過渡解の i(t) は、 の角周波数で振動し、ωn とは多少異なる。 R → 0 の時、ω0 は ωn に近づき、正弦波振動が永久に持続する。

回路シミュレータ利用の薦め 電子回路、或いは電気回路(特に過渡現象)の学習に、回路シミュレータを利用することをお薦めします。 代表的な回路シミュレータとしては、SPICE, PSpice, LTspice, TINAなどがあります。 LTspiceは、Linear Technology社の以下のHPから無料でダウンロードできます。 http://www.linear-tech.co.jp/designtools/software/ TINAは、Texas Instruments社の以下のHPから、無償版TINA-TI (日本語版あり)をダウンロードできます。 http://www.tij.co.jp/tool/jp/tina-ti

回路シミュレータ利用の薦め 例えば、TINAを使って、 RLC直列回路の過渡現象を解析してみましょう。 C R E S i(t) t = 0 (a) 左の回路で、R = 20Ω, L = 100uH, C = 1uF の時 の関係が成り立ち、回路は臨界的 (b) 左の回路で、R = 40Ω, L = 100uH, C = 1uF の時 の関係が成り立ち、回路は過減衰 (c) 左の回路で、R = 10Ω, L = 100uH, C = 1uF の時 の関係が成り立ち、回路は振動的 R = 10Ω R = 20Ω R = 40Ω R = 10Ω R = 20Ω R = 40Ω 回路に流れる電流 i(t) の計算結果 C の両端の電圧の時間変化