無偏極仮想光子構造関数に 対する標的質量効果及び 実験との比較 arXiv:0801.0937[hep-ph] 北殿義雄（広大理/京大理） 植田高寛（KEK） 佐々木賢（横浜国大） 植松恒夫（京大理）

Plan of talk 1: Introduction 2: How to extract target mass effect? 3: Main results 4: Comparison of experimental data 5: Summary 核子の構造関数２００８（1/12）

1. Introduction 光子構造関数 Photon = gauge boson, spin=1, charge=0, mass=0 point like coupling → tool for probing complicated objects (Proton…) ---核子構造関数--- probe = photon target = Nucleon 構造関数 = F2(x,Q2),FL(x,Q2),… ---光子構造関数--- probe = photon target = photon 構造関数 = F2γ(x,Q2), FLγ(x,Q2),… 核子の構造関数２００８（1/12）

光子構造関数はe-e+ → e-e+ hadronsの２光子過程で測定される。 次世代加速器での光子構造関数の測定 光子構造関数はe-e+ → e-e+ hadronsの２光子過程で測定される。 次世代では、International Linear Collider( ILC ). ・高エネルギー e+e-→ e+e-hadronsの性質 　　→２光子過程の割合が増加。 S.J.Brodsky,T.Kinoshita,H.Terazawa Phys.Rev.Lett.27,280(1971) ・why target mass? 　　→現在より幅広い力学的領域（Q2,P2）での測定 　　　　O(P2/Q2)=Target Mass Effect（TME）が重要 the maximal value of the Bjorken variable 核子の構造関数２００８（1/12）

Real photonではhadronic pieceはVMDで扱う。 (LO) (NLO) Witten (1977) Hadronic piece Bardeen-Buras (1979) Why Virtual photon? Real photonではhadronic pieceはVMDで扱う。 deeply virtual photon (Λ2<< P2<< Q2)の場合、Hadronic pieceは摂動論で扱える。 現在までに得られている結果 (LO) (NLO) Walsh,Uematsu (1981,1982) (NNLO) Ueda,Sasaki,Uematsu 　　　　(2007) 今回得られた結果 Target Mass Effect 核子の構造関数２００８（1/12）

Theoretical framework ・Forward scattering (Using OPE) Forward scatering ・Structure tensor(spin averaged) Dispersion relation 核子の構造関数２００８（1/12）

Moment sum rule for F2 Photon matrix element Perturbatively calculable (Λ2 << P2 << Q2) QCD beta function Anomalous dimension matrix Coefficient functions by Renormalization Group Renormalization point Operators (Leading twist =2, spin=n ) 光子構造関数には Photon Operatorが現れる 核子の構造関数２００８（1/12）

Higher order results 2-loop 2-loop 3-loop Hadronic Coefficient function(up to 2-loop O(αs2)) Van-Neerven-Zijlstra(91,92) 2-loop 1-loop tree Photon matrix element(up to 2-loop O(αs2)) Matiounine-Smith-van-Neerven(98) 2-loop 1-loop Anomalous dimension　for hadronic operator(up to 3-loop O(αs3)) Moch-Vermaseren-Vogt(04,06) 3-loop 2-loop 1-loop 核子の構造関数２００８（1/12）

Moment for F2 up to NNLO M2(n) to F2(x) LO(ααs-1) NLO(α) NNLO(ααs) Structure function (x-space) Moment (n-space) 逆Mellin変換（数値的） M2(n) F2(x) ※FL(x)についても同様 核子の構造関数２００８（1/12）

2. How to extract Target mass effect? Trace term(標的質量効果)を取り入れた縮約を行う O.Nachtmann(Nucl Phys B63 1973 237-247) S.Wandzura(Nucl Phys B122 1977 412-428) 例） O(P2/Q2)k (k=1,2)までkeep Cn(ν)(η )：Geｇenbauer　多項式 核子の構造関数２００８（1/12）

それぞれ異なる次数のGegenbauerをかけると、 Extracting TME T2とTLの寄与を分離するためにはGegenbauerの直交関係を使う。 ：直交関係 例） それぞれ異なる次数のGegenbauerをかけると、 モーメントM2, ML を取り出せる Nachtmann　モーメント 核子の構造関数２００８（1/12）

標的質量を考える際はこの線形結合がよい変数 3. Main results Nachtmann moments　(moment including TME) Scaling 変数 ξ Unpolarized structure functions(including TME) H(ξ) F(ξ) G(ξ) FL(ξ) 標的質量を考える際はこの線形結合がよい変数 Note: 核子の構造関数２００８（1/12）

F2に対する標的質量効果の結果 F2に対する 標的質量効果 ↓ xmax付近の値を 増加させる dominant ( nf=4, Q2=30GeV2, P2=1GeV2, Λ=0.2GeV, xmax=0.968 ) ΔF2max =13% F2に対する 標的質量効果 ↓ xmax付近の値を 増加させる dominant 核子の構造関数２００８（1/12）

FLに対する標的質量効果の結果 FLに対する 標的質量効果 ↓ xmax付近の値を 減少させる dominant ( nf=4, Q2=30GeV2, P2=1GeV2, Λ=0.2GeV, xmax=0.968 ) ΔFL max =4% FLに対する 標的質量効果 ↓ xmax付近の値を 減少させる dominant 核子の構造関数２００８（1/12）

discussion: ・F2のx=xmaxでの振る舞い ・FLのx=xmaxでの振る舞い Blow upしているように見えるが、 これはTMEの有無に依らない。 Moment-spaceでは、 OK Large-nでvanish Large-nでdominant Large-nでdominantな項が問題。　　 pQCDのNNLOでの問題点かもしれない。 →　何かLarge-nの改善が必要 　　　higher twist? resummation ? 核子の構造関数２００８（1/12）

4. Comparison of experimental data 現在までの実験データ ・2 group(PLUTO, L3)がvirtual structure functionを測定. ・Unpolarized double tag event. ・Effective structure functionを測定. PLUTO Collaboration(PETRA): ( Q2=5GeV2, P2=0.35GeV2, Λ=0.2GeV ) Phys Lett B142(1984)119-124 L3 Collaboration(LEP): ( Q2=120GeV2, P2=3.7GeV2, Λ=0.2GeV ) Phys Lett B483(2000)373-386 核子の構造関数２００８（1/12）

PLUTO実験との比較 Feff に対する 標的質量効果 ↓ F2 とFLを合わせるとほぼ効かない （end pointは 7%程のズレ） ( Q2=5GeV2, P2=0.35GeV2, Λ=0.2GeV ) Feff に対する 標的質量効果 ↓ F2 とFLを合わせるとほぼ効かない （end pointは 7%程のズレ） 核子の構造関数２００８（1/12）

L3実験との比較 Feff に対する 標的質量効果 ↓ F2 とFLを合わせると ほぼ効かない （end pointは 3%程のズレ） ( Q2=120GeV2, P2=3.7GeV2, Λ=0.2GeV ) Feff に対する 標的質量効果 ↓ F2 とFLを合わせると ほぼ効かない （end pointは 3%程のズレ） 核子の構造関数２００８（1/12）

discussion: PLUTO L3 ・実験データはエラーバーが大きいが、 理論的な計算と大まかには合っているように見える。 　理論的な計算と大まかには合っているように見える。 ・今回は4-flavorでの計算だが、c(heavy quark)のmassの 　取り扱いはmasslessとした。 →　heavy quarkとOPEを合わせた取扱いが今後の課題。 核子の構造関数２００８（1/12）

5. Summary 仮想光子構造関数 F2(FL)、Nachtmann モーメントを QCD NNLO(NLO) + Target Mass Effect まで含めて評価 Target Mass Effect ： F2 :increasing at xmax, O(10%), FL: decreasing at high x, O(5%) 実験との比較（PLUTO, L3） ： Feff :roughly consistent with experimental data (but large error) → ILCでの光子構造関数の測定に期待 今後の課題： x=1の付近での振る舞いの改善 higher twistの効果 heavy quarkの取り扱い 核子の構造関数２００８（1/12）