超弦理論の数値シミュレーション 西村 淳 (KEK理論センター、総研大) 日本物理学会2009年秋季大会、素核合同シンポジウム 「数値的手法による場の理論研究の発展」、甲南大, 200９年9月10日 Ref.) Hanada-J.N.-Takeuchi, PRL 99 (’07) 161602 Anagnostopoulos-Hanada- J.N.-Takeuchi, PRL 100 (’08) 021601 Hanada-Miwa-J.N.-Takeuchi, PRL 102 (’09) 181602 Hanada-Hyakutake-J.N.-Takeuchi, PRL 102 (’09) 191602 Ishiki-Kim-J.N.-Tsuchiya, PRL 102 (’09) 111601

０. 　序

西村 淳 (KEK理論センター) 超弦理論の数値シミュレーション ゲージ/重力対応 (超弦理論からの予想) Maldacena (’97) SPIRESでの引用：6225件 U(N) 超対称 Yang-Mills 理論 (SYM) 16 (32) 個の超電荷 トホーフト極限　　（　　　　　　　　　　　を固定して　　　　　　　　　　） 強結合領域　　　　（　　の大きい領域　） 10d 超重力理論 (SUGRA)における古典解 2009.9.10 日本物理学会、　　　素核合同シンポジウム 西村　淳 (KEK理論センター) 　　　　 超弦理論の数値シミュレーション

西村 淳 (KEK理論センター) 超弦理論の数値シミュレーション 予想の根拠 D ブレーン　　 　超弦理論における“ソリトン解” (Dirichlet) グラビトンの放出 ゲージ粒子の伝播 次元 U(N) SYM 低エネルギー極限 10dの曲がった 時空 N ストリングのループ補正は 　　　　で抑制 トホーフト極限 を固定して の大きい領域 補正は　　　　　で抑制 2009.9.10 日本物理学会、　　　素核合同シンポジウム 西村　淳 (KEK理論センター) 　　　　 超弦理論の数値シミュレーション

西村 淳 (KEK理論センター) 超弦理論の数値シミュレーション どこがおもしろいのか？ トホーフト (’73)のアイディアの実現 emergent space-timeというアイディア 応用: 最終目標: 強弱双対性 ラージ N ゲージ理論 　弦理論 反ドジッター時空 ブラックホール幾何学（有限温度） 曲がった時空を用いたハドロンや物性理論の研究 ゲージ理論を用いたブラックホールの性質の理解 背景に依存しない、非摂動的な弦理論の定式化 強結合ゲージ理論の研究が重要！ 2009.9.10 日本物理学会、　　　素核合同シンポジウム 西村　淳 (KEK理論センター) 　　　　 超弦理論の数値シミュレーション

西村 淳 (KEK理論センター) 超弦理論の数値シミュレーション モンテカルロ計算 超対称性 格子ゲージ理論 　　　⇒　並進対称性 超対称性は連続極限で回復できるが、 典型的には, パラメタの微調整が必要！ “lattice SUSY”における最近の発展 杉野氏の企画講演、9/10午前 様々な対称性を持った格子作用の構成 例) トポロジカル・ツイストを用いて、超電荷を一つ保つ格子作用 16個の超電荷を持つ一次元SYMの非格子シミュレーション　　 　　　　3d, 4dのゲージ理論への拡張 ラージ N リダクションの考えを応用 超共形場の理論 (AdS/CFT) 32 c.f.) Kaplan-Unsal (’05), Elliott-Giedt-Moore (’08) Catterall (’08) 微調整は不要！ 2009.9.10 日本物理学会、　　　素核合同シンポジウム 西村　淳 (KEK理論センター) 　　　　 超弦理論の数値シミュレーション

西村 淳 (KEK理論センター) 超弦理論の数値シミュレーション 　　目次 0. 序 16個の超電荷を持った1d SYMの非格子シミュレーション ブラックホール熱力学の再現 ウィルソン・ループによるシュバルツシルド半径の同定 2. 高次元への拡張　(ラージ-N リダクションの考えを応用) 　　　　　　　　　　上の　　　　　　　　　　のトホーフト極限 　　　　　ウィルソン・ループ、２点関数 3. まとめと展望 2009.9.10 日本物理学会、　　　素核合同シンポジウム 西村　淳 (KEK理論センター) 　　　　 超弦理論の数値シミュレーション

１. 16個の超電荷を持った1d SYMの非格子シミュレーション

西村 淳 (KEK理論センター) 超弦理論の数値シミュレーション 16個の超電荷を持った1d SYM 1次元　ゲージ理論 周期的境界条件 　反周期的境界条件 温度 トホーフト結合定数 (一般性を失わない) 低温 強結合 双対な超重力解を用いた記述 高温 弱結合　　　　　　　　　　　 高温展開 Kawahara-J.N.-Takeuchi (’07) 2009.9.10 日本物理学会、　　　素核合同シンポジウム 西村　淳 (KEK理論センター) 　　　　 超弦理論の数値シミュレーション

西村 淳 (KEK理論センター) 超弦理論の数値シミュレーション 非格子シミュレーション Hanada-J.N.-Takeuchi, PRL 99 (07) 161602 [arXiv:0706.1647] 注: 1次元の場合　ゲージ対称性は非摂動的に固定できる static diagonal gauge : residual gauge symmetry : は、　　　　　　　　　　　　という条件を課すことにより固定 RHMC アルゴリズムを用いて、効率的なシミュレーションが可能 (Fourier accelerationが余計なコストなしに行える etc.) c.f.) 格子を用いた方法 : Catterall-Wiseman, JHEP 0712:104,2007 2009.9.10 日本物理学会、　　　素核合同シンポジウム 西村　淳 (KEK理論センター) 　　　　 超弦理論の数値シミュレーション

西村 淳 (KEK理論センター) 超弦理論の数値シミュレーション 結果: 　ポリャコフ・ライン Anagnostopoulos-Hanada- J.N.-Takeuchi, PRL 100 (’08) 021601 [arXiv:0707.4454] 高温展開 （next-leadingの補正を含む） 非閉じ込め相における典型的振舞 ボゾニックのときと違い、相転移はなし 重力側からの予想と一致 (Barbon et al., Aharony et al.) 2009.9.10 日本物理学会、　　　素核合同シンポジウム 西村　淳 (KEK理論センター) 　　　　 超弦理論の数値シミュレーション

西村 淳 (KEK理論センター) 超弦理論の数値シミュレーション ゲージ/重力対応からの予言（Ｉ） 双対な超重力解 ホーキングの理論 ブラックホールの熱力学 7.41 Klebanov-Tseytlin (’96) ゲージ/重力対応の予言： このブラックホール熱力学が、 1d SYMから再現 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（但し、ラージN、低温） ブラックホール熱力学の微視的起源 ブラックホール内部の状態の量子論的記述を与えている！！！ 2009.9.10 日本物理学会、　　　素核合同シンポジウム 西村　淳 (KEK理論センター) 　　　　 超弦理論の数値シミュレーション

西村 淳 (KEK理論センター) 超弦理論の数値シミュレーション 結果: 内部エネルギー Anagnostopoulos-Hanada- J.N.-Takeuchi, PRL 100 (’08) 021601 [arXiv:0707.4454] 自由エネルギー 高温展開 （next-leadingの補正を含む） 10d BHから 得られた結果 2009.9.10 日本物理学会、　　　素核合同シンポジウム 西村　淳 (KEK理論センター) 　　　　 超弦理論の数値シミュレーション

西村 淳 (KEK理論センター) 超弦理論の数値シミュレーション 高次補正を含めた、より精密な検証 Hanada-Hyakutake-J.N.-Takeuchi, PRL 102 (’09) 191602 [arXiv:0811.3102] 補正 slope = 4.6 有限カットオフ（Λ）効果 2009.9.10 日本物理学会、　　　素核合同シンポジウム 西村　淳 (KEK理論センター) 　　　　 超弦理論の数値シミュレーション

西村 淳 (KEK理論センター) 超弦理論の数値シミュレーション ゲージ/重力対応からの予言（ＩＩ） SYM プローブ D-ブレーン Maldacena (’98) Rey-Yee (’98) string ウィルソン・ループ 最小曲面 ウィルソン・ループによるシュバルツシルト半径の同定 (1dSYM) 1.89 2009.9.10 日本物理学会、　　　素核合同シンポジウム 西村　淳 (KEK理論センター) 　　　　 超弦理論の数値シミュレーション

西村 淳 (KEK理論センター) 超弦理論の数値シミュレーション 結果: ウィルソン・ループ Hanada-Miwa-J.N.-Takeuchi, PRL 102 (’09) 181602 [arXiv:0811.2081] ウィルソン・ループによる シュバルツシルト半径の同定 high T exp. (next-leading) 　　　　　　　　　 高次項 (摂動論的補正として解釈可能） 2009.9.10 日本物理学会、　　　素核合同シンポジウム 西村　淳 (KEK理論センター) 　　　　 超弦理論の数値シミュレーション

西村 淳 (KEK理論センター) 超弦理論の数値シミュレーション ゲージ/重力対応からの予言（ＩＩＩ） e.g.) 双対な超重力解からの予言　　　　 Sekino-Yoneya (’99) 　　（Gubser-Klebanov-Polyakov-Witten関係式 (’98)に基づく計算） ベキ則を1d SYMが再現 Hanada-J.N.-Sekino-Yoneya 論文執筆中 2009.9.10 日本物理学会、　　　素核合同シンポジウム 西村　淳 (KEK理論センター) 　　　　 超弦理論の数値シミュレーション

２. 高次元への拡張 （ラージＮリダクションの考え方を応用）

西村 淳 (KEK理論センター) 超弦理論の数値シミュレーション ラージN リダクション Eguchi-Kawai (’81) Bhanot-Heller-Neuberger (’82) Gonzalez-Arroyo & Okawa (’82) D次元トーラス上の U(N) ゲージ理論 １点に潰す large-N　reduced model c.f.) QCD at Narayanan-Neuberger (’03) Bringoltz-Sharpe (’09) 2009.9.10 日本物理学会、　　　素核合同シンポジウム 西村　淳 (KEK理論センター) 　　　　 超弦理論の数値シミュレーション

西村 淳 (KEK理論センター) 超弦理論の数値シミュレーション 新しいラージＮリダクション 　　　 SYM on Ishiki-Ishii-Shimasaki -Tsuchiya (’08) １点に潰す 1d SYM + mass deformation 　　(16個のSUSYを保つ) 無数の古典的真空　 　　　（16個のSUSYを保つ） すべて縮退 2009.9.10 日本物理学会、　　　素核合同シンポジウム 西村　淳 (KEK理論センター) 　　　　 超弦理論の数値シミュレーション

西村 淳 (KEK理論センター) 超弦理論の数値シミュレーション 新しいラージＮリダクション 　　　 SYM on Ishiki-Ishii-Shimasaki -Tsuchiya (’08) ：　ＳＵ（２）代数のn次元既約表現 SYM on 2009.9.10 日本物理学会、　　　素核合同シンポジウム 西村　淳 (KEK理論センター) 　　　　 超弦理論の数値シミュレーション

西村 淳 (KEK理論センター) 超弦理論の数値シミュレーション 弱結合極限での検証 Ishiki-Kim-J.N.-Tsuchicya Phys.Rev.Lett.102 (09) 111601[arXiv:0810.2884] 有限温度での非閉じ込め相転移 　　　　　上の 　　　　　SYMに対して 知られている結果 (Aharony et al. ’03) 2009.9.10 日本物理学会、　　　素核合同シンポジウム 西村　淳 (KEK理論センター) 　　　　 超弦理論の数値シミュレーション

西村 淳 (KEK理論センター) 超弦理論の数値シミュレーション 円形ウィルソン・ループ 共形写像 大円 Erickson-Semenoff-Zarembo (’00), Drukker-Gross (’00), Pestun (’07) （双対な超重力解から得られた結果と一致） 2009.9.10 日本物理学会、　　　素核合同シンポジウム 西村　淳 (KEK理論センター) 　　　　 超弦理論の数値シミュレーション

西村 淳 (KEK理論センター) 超弦理論の数値シミュレーション 結果：　円形ウィルソン・ループ (暫定的な結果) 1 2 Honda-Ishiki-J.N.-Tsuchiya 進行中 c.f.) 本多正純氏の講演 　　　　9/10午前 強結合からの展開 弱結合からの展開 all orderの結果 2009.9.10 日本物理学会、　　　素核合同シンポジウム 西村　淳 (KEK理論センター) 　　　　 超弦理論の数値シミュレーション

西村 淳 (KEK理論センター) 超弦理論の数値シミュレーション カイラル・プライマリ演算子 e.g.) 2点関数 （任意のλに対して） ラージN リダクション SUSY 非くりこみ定理 2009.9.10 日本物理学会、　　　素核合同シンポジウム 西村　淳 (KEK理論センター) 　　　　 超弦理論の数値シミュレーション

西村 淳 (KEK理論センター) 超弦理論の数値シミュレーション 結果： カイラル・プライマリ演算子の２点関数 （暫定的な結果） Honda-Ishiki-Kim-J.N.-Tsuchiya　進行中 reduced model (N=14) に対する free theory の結果 SYM に対する結果 SUSY 非くりこみ定理が 有限の　　　　　に対しても成立（?!） 2009.9.10 日本物理学会、　　　素核合同シンポジウム 西村　淳 (KEK理論センター) 　　　　 超弦理論の数値シミュレーション

西村 淳 (KEK理論センター) 超弦理論の数値シミュレーション さらに興味深い物理量 四角形ウィルソン・ループ, 多点相関関数 　　　　　　　上の　　　　　　　SYM c.f.) Berenstein-Cotta-Leonardi (’08) large-N reduced model を用いて計算可能 AdS/CFT の極めて非自明な検証 共形対称性のため i.e., ゲージ/重力対応の予言： 2009.9.10 日本物理学会、　　　素核合同シンポジウム 西村　淳 (KEK理論センター) 　　　　 超弦理論の数値シミュレーション

３．まとめと展望

西村 淳 (KEK理論センター) 超弦理論の数値シミュレーション まとめと展望 超対称ラージ N ゲージ理論の非格子シミュレーション 重力との直接的な関係が明らかになってきた　　　　　　　　　　　ゲージ/重力対応の検証 最大の超対称性を持つ理論 16 個の超電荷 　　　 (1d SYM) 32 個の超電荷 ( SYM on ) 超共形不変性 新しいラージN リダクション (16個のSUSYを保つ) ラージ N 極限で32個のSUSYが回復すると期待 : 要検証（特に強結合領域） SYM on , SUSYの少ない理論 　　　　　　　(シミュレーションは比較的簡単) 2009.9.10 日本物理学会、　　　素核合同シンポジウム 西村　淳 (KEK理論センター) 　　　　 超弦理論の数値シミュレーション