電気回路第1 第5回 ー第3章 正弦波交流ー 電気回路第1スライド5-1 電気回路第1　第5回 ー第3章　正弦波交流ー 目次（下のいずれかの項目をクリックするとその説明スライドに移動します。） ２ぐるっと回して正弦波 ３正弦波も定常状態 ４正弦波と周期 ５＜でんき＞の強さ ６正弦波交流の強さ ７瞬時電力と平均電力 ８交流電圧の実効値 ９交流電流の実効値 10抵抗回路 11電圧と電流の位相 12今日のまとめ

！ ぐるっと回して正弦波 電気回路第1 第5回 ：電池など 直流というと、 ー第3章 正弦波交流ー 正弦波も定常状態 このような、 1つ前のスライド 時間 電圧 直流（電圧一定）は定常 ずっと変化しないので 　　　時間 正弦波交流も 同じものの繰り返しで 定常状態です。 正弦波も定常状態 次のスライド 電気回路第1　第5回 ー第3章　正弦波交流ー ぐるっと回して正弦波 電気回路第1スライド5-2-1 ：電池など 直流というと、 このような、 電池とかを 思い浮かべます。 この中身は、 電圧源と抵抗 でしたね。 ①直流はこの電池とか。 ②なくなると困るので、年中発電機を回しましょう。 ③磁力線が走り、コイルにはこの変化から誘導起電力。 ④角速度ωで発電機を回すと、振動する電圧が発生。 ⑤交流での振動は正弦関数です。 コイルが磁界を切って どうしてサインカーブの 電圧が発生するか考え ましょう。 ！

！ ぐるっと回して正弦波 電気回路第1 第5回 直流 ：電池など 発電機 を回してみましょう。 ですが、 ー第3章 正弦波交流ー 1つ前のスライド 時間 電圧 直流（電圧一定）は定常 ずっと変化しないので 　　　時間 正弦波交流も 同じものの繰り返しで 定常状態です。 正弦波も定常状態 次のスライド 電気回路第1　第5回 ー第3章　正弦波交流ー ぐるっと回して正弦波 電気回路第1スライド5-2-2 直流 ：電池など 発電機 を回してみましょう。 年中燃料を補給し、 ですが、 なくなってしまうと大変 なので、 ①直流はこの電池とか。 ②なくなると困るので、年中発電機を回しましょう。 ③磁力線が走り、コイルにはこの変化から誘導起電力。 ④角速度ωで発電機を回すと、振動する電圧が発生。 ⑤交流での振動は正弦関数です。 ！ コイルが磁界を切って どうしてサインカーブの 電圧が発生するか考え ましょう。

！ ぐるっと回して正弦波 電気回路第1 第5回 直流 ：電池など 発電機 を回してみましょう。 ここの角度に依存する 電圧が出ます。 1つ前のスライド 時間 電圧 直流（電圧一定）は定常 ずっと変化しないので 　　　時間 正弦波交流も 同じものの繰り返しで 定常状態です。 正弦波も定常状態 次のスライド 電気回路第1　第5回 ー第3章　正弦波交流ー ぐるっと回して正弦波 電気回路第1スライド5-2-3 直流 ：電池など 発電機 を回してみましょう。 年中燃料を補給し、 ここの角度に依存する 電圧が出ます。 このとき、 たくさんの磁力線が このような磁石を おきます。 コイルを通過しますが、 すると右から左に もう少し回転すると、 見えないビーム 磁力線が走ります。 コイルをよぎる磁力線の数 が減少します。 その際磁力線の数の変化に 比例して誘導起電力がでるので、 そこに鉄芯つきの コイルを入れます、 なくなってしまうと大変 ①直流はこの電池とか。 ②なくなると困るので、年中発電機を回しましょう。 ③磁力線が走り、コイルにはこの変化から誘導起電力。 ④角速度ωで発電機を回すと、振動する電圧が発生。 ⑤交流での振動は正弦関数です。 ！ コイルが磁界を切って どうしてサインカーブの 電圧が発生するか考え ましょう。

！ ぐるっと回して正弦波 電気回路第1 第5回 直流 ：電池など 発電機 を回してみましょう。 ここの角度に依存する 電圧が出ます。 1つ前のスライド 時間 電圧 直流（電圧一定）は定常 ずっと変化しないので 　　　時間 正弦波交流も 同じものの繰り返しで 定常状態です。 正弦波も定常状態 次のスライド 電気回路第1　第5回 ー第3章　正弦波交流ー ぐるっと回して正弦波 電気回路第1スライド5-2-4 直流 ：電池など 発電機 を回してみましょう。 ここから始まって、 年中燃料を補給し、 時間 電圧 ここの角度に依存する 電圧が出ます。 　　ωt+θ ωt+θ 角速度ωで 発電機を回すと、 　電圧の変化を調べると、　 ときの 磁力線の数の変化に 比例して誘導起電力がでるので、 なくなってしまうと大変 このように電圧は振動します。 ①直流はこの電池とか。 ②なくなると困るので、年中発電機を回しましょう。 ③磁力線が走り、コイルにはこの変化から誘導起電力。 ④角速度ωで発電機を回すと、振動する電圧が発生。 ⑤交流での振動は正弦関数です。 コイルが磁界を切って どうしてサインカーブの 電圧が発生するか考え ましょう。 ！

！ ぐるっと回して正弦波 電気回路第1 第5回 直流 ：電池など 交流と呼ぶ。 ： 簡単な 発電機 を回してみましょう。 などでつくる。 1つ前のスライド 時間 電圧 直流（電圧一定）は定常 ずっと変化しないので 　　　時間 正弦波交流も 同じものの繰り返しで 定常状態です。 正弦波も定常状態 次のスライド 電気回路第1　第5回 ー第3章　正弦波交流ー ぐるっと回して正弦波 電気回路第1スライド5-2-5 直流 ：電池など 交流と呼ぶ。 ： 簡単な 発電機 を回してみましょう。 年中燃料を補給し、 などでつくる。 ここから始まって、 時間 電圧 これを ωt+θ なくなってしまうと大変 電圧は時間の正弦関数になります。 このように電圧は振動します。 ①直流はこの電池とか。 ②なくなると困るので、年中発電機を回しましょう。 ③磁力線が走り、コイルにはこの変化から誘導起電力。 ④角速度ωで発電機を回すと、振動する電圧が発生。 ⑤交流での振動は正弦関数です。 コイルが磁界を切って どうしてサインカーブの 電圧が発生するか考え ましょう。 ！

！ 正弦波も定常状態 電圧 時間 ぐるっと回して正弦波 正弦波と周期 まず前回までの 直流から示します。 ずっと変化しないので 年中燃料を補給し、 ぐるっと回して正弦波 直流 ：電池など ωt+θ 時間 電圧 交流： 簡単な発電機などでつくる。 これを 電圧は時間の正弦関数になります。 角周波数をω としてすると　　　　 をもった関数となる。 周期 動かしても 同じ位置にあります。 （　　　　） 正弦波と周期 e この電圧は、振幅Eｍの = Eｍ Em sin +θ t =0 の初期位相をθ とし、 ωt sin(ωt+θ) = 2π ω 電圧e [V] t [s] 　時間　 sin[ω(t+　　　 )θ] 正弦波で、 +θ] 正弦波も定常状態 電気回路第1スライド5-3-1 時間 電圧 まず前回までの 直流から示します。 ずっと変化しないので 直流（電圧一定）は定常 直流の電圧は、 ①直流は電圧が真っ直ぐで定常状態。 ②移動し、凸凹を付けて、サインカーブにすると交流。 ③正弦波交流は、増減を繰り返し、これも定常状態。 定常でないもの、変化が あったその瞬間を解析す る場合（過渡応答）につ いて少しだけ。 ！

！ 正弦波も定常状態 では、 時間 電圧 時間 電圧 時間 電圧 時間 電圧 時間 電圧 ぐるっと回して正弦波 正弦波と周期 年中燃料を補給し、 ぐるっと回して正弦波 直流 ：電池など ωt+θ 時間 電圧 交流： 簡単な発電機などでつくる。 これを 電圧は時間の正弦関数になります。 角周波数をω としてすると　　　　 をもった関数となる。 周期 動かしても 同じ位置にあります。 （　　　　） 正弦波と周期 e この電圧は、振幅Eｍの = Eｍ Em sin +θ t =0 の初期位相をθ とし、 ωt sin(ωt+θ) = 2π ω 電圧e [V] t [s] 　時間　 sin[ω(t+　　　 )θ] 正弦波で、 +θ] 正弦波も定常状態 電気回路第1スライド5-3-2 時間 電圧 時間 電圧 　　　時間 電圧 時間 電圧 時間 電圧 グラフを持ち上げて 　では、　 ここできちんと正弦波に直して ずっと変化しないので 少しでこぼこ付けて 直流（電圧一定）は定常 少し下げましょう。真中はゼロです。 マイナスも用意して ①直流は電圧が真っ直ぐで定常状態。 ②移動し、凸凹を付けて、サインカーブにすると交流。 ③正弦波交流は、増減を繰り返し、これも定常状態。 定常でないもの、変化が あったその瞬間を解析す る場合（過渡応答）につ いて少しだけ。 ！

！ 正弦波も定常状態 正弦波交流も 同じものの繰り返しで 定常状態です。 電圧 電圧 時間 時間 ぐるっと回して正弦波 正弦波と周期 年中燃料を補給し、 ぐるっと回して正弦波 直流 ：電池など ωt+θ 時間 電圧 交流： 簡単な発電機などでつくる。 これを 電圧は時間の正弦関数になります。 角周波数をω としてすると　　　　 をもった関数となる。 周期 動かしても 同じ位置にあります。 （　　　　） 正弦波と周期 e この電圧は、振幅Eｍの = Eｍ Em sin +θ t =0 の初期位相をθ とし、 ωt sin(ωt+θ) = 2π ω 電圧e [V] t [s] 　時間　 sin[ω(t+　　　 )θ] 正弦波で、 +θ] 正弦波も定常状態 電気回路第1スライド5-3-3 電圧 時間 電圧 正弦波交流も ずっと変化しないので 　　　時間 直流（電圧一定）は定常 同じものの繰り返しで 定常状態です。 ①直流は電圧が真っ直ぐで定常状態。 ②移動し、凸凹を付けて、サインカーブにすると交流。 ③正弦波交流は、増減を繰り返し、これも定常状態。 ！ 定常でないもの、変化が あったその瞬間を解析す る場合（過渡応答）につ いて少しだけ。

？ ！ 正弦波と周期 もう少しちゃんと定式化しましょう。 先ほどのグラフを持ってきて、 電圧e [V] 時間 t [s] 正弦波も定常状態 直流（電圧一定）は定常 ずっと変化しないので 　　　時間 正弦波交流も 同じものの繰り返しで 定常状態です。 正弦波も定常状態 電気の能力の評価 電気ポットの湯沸し能力 ＜でんき＞の強さ 抵抗 の 消費電力ei は、 e 抵抗にかかる電圧 と i 抵抗を流れる電流 の積。 正弦波と周期 電気回路第1スライド5-4-1 電圧e [V] t [s] 　時間　 もう少しちゃんと定式化しましょう。 先ほどのグラフを持ってきて、 ①前と同じグラフ。 ②サインは２π／ωで繰り返す。 ③図で右に2π／ω動かしてもちゃんと重なる。 ④振幅Em、初期位相θ、角周波数ω、周期2π／ω。 ご存知のはずですが、 サインカーブそのものの 復習から ？ ！ その他正弦関数について 追加しておきます。

sin(ωt+θ) = sin(ωt+θ+2π) 時間 電圧 直流（電圧一定）は定常 ずっと変化しないので 　　　時間 正弦波交流も 同じものの繰り返しで 定常状態です。 正弦波も定常状態 電気の能力の評価 電気ポットの湯沸し能力 ＜でんき＞の強さ 抵抗 の 消費電力ei は、 e 抵抗にかかる電圧 と i 抵抗を流れる電流 の積。 正弦波と周期 電気回路第1スライド5-4-2 電圧e [V] t [s] 　時間　 この電圧 が、 最大値 正弦波で、 Eｍ Eｍの e = Em sin （　　　　） ωt +θ t =0 の時の角度を θ とし、 角度の変化の割合を ω として、 sin[ω(t+　　　)+θ] 2π ω sin(ωt+θ) = sin(ωt+θ+2π) より 2π ω e は、 毎に繰り返します。 ①前と同じグラフ。 ②サインは２π／ωで繰り返す。 ③図で右に2π／ω動かしてもちゃんと重なる。 ④振幅Em、初期位相θ、角周波数ω、周期2π／ω。 ？ ご存知のはずですが、 サインカーブそのものの 復習から ！ その他正弦関数について 追加しておきます。

sin(ωt+θ) = sin(ωt+θ+2π) 時間 電圧 直流（電圧一定）は定常 ずっと変化しないので 　　　時間 正弦波交流も 同じものの繰り返しで 定常状態です。 正弦波も定常状態 電気の能力の評価 電気ポットの湯沸し能力 ＜でんき＞の強さ 抵抗 の 消費電力ei は、 e 抵抗にかかる電圧 と i 抵抗を流れる電流 の積。 正弦波と周期 電気回路第1スライド5-4-3 電圧e [V] t [s] 　時間　 この電圧 が、 最大値 Eｍ Eｍの 正弦波で、 ここを、 e = Em sin （　　　　） ωt +θ 図では、 t =0 の時の角度を θ とし、 角度の変化の割合を ω として、 2π ω sin[ω(t+　　　)+θ] 2π ω 動かしても 同じ位置にあります。 sin(ωt+θ) = sin(ωt+θ+2π) より 2π ω e は、 毎に繰り返します。 ①前と同じグラフ。 ②サインは２π／ωで繰り返す。 ③図で右に2π／ω動かしてもちゃんと重なる。 ④振幅Em、初期位相θ、角周波数ω、周期2π／ω。 ご存知のはずですが、 サインカーブそのものの 復習から ？ ！ その他正弦関数について 追加しておきます。

sin(ωt+θ) = sin(ωt+θ+2π) 時間 電圧 直流（電圧一定）は定常 ずっと変化しないので 　　　時間 正弦波交流も 同じものの繰り返しで 定常状態です。 正弦波も定常状態 電気の能力の評価 電気ポットの湯沸し能力 ＜でんき＞の強さ 抵抗 の 消費電力ei は、 e 抵抗にかかる電圧 と i 抵抗を流れる電流 の積。 正弦波と周期 電気回路第1スライド5-4-4 電圧e [V] t [s] 　時間　 この電圧 が、 は、　振幅 最大値 Eｍの 正弦波で、 Eｍ e = Em sin （　　　　） ωt +θ 　用語を書き換えて、　 　用語を書き換えて、　 t =0 の時の角度を の初期位相を θ とし、 角周波数をω とすると　　　　　　　 角度の変化の割合を ω として、 2π ω sin[ω(t+　　　)+θ] 2π ω 動かしても 同じ位置にあります。 sin(ωt+θ) = sin(ωt+θ+2π) より 2π ω 周期 e は、 毎に繰り返します。 をもった関数となる。 ①前と同じグラフ。 ②サインは２π／ωで繰り返す。 ③図で右に2π／ω動かしてもちゃんと重なる。 ④振幅Em、初期位相θ、角周波数ω、周期2π／ω。 ？ ご存知のはずですが、 サインカーブそのものの 復習から ！ その他正弦関数について 追加しておきます。

！ ＜でんき＞の強さ （いいかげんな意味で）でんきの強さはどう評価しようか？ でんきに仕事をさせる例として、 電気ポットの湯沸し能力 角周波数をω としてすると　　　　 をもった関数となる。 周期 動かしても 同じ位置にあります。 （　　　　） 正弦波と周期 e この電圧は、振幅Eｍの = Eｍ Em sin +θ t =0 の初期位相をθ とし、 ωt sin(ωt+θ) = 2π ω 電圧e [V] t [s] 　時間　 sin[ω(t+　　　 )θ] 　　　時間 電圧 正弦波交流の電力 正弦波交流の強さ 抵抗Rの場合 － 電流 電力 : R Em e = Em sin（ωt+θ） i = sin（ωt+θ） : p = sin2（ωt+θ） 2 = e2 電力 と常に正（かゼロ）の関数です。 正弦波で、 +θ] ＜でんき＞の強さ 電気回路第1スライド5-5-1 （いいかげんな意味で）でんきの強さはどう評価しようか？ でんきに仕事をさせる例として、 電気ポットの湯沸し能力 としてみよう。 ①でんきの強さとして電気ポットでお湯を沸かす能力。 ②こんなポットに水を入れて、お湯を沸騰させてよう。 ③中の抵抗の消費電力そのもので、E×I。 ！ なぜ、抵抗を持ち出した かわかりますか？

！ ＜でんき＞の強さ 電気の能力の評価 電気ポットの湯沸し能力 正弦波と周期 正弦波交流の強さ こんなポットに 交流100Vを加えると、 角周波数をω としてすると　　　　 をもった関数となる。 周期 動かしても 同じ位置にあります。 （　　　　） 正弦波と周期 e この電圧は、振幅Eｍの = Eｍ Em sin +θ t =0 の初期位相をθ とし、 ωt sin(ωt+θ) = 2π ω 電圧e [V] t [s] 　時間　 sin[ω(t+　　　 )θ] 　　　時間 電圧 正弦波交流の電力 正弦波交流の強さ 抵抗Rの場合 － 電流 電力 : R Em e = Em sin（ωt+θ） i = sin（ωt+θ） : p = sin2（ωt+θ） 2 = e2 電力 と常に正（かゼロ）の関数です。 正弦波で、 +θ] ＜でんき＞の強さ 電気回路第1スライド5-5-2 電気の能力の評価 電気ポットの湯沸し能力 こんなポットに 交流100Vを加えると、 中のヒーター 抵抗が発熱して、 お湯を沸かしてくれますね。 ①でんきの強さとして電気ポットでお湯を沸かす能力。 ②こんなポットに水を入れて、お湯を沸騰させてよう。 ③中の抵抗の消費電力そのもので、E×I。 ！ なぜ、抵抗を持ち出した かわかりますか？

！ ＜でんき＞の強さ 電気の能力の評価 電気ポットの湯沸し能力 i 抵抗 の 消費電力で、 ei は、 抵抗にかかる電圧 e と e 角周波数をω としてすると　　　　 をもった関数となる。 周期 動かしても 同じ位置にあります。 （　　　　） 正弦波と周期 e この電圧は、振幅Eｍの = Eｍ Em sin +θ t =0 の初期位相をθ とし、 ωt sin(ωt+θ) = 2π ω 電圧e [V] t [s] 　時間　 sin[ω(t+　　　 )θ] 　　　時間 電圧 正弦波交流の電力 正弦波交流の強さ 抵抗Rの場合 － 電流 電力 : R Em e = Em sin（ωt+θ） i = sin（ωt+θ） : p = sin2（ωt+θ） 2 = e2 電力 と常に正（かゼロ）の関数です。 正弦波で、 +θ] ＜でんき＞の強さ 電気回路第1スライド5-5-3 電気の能力の評価 ここを流れる 電流 電気ポットの湯沸し能力 は は i 抵抗 の 消費電力で、 ei は、 ここの電圧 抵抗にかかる電圧 e と e 抵抗を流れる電流 i の積。 ①でんきの強さとして電気ポットでお湯を沸かす能力。 ②こんなポットに水を入れて、お湯を沸騰させてよう。 ③中の抵抗の消費電力そのもので、E×I。 ！ なぜ、抵抗を持ち出した かわかりますか？

？ 正弦波交流の強さ それでは、正弦波交流の電力を計算してみましょう。 電圧 時間 電流 時間 ＜でんき＞の強さ 瞬時電力と平均電力 電気の能力の評価 電気ポットの湯沸し能力 ＜でんき＞の強さ 抵抗 の 消費電力ei は、 e 抵抗にかかる電圧 と i 抵抗を流れる電流 の積。 平均電力 P = Em 2R 2 電力 瞬時電力 この電力は、 供給電力ゼロ。 この一瞬は、 p = R sin2（ωt+θ） 瞬時電力と平均電力 t 実質的に効くのが 正弦波交流の強さ 電気回路第1スライド5-6-1 　　　時間 電圧 それでは、正弦波交流の電力を計算してみましょう。 抵抗に交流電圧を加えた場合の電圧と電流をプロットして、 　　　時間 電流 ①正弦波交流の電力を計算。グラフを用意。 ②電圧がEmsin(ωｔ＋θ)なら、電力はsin2(ωｔ＋θ)。 ③図でも２乗ですからマイナスにはならない関数。 ？ 一応、計算を書いておき ます。

？ 正弦波交流の強さ 正弦波交流の電力 － － 電圧 が : e = Em sin（ωt+θ） Em sin（ωt+θ） 電気の能力の評価 電気ポットの湯沸し能力 ＜でんき＞の強さ 抵抗 の 消費電力ei は、 e 抵抗にかかる電圧 と i 抵抗を流れる電流 の積。 平均電力 P = Em 2R 2 電力 瞬時電力 この電力は、 供給電力ゼロ。 この一瞬は、 p = R sin2（ωt+θ） 瞬時電力と平均電力 t 実質的に効くのが 正弦波交流の強さ 電気回路第1スライド5-6-2 　　　時間 電圧 正弦波交流の電力 －　 － は 抵抗Rの場合 には、 電圧 が : e = Em sin（ωt+θ） Em sin（ωt+θ） Em sin（ωt+θ） i = 　　 ですから、 e R Em sin（ωt+θ） なる正弦波で与えられるとき 電流は、 sin（ωt+θ） です。 　　　時間 電流 sin2（ωt+θ） Em R 2 電力は、 : p = ei このとき、 = Em sin（ωt+θ） = e2 R sin（ωt+θ） Em R です。 × から、 ①正弦波交流の電力を計算。グラフを用意。 ②電圧がEmsin(ωｔ＋θ)なら、電力はsin2(ωｔ＋θ)。 ③図でも２乗ですからマイナスにはならない関数。 ？ 一応、計算を書いておき ます。

？ 正弦波交流の強さ 正弦波交流の電力 － 電圧 R Em e = Em sin（ωt+θ） i = sin（ωt+θ） : p = 電気の能力の評価 電気ポットの湯沸し能力 ＜でんき＞の強さ 抵抗 の 消費電力ei は、 e 抵抗にかかる電圧 と i 抵抗を流れる電流 の積。 平均電力 P = Em 2R 2 電力 瞬時電力 この電力は、 供給電力ゼロ。 この一瞬は、 p = R sin2（ωt+θ） 瞬時電力と平均電力 t 実質的に効くのが 正弦波交流の強さ 電気回路第1スライド5-6-3 　　　時間 電圧 正弦波交流の電力 － 抵抗Rの場合 電圧 R Em e = Em sin（ωt+θ） i = sin（ωt+θ） : p = sin2（ωt+θ） 2 = e2 　グラフでは、　 電流 電力 　　　時間 電流 として、 電力 : と常に正（かゼロ）の関数です。 ①正弦波交流の電力を計算。グラフを用意。 ②電圧がEmsin(ωｔ＋θ)なら、電力はsin2(ωｔ＋θ)。 ③図でも２乗ですからマイナスにはならない関数。 ？ 一応、計算を書いておき ます。

例えば、交流100Ｖというと、振幅100Ｖではなく、 　　　時間 電圧 正弦波交流の電力 正弦波交流の強さ 抵抗Rの場合 － 電流 電力 : R Em e = Em sin（ωt+θ） i = sin（ωt+θ） : p = sin2（ωt+θ） 2 = e2 電力 と常に正（かゼロ）の関数です。 e2dt ∫ T √ 電圧の実効値 ││ E 　　は、電圧の実効的な大きさを表します。 例えば、交流100Ｖというと、振幅100Ｖではなく、 実効値100Ｖ、振幅141Ｖを表します。 交流電圧の実効値 ＝ Em 2 瞬時電力と平均電力 電気回路第1スライド5-7-1 電力 　　　t まず、先ほどの結果をプロットします。 この電力は、 p = sin2（ωt+θ） Em R 2 と時間がたつとともに変化します。 ①Eｍ2/R×サインは刻一刻変化。 ②電力０ともなる。 ③ピークの時、電力はEｍ2/R。 ④Eｍ2/2Rにもなる。 ⑤ある一瞬の電力、瞬時電力。 ⑥お湯を沸かす電力は、使っている時間の平均。 ⑦平均電力はピークの半分、Eｍ2/2R。 ？ sin2(ωt +θ) の計算を します。 ？ なぜ、周期Ｔの間の平均 （積分）をするのだろう。

例えば、交流100Ｖというと、振幅100Ｖではなく、 　　　時間 電圧 正弦波交流の電力 正弦波交流の強さ 抵抗Rの場合 － 電流 電力 : R Em e = Em sin（ωt+θ） i = sin（ωt+θ） : p = sin2（ωt+θ） 2 = e2 電力 と常に正（かゼロ）の関数です。 e2dt ∫ T √ 電圧の実効値 ││ E 　　は、電圧の実効的な大きさを表します。 例えば、交流100Ｖというと、振幅100Ｖではなく、 実効値100Ｖ、振幅141Ｖを表します。 交流電圧の実効値 ＝ Em 2 瞬時電力と平均電力 電気回路第1スライド5-7-2 電力 　　　t 例えば、 この一瞬は、 この電力は、 供給電力ゼロ。 p = sin2（ωt+θ） Em R 2 と時間がたつとともに変化します。 ①Eｍ2/R×サインは刻一刻変化。 ②電力０ともなる。 ③ピークの時、電力はEｍ2/R。 ④Eｍ2/2Rにもなる。 ⑤ある一瞬の電力、瞬時電力。 ⑥お湯を沸かす電力は、使っている時間の平均。 ⑦平均電力はピークの半分、Eｍ2/2R。 ？ sin2(ωt +θ) の計算を します。 なぜ、周期Ｔの間の平均 （積分）をするのだろう。 ？

例えば、交流100Ｖというと、振幅100Ｖではなく、 　　　時間 電圧 正弦波交流の電力 正弦波交流の強さ 抵抗Rの場合 － 電流 電力 : R Em e = Em sin（ωt+θ） i = sin（ωt+θ） : p = sin2（ωt+θ） 2 = e2 電力 と常に正（かゼロ）の関数です。 e2dt ∫ T √ 電圧の実効値 ││ E 　　は、電圧の実効的な大きさを表します。 例えば、交流100Ｖというと、振幅100Ｖではなく、 実効値100Ｖ、振幅141Ｖを表します。 交流電圧の実効値 ＝ Em 2 瞬時電力と平均電力 電気回路第1スライド5-7-3 この一瞬は、 電力 　　　t p = sin2（ωt+θ） Em R 2 の p = sin2（ωt+θ） Em R 2 p = sin2（ωt+θ） Em R 2 ここが１なので略して、 p = sin2（ωt+θ） Em R 2 p = sin2（ωt+θ） Em R 2 この一瞬は、 この電力は、 供給電力ゼロ。 p = sin2（ωt+θ） Em R 2 と時間がたつとともに変化します。 ①Eｍ2/R×サインは刻一刻変化。 ②電力０ともなる。 ③ピークの時、電力はEｍ2/R。 ④Eｍ2/2Rにもなる。 ⑤ある一瞬の電力、瞬時電力。 ⑥お湯を沸かす電力は、使っている時間の平均。 ⑦平均電力はピークの半分、Eｍ2/2R。 ？ sin2(ωt +θ) の計算を します。 ？ なぜ、周期Ｔの間の平均 （積分）をするのだろう。

例えば、交流100Ｖというと、振幅100Ｖではなく、 　　　時間 電圧 正弦波交流の電力 正弦波交流の強さ 抵抗Rの場合 － 電流 電力 : R Em e = Em sin（ωt+θ） i = sin（ωt+θ） : p = sin2（ωt+θ） 2 = e2 電力 と常に正（かゼロ）の関数です。 e2dt ∫ T √ 電圧の実効値 ││ E 　　は、電圧の実効的な大きさを表します。 例えば、交流100Ｖというと、振幅100Ｖではなく、 実効値100Ｖ、振幅141Ｖを表します。 交流電圧の実効値 ＝ Em 2 瞬時電力と平均電力 電気回路第1スライド5-7-4 この一瞬は、 電力 　　　t p = Em R 2 さらに、 さらに、 この一瞬は、 p = Em 2R 2 ピークの半分 この一瞬は、 この電力は、 供給電力ゼロ。 p = sin2（ωt+θ） Em R 2 と時間がたつとともに変化します。 ①Eｍ2/R×サインは刻一刻変化。 ②電力０ともなる。 ③ピークの時、電力はEｍ2/R。 ④Eｍ2/2Rにもなる。 ⑤ある一瞬の電力、瞬時電力。 ⑥お湯を沸かす電力は、使っている時間の平均。 ⑦平均電力はピークの半分、Eｍ2/2R。 ？ sin2(ωt +θ) の計算を します。 ？ なぜ、周期Ｔの間の平均 （積分）をするのだろう。

例えば、交流100Ｖというと、振幅100Ｖではなく、 　　　時間 電圧 正弦波交流の電力 正弦波交流の強さ 抵抗Rの場合 － 電流 電力 : R Em e = Em sin（ωt+θ） i = sin（ωt+θ） : p = sin2（ωt+θ） 2 = e2 電力 と常に正（かゼロ）の関数です。 e2dt ∫ T √ 電圧の実効値 ││ E 　　は、電圧の実効的な大きさを表します。 例えば、交流100Ｖというと、振幅100Ｖではなく、 実効値100Ｖ、振幅141Ｖを表します。 交流電圧の実効値 ＝ Em 2 瞬時電力と平均電力 電気回路第1スライド5-7-5 これらを 瞬時電力と呼びます。 この一瞬は、 電力 　　　t p = Em R 2 この一瞬は、 p = Em 2R 2 この一瞬は、 この電力は、 供給電力ゼロ。 p = sin2（ωt+θ） Em R 2 と時間がたつとともに変化します。 ①Eｍ2/R×サインは刻一刻変化。 ②電力０ともなる。 ③ピークの時、電力はEｍ2/R。 ④Eｍ2/2Rにもなる。 ⑤ある一瞬の電力、瞬時電力。 ⑥お湯を沸かす電力は、使っている時間の平均。 ⑦平均電力はピークの半分、Eｍ2/2R。 ？ sin2(ωt +θ) の計算を します。 なぜ、周期Ｔの間の平均 （積分）をするのだろう。 ？

例えば、交流100Ｖというと、振幅100Ｖではなく、 　　　時間 電圧 正弦波交流の電力 正弦波交流の強さ 抵抗Rの場合 － 電流 電力 : R Em e = Em sin（ωt+θ） i = sin（ωt+θ） : p = sin2（ωt+θ） 2 = e2 電力 と常に正（かゼロ）の関数です。 e2dt ∫ T √ 電圧の実効値 ││ E 　　は、電圧の実効的な大きさを表します。 例えば、交流100Ｖというと、振幅100Ｖではなく、 実効値100Ｖ、振幅141Ｖを表します。 交流電圧の実効値 ＝ Em 2 瞬時電力と平均電力 電気回路第1スライド5-7-6 瞬時電力 この一瞬は、 電力 　　　t t 電力 p = Em R 2 　　ですが、　　 　　ですが、　　 この一瞬は、 p = Em 2R 2 この一瞬は、 この電力は、 供給電力ゼロ。 すると、この瞬時電力よりは、 60分の1秒ではお湯が沸かない ので数分加熱しましょう。 p = sin2（ωt+θ） Em R 2 このように、平均した電力が お湯を沸かしていると考える と交流の能力がわかる。 ①Eｍ2/R×サインは刻一刻変化。 ②電力０ともなる。 ③ピークの時、電力はEｍ2/R。 ④Eｍ2/2Rにもなる。 ⑤ある一瞬の電力、瞬時電力。 ⑥お湯を沸かす電力は、使っている時間の平均。 ⑦平均電力はピークの半分、Eｍ2/2R。 sin2(ωt +θ) の計算を します。 ？ ？ なぜ、周期Ｔの間の平均 （積分）をするのだろう。

例えば、交流100Ｖというと、振幅100Ｖではなく、 　　　時間 電圧 正弦波交流の電力 正弦波交流の強さ 抵抗Rの場合 － 電流 電力 : R Em e = Em sin（ωt+θ） i = sin（ωt+θ） : p = sin2（ωt+θ） 2 = e2 電力 と常に正（かゼロ）の関数です。 e2dt ∫ T √ 電圧の実効値 ││ E 　　は、電圧の実効的な大きさを表します。 例えば、交流100Ｖというと、振幅100Ｖではなく、 実効値100Ｖ、振幅141Ｖを表します。 交流電圧の実効値 ＝ Em 2 瞬時電力と平均電力 電気回路第1スライド5-7-7 瞬時電力 平均電力 この一瞬は、 電力 　　　t t 電力 p = Em R 2 この一瞬は、 p = Em 2R 2 この一瞬は、 この電力は、 供給電力ゼロ。 実質的に効くのが　　　　　　　　 平均はピークの半分ですから、 p = sin2（ωt+θ） Em R 2 P = Em 2R 2 平均電力 このように、平均した電力が お湯を沸かしていると考える と交流の能力がわかる。 ①Eｍ2/R×サインは刻一刻変化。 ②電力０ともなる。 ③ピークの時、電力はEｍ2/R。 ④Eｍ2/2Rにもなる。 ⑤ある一瞬の電力、瞬時電力。 ⑥お湯を沸かす電力は、使っている時間の平均。 ⑦平均電力はピークの半分、Eｍ2/2R。 sin2(ωt +θ) の計算を します。 ？ ？ なぜ、周期Ｔの間の平均 （積分）をするのだろう。

で扱い、10アンペアの交流は、振幅14．1Ａとなります。 平均電力 P = Em 2R 2 電力 瞬時電力 この電力は、 供給電力ゼロ。 この一瞬は、 p = R sin2（ωt+θ） 瞬時電力と平均電力 t 実質的に効くのが 交流電流の実効値 電流の実効値 ││ I 　　電圧と同様に、 i2dt ∫ T ＝ 交流電流i = Im sin（ωt+θ）も Im 2 √ で扱い、10アンペアの交流は、振幅14．1Ａとなります。 交流電圧の実効値 電気回路第1スライド5-8-1 P = Em 2R 2 さきほどの議論で、平均電力 と表されましたが、 刻一刻と変化し、マイナスにもなる電圧を二乗して扱います。 2π ω すなわち 周期 T = の平均をとります。 ①電圧の2乗平均。周期Tの平均でよい。 ②平均は積分で、0からTまで積分してTで割る。 ③積分を計算して、Eｍ2割る2です。 ④電圧の実効的な大きさを求めると、分母はルート２。 ⑤交流電圧の実効値│E│。交流100Ｖは振幅141Ｖ。 電圧の実効値の計算と 演習です。 ！ ！ 余談ながら、2乗平均を とることについて、

で扱い、10アンペアの交流は、振幅14．1Ａとなります。 平均電力 P = Em 2R 2 電力 瞬時電力 この電力は、 供給電力ゼロ。 この一瞬は、 p = R sin2（ωt+θ） 瞬時電力と平均電力 t 実質的に効くのが 交流電流の実効値 電流の実効値 ││ I 　　電圧と同様に、 i2dt ∫ T ＝ 交流電流i = Im sin（ωt+θ）も Im 2 √ で扱い、10アンペアの交流は、振幅14．1Ａとなります。 交流電圧の実効値 電気回路第1スライド5-8-2 e2dt ∫ T 　電圧の二乗の平均＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　実は積分で、　　 ただし、 と積分して、 平均ですから時間で割ります。 T 2π ω 周期 T = の平均をとります。 ①電圧の2乗平均。周期Tの平均でよい。 ②平均は積分で、0からTまで積分してTで割る。 ③積分を計算して、Eｍ2割る2です。 ④電圧の実効的な大きさを求めると、分母はルート２。 ⑤交流電圧の実効値│E│。交流100Ｖは振幅141Ｖ。 ！ 電圧の実効値の計算と 演習です。 余談ながら、2乗平均を とることについて、 ！

で扱い、10アンペアの交流は、振幅14．1Ａとなります。 平均電力 P = Em 2R 2 電力 瞬時電力 この電力は、 供給電力ゼロ。 この一瞬は、 p = R sin2（ωt+θ） 瞬時電力と平均電力 t 実質的に効くのが 交流電流の実効値 電流の実効値 ││ I 　　電圧と同様に、 i2dt ∫ T ＝ 交流電流i = Im sin（ωt+θ）も Im 2 √ で扱い、10アンペアの交流は、振幅14．1Ａとなります。 交流電圧の実効値 電気回路第1スライド5-8-3 e2dt ∫ T ＝ T Em　　　sin2(ωt+θ)dt ∫ 2 [Emsin(ωt+θ)]2dt ∫ T ＝ 2 Em 　電圧の二乗の平均＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 計算しましょう。 となります。 T 2π ω ただし、 T = sin2(ωt+θ)dt ＝ のため ∫ T 2 ①電圧の2乗平均。周期Tの平均でよい。 ②平均は積分で、0からTまで積分してTで割る。 ③積分を計算して、Eｍ2割る2です。 ④電圧の実効的な大きさを求めると、分母はルート２。 ⑤交流電圧の実効値│E│。交流100Ｖは振幅141Ｖ。 ！ 電圧の実効値の計算と 演習です。 ！ 余談ながら、2乗平均を とることについて、

！ ！ ∫ √ 交流電圧の実効値 ∫ T √ e2dt 電圧の二乗の平均＝ 2 Em ＝ T ここで、 電圧の実効的な大きさをもとめると、 平均電力 P = Em 2R 2 電力 瞬時電力 この電力は、 供給電力ゼロ。 この一瞬は、 p = R sin2（ωt+θ） 瞬時電力と平均電力 t 実質的に効くのが 交流電流の実効値 電流の実効値 ││ I 　　電圧と同様に、 i2dt ∫ T ＝ 交流電流i = Im sin（ωt+θ）も Im 2 √ で扱い、10アンペアの交流は、振幅14．1Ａとなります。 交流電圧の実効値 電気回路第1スライド5-8-4 e2dt ∫ T 　電圧の二乗の平均＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2 Em √ ＝ √ T ここで、 電圧の実効的な大きさをもとめると、 もちろん、2乗のままではディメンジョンが合わないので ①電圧の2乗平均。周期Tの平均でよい。 ②平均は積分で、0からTまで積分してTで割る。 ③積分を計算して、Eｍ2割る2です。 ④電圧の実効的な大きさを求めると、分母はルート２。 ⑤交流電圧の実効値│E│。交流100Ｖは振幅141Ｖ。 ！ 電圧の実効値の計算と 演習です。 ！ 余談ながら、2乗平均を とることについて、

！ ！ ∫ √ 交流電圧の実効値 ∫ T √ e2dt これを 電圧の二乗の平均＝ ││ E 電圧の実効値と呼び Em 2 ＝ T は、 平均電力 P = Em 2R 2 電力 瞬時電力 この電力は、 供給電力ゼロ。 この一瞬は、 p = R sin2（ωt+θ） 瞬時電力と平均電力 t 実質的に効くのが 交流電流の実効値 電流の実効値 ││ I 　　電圧と同様に、 i2dt ∫ T ＝ 交流電流i = Im sin（ωt+θ）も Im 2 √ で扱い、10アンペアの交流は、振幅14．1Ａとなります。 交流電圧の実効値 電気回路第1スライド5-8-5 e2dt ∫ T これを √ 　電圧の二乗の平均＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ││ E 電圧の実効値と呼び Em 2 √ ＝ T 　　は、 表します。 ここで、 電圧の実効的な大きさをもとめると、 もちろん、2乗のままではディメンジョンが合わないので 例えば、交流100Ｖというと、振幅100Ｖではなく、 実効値100Ｖ、振幅141Ｖを表します。 ①電圧の2乗平均。周期Tの平均でよい。 ②平均は積分で、0からTまで積分してTで割る。 ③積分を計算して、Eｍ2割る2です。 ④電圧の実効的な大きさを求めると、分母はルート２。 ⑤交流電圧の実効値│E│。交流100Ｖは振幅141Ｖ。 電圧の実効値の計算と 演習です。 ！ ！ 余談ながら、2乗平均を とることについて、

例えば、交流100Ｖというと、振幅100Ｖではなく、 e2dt ∫ T √ 電圧の実効値 ││ E 　　は、電圧の実効的な大きさを表します。 例えば、交流100Ｖというと、振幅100Ｖではなく、 実効値100Ｖ、振幅141Ｖを表します。 交流電圧の実効値 ＝ Em 2 Em×Ｉm 2 ││ I = E 　　　時間 電圧 電流 抵抗回路 電力 電圧と電流の位相 が一致している。 平均電力は、 交流電流の実効値 電気回路第1スライド5-9-1 　　電圧と同様に、 交流電流i = Im sin（ωt+θ）も実効値を定義。 ①電圧と同様に電流の実効値も定義。 ②│Ｉ│は2乗平均のルートで、振幅のルート２分の１倍。 ③例をあげます。

例えば、交流100Ｖというと、振幅100Ｖではなく、 e2dt ∫ T √ 電圧の実効値 ││ E 　　は、電圧の実効的な大きさを表します。 例えば、交流100Ｖというと、振幅100Ｖではなく、 実効値100Ｖ、振幅141Ｖを表します。 交流電圧の実効値 ＝ Em 2 Em×Ｉm 2 ││ I = E 　　　時間 電圧 電流 抵抗回路 電力 電圧と電流の位相 が一致している。 平均電力は、 交流電流の実効値 電気回路第1スライド5-9-2 　　電圧と同様に、 交流電流i = Im sin（ωt+θ）も i2dt ∫ T ＝ 電流の実効値 ＝ Im 2 √ ││ I で扱う。 ①電圧と同様に電流の実効値も定義。 ②│Ｉ│は2乗平均のルートで、振幅のルート２分の１倍。 ③例をあげます。

例えば、交流100Ｖというと、振幅100Ｖではなく、 e2dt ∫ T √ 電圧の実効値 ││ E 　　は、電圧の実効的な大きさを表します。 例えば、交流100Ｖというと、振幅100Ｖではなく、 実効値100Ｖ、振幅141Ｖを表します。 交流電圧の実効値 ＝ Em 2 Em×Ｉm 2 ││ I = E 　　　時間 電圧 電流 抵抗回路 電力 電圧と電流の位相 が一致している。 平均電力は、 交流電流の実効値 電気回路第1スライド5-9-3 電流の実効値 ││ I i2dt ∫ T ＝ 　　電圧と同様に、 交流電流i = Im sin（ωt+θ）も Im 2 √ で扱い、 10アンペアの交流は、振幅14．1Ａとなります。 ①電圧と同様に電流の実効値も定義。 ②│Ｉ│は2乗平均のルートで、振幅のルート２分の１倍。 ③例をあげます。

で扱い、10アンペアの交流は、振幅14．1Ａとなります。 交流電流の実効値 電流の実効値 ││ I 　　電圧と同様に、 i2dt ∫ T ＝ 交流電流i = Im sin（ωt+θ）も Im 2 √ で扱い、10アンペアの交流は、振幅14．1Ａとなります。 　　　時間 電流 θ 　　1 　　2 切辺が左ほど進んでいる。 θ＞θ 1 2 電圧の位相が進んでいる 電圧と電流の位相 電圧 θ＜θ 電圧の位相が遅れている 抵抗回路 電気回路第1スライド5-10-1 さきほどと同じ話ですが、抵抗に交流を 加えた場合についてまとめておきます。 回路というほどでもありませんが、 これを抵抗回路としましょう。 例によって、電圧と電流のグラフ をかいておきましょう。 ①少しまとめて、抵抗回路を考えます。 ②電圧電流のグラフは、黄色と赤が重なっています。 ③ｘ軸の切片が同じ。０になるタイミングが一致。 ④式では、括弧の中、電圧と電流の位相が一致。 ⑤電力は掛けて、平均電力はEm2/R。 ⑥実効値で│E││I│。 ！ 抵抗で電力を消費する ことについて（前と同じ）

で扱い、10アンペアの交流は、振幅14．1Ａとなります。 交流電流の実効値 電流の実効値 ││ I 　　電圧と同様に、 i2dt ∫ T ＝ 交流電流i = Im sin（ωt+θ）も Im 2 √ で扱い、10アンペアの交流は、振幅14．1Ａとなります。 　　　時間 電流 θ 　　1 　　2 切辺が左ほど進んでいる。 θ＞θ 1 2 電圧の位相が進んでいる 電圧と電流の位相 電圧 θ＜θ 電圧の位相が遅れている 抵抗回路 電気回路第1スライド5-10-2 電圧 電流 　　　時間 電圧を黄色で、電流を 赤でプロットすると、 ①少しまとめて、抵抗回路を考えます。 ②電圧電流のグラフは、黄色と赤が重なっています。 ③ｘ軸の切片が同じ。０になるタイミングが一致。 ④式では、括弧の中、電圧と電流の位相が一致。 ⑤電力は掛けて、平均電力はEm2/R。 ⑥実効値で│E││I│。 ！ 抵抗で電力を消費する ことについて（前と同じ）

で扱い、10アンペアの交流は、振幅14．1Ａとなります。 交流電流の実効値 電流の実効値 ││ I 　　電圧と同様に、 i2dt ∫ T ＝ 交流電流i = Im sin（ωt+θ）も Im 2 √ で扱い、10アンペアの交流は、振幅14．1Ａとなります。 　　　時間 電流 θ 　　1 　　2 切辺が左ほど進んでいる。 θ＞θ 1 2 電圧の位相が進んでいる 電圧と電流の位相 電圧 θ＜θ 電圧の位相が遅れている 抵抗回路 電気回路第1スライド5-10-3 　　　時間 電圧 電流 電圧と電流の0になる タイミングが一致する。 ①少しまとめて、抵抗回路を考えます。 ②電圧電流のグラフは、黄色と赤が重なっています。 ③ｘ軸の切片が同じ。０になるタイミングが一致。 ④式では、括弧の中、電圧と電流の位相が一致。 ⑤電力は掛けて、平均電力はEm2/R。 ⑥実効値で│E││I│。 抵抗で電力を消費する ことについて（前と同じ） ！

で扱い、10アンペアの交流は、振幅14．1Ａとなります。 交流電流の実効値 電流の実効値 ││ I 　　電圧と同様に、 i2dt ∫ T ＝ 交流電流i = Im sin（ωt+θ）も Im 2 √ で扱い、10アンペアの交流は、振幅14．1Ａとなります。 　　　時間 電流 θ 　　1 　　2 切辺が左ほど進んでいる。 θ＞θ 1 2 電圧の位相が進んでいる 電圧と電流の位相 電圧 θ＜θ 電圧の位相が遅れている 抵抗回路 電気回路第1スライド5-10-4 　　　時間 電圧 電流 電圧と電流の位相 が一致している。 電圧と電流の0になる タイミングが一致する。 　　　　これは、　　　　 e = Em sin（ωt+θ） これは、 電圧 と と言います。　　　　 i = 　　 sin（ωt+θ） Em R sinのあとの角度が 一致しています。 電流 の ①少しまとめて、抵抗回路を考えます。 ②電圧電流のグラフは、黄色と赤が重なっています。 ③ｘ軸の切片が同じ。０になるタイミングが一致。 ④式では、括弧の中、電圧と電流の位相が一致。 ⑤電力は掛けて、平均電力はEm2/R。 ⑥実効値で│E││I│。 抵抗で電力を消費する ことについて（前と同じ） ！

で扱い、10アンペアの交流は、振幅14．1Ａとなります。 交流電流の実効値 電流の実効値 ││ I 　　電圧と同様に、 i2dt ∫ T ＝ 交流電流i = Im sin（ωt+θ）も Im 2 √ で扱い、10アンペアの交流は、振幅14．1Ａとなります。 　　　時間 電流 θ 　　1 　　2 切辺が左ほど進んでいる。 θ＞θ 1 2 電圧の位相が進んでいる 電圧と電流の位相 電圧 θ＜θ 電圧の位相が遅れている 抵抗回路 電気回路第1スライド5-10-5 　　　時間 電圧 電流 電圧と電流の位相 が一致している。 　　　時間 電力 電圧と電流の0になる タイミングが一致する。 　　　　これは、　　　　 　　　　　電力は、　　　　　 この 　平均電力は、 と言います。　　　　 sinのあとの角度が 一致しています。 Em×Ｉm 2 = と書き直せ ますが、 Em 2R 2 = ImR 2 ①少しまとめて、抵抗回路を考えます。 ②電圧電流のグラフは、黄色と赤が重なっています。 ③ｘ軸の切片が同じ。０になるタイミングが一致。 ④式では、括弧の中、電圧と電流の位相が一致。 ⑤電力は掛けて、平均電力はEm2/R。 ⑥実効値で│E││I│。 ！ 抵抗で電力を消費する ことについて（前と同じ）

で扱い、10アンペアの交流は、振幅14．1Ａとなります。 交流電流の実効値 電流の実効値 ││ I 　　電圧と同様に、 i2dt ∫ T ＝ 交流電流i = Im sin（ωt+θ）も Im 2 √ で扱い、10アンペアの交流は、振幅14．1Ａとなります。 　　　時間 電流 θ 　　1 　　2 切辺が左ほど進んでいる。 θ＞θ 1 2 電圧の位相が進んでいる 電圧と電流の位相 電圧 θ＜θ 電圧の位相が遅れている 抵抗回路 電気回路第1スライド5-10-6 　　　時間 電圧 電流 電圧と電流の位相 が一致している。 　この平均電力は、 Em×Ｉm 2 = 　　　時間 電力 と言います。　　　　 sinのあとの角度が 一致しています。 と書き直せ ますが、 ││ I = E です。 ①少しまとめて、抵抗回路を考えます。 ②電圧電流のグラフは、黄色と赤が重なっています。 ③ｘ軸の切片が同じ。０になるタイミングが一致。 ④式では、括弧の中、電圧と電流の位相が一致。 ⑤電力は掛けて、平均電力はEm2/R。 ⑥実効値で│E││I│。 ！ 抵抗で電力を消費する ことについて（前と同じ）

抵抗で電圧と電流の位相が合いますが、電圧と電流の位相が合わない場合 Em×Ｉm 2 ││ I = E 　　　時間 電圧 電流 抵抗回路 電力 電圧と電流の位相 が一致している。 平均電力は、 今日のまとめ 　　　時間 電圧 抵抗の消費 ││ I E となる。 このとき、 を用いると、 正弦波 e = Em sin（ωt+θ） の電圧がかかっているとき 振幅 Em の 1 √ 2 倍の実効値 = Em と Im 電力は、 電圧と電流の位相が合っている。 電圧と電流の位相 電気回路第1スライド5-11-1 電圧 　　　時間 抵抗で電圧と電流の位相が合いますが、電圧と電流の位相が合わない場合 電流 について述べます。 図で示します。 ①電圧と電流の位相が合わない場合。 ②式も位相をθ１などで表される。 ③－θ１が－θ2より左にあります。 ④電圧の位相が進むとき、θ１＞θ2。 ⑤電圧の位相が遅れるケース。 ！ 電圧の位相を述べておく と少し便利です。

！ 電圧と電流の位相 e = Em sin（ωt+θ） i = Im sin（ωt+θ） 電圧 時間 電圧と電流の位相が合わない場合 Em×Ｉm 2 ││ I = E 　　　時間 電圧 電流 抵抗回路 電力 電圧と電流の位相 が一致している。 平均電力は、 今日のまとめ 　　　時間 電圧 抵抗の消費 ││ I E となる。 このとき、 を用いると、 正弦波 e = Em sin（ωt+θ） の電圧がかかっているとき 振幅 Em の 1 √ 2 倍の実効値 = Em と Im 電力は、 電圧と電流の位相が合っている。 電圧と電流の位相 電気回路第1スライド5-11-2 電圧 　　　時間 電圧と電流の位相が合わない場合 について述べます。 図で示します。 電流 θ 　　1 このときの位相を、 図のように決めて 電圧： e = Em sin（ωt+θ） 1 θ 　　2 電流： i = Im sin（ωt+θ） 2 と表されます。 ①電圧と電流の位相が合わない場合。 ②式も位相をθ１などで表される。 ③－θ１が－θ2より左にあります。 ④電圧の位相が進むとき、θ１＞θ2。 ⑤電圧の位相が遅れるケース。 ！ 電圧の位相を述べておく と少し便利です。

！ 電圧と電流の位相 e = Em sin（ωt+θ） i = Im sin（ωt+θ） 電圧 時間 電圧と電流の位相が合わない場合 Em×Ｉm 2 ││ I = E 　　　時間 電圧 電流 抵抗回路 電力 電圧と電流の位相 が一致している。 平均電力は、 今日のまとめ 　　　時間 電圧 抵抗の消費 ││ I E となる。 このとき、 を用いると、 正弦波 e = Em sin（ωt+θ） の電圧がかかっているとき 振幅 Em の 1 √ 2 倍の実効値 = Em と Im 電力は、 電圧と電流の位相が合っている。 電圧と電流の位相 電気回路第1スライド5-11-3 電圧 　　　時間 電圧と電流の位相が合わない場合 について述べます。 図で示します。 このときの位相を、 図のように決めて 電圧： e = Em sin（ωt+θ） 1 電流： i = Im sin（ωt+θ） 2 と表されます。 電流 　注意すべきは、　 　注意すべきは、　 θ 　　1 　　2 切辺が左ほど進んでいる。 ことです。 ①電圧と電流の位相が合わない場合。 ②式も位相をθ１などで表される。 ③－θ１が－θ2より左にあります。 ④電圧の位相が進むとき、θ１＞θ2。 ⑤電圧の位相が遅れるケース。 電圧の位相を述べておく と少し便利です。 ！

！ 電圧と電流の位相 e = Em sin（ωt+θ） i = Im sin（ωt+θ） θ＞θ 1 2 電圧 電圧の位相が進んでいる とき Em×Ｉm 2 ││ I = E 　　　時間 電圧 電流 抵抗回路 電力 電圧と電流の位相 が一致している。 平均電力は、 今日のまとめ 　　　時間 電圧 抵抗の消費 ││ I E となる。 このとき、 を用いると、 正弦波 e = Em sin（ωt+θ） の電圧がかかっているとき 振幅 Em の 1 √ 2 倍の実効値 = Em と Im 電力は、 電圧と電流の位相が合っている。 電圧と電流の位相 電気回路第1スライド5-11-4 電圧 電圧の位相が進んでいる とき 　　　時間 電圧と電流の位相が合わない場合 について述べます。 図で示します。 このときの位相を、 図のように決めて 電圧： e = Em sin（ωt+θ） 1 電流： i = Im sin（ωt+θ） 2 と表されます。 電流 θ 　　1 　　2 切辺が左ほど進んでいる。 θ＞θ 1 2 です。 ①電圧と電流の位相が合わない場合。 ②式も位相をθ１などで表される。 ③－θ１が－θ2より左にあります。 ④電圧の位相が進むとき、θ１＞θ2。 ⑤電圧の位相が遅れるケース。 電圧の位相を述べておく と少し便利です。 ！

！ 電圧と電流の位相 θ＞θ 1 2 θ＜θ 1 2 電圧 電圧の位相が進んでいる 時間 電圧の位相が遅れている とき 時間 逆に、 電流 Em×Ｉm 2 ││ I = E 　　　時間 電圧 電流 抵抗回路 電力 電圧と電流の位相 が一致している。 平均電力は、 今日のまとめ 　　　時間 電圧 抵抗の消費 ││ I E となる。 このとき、 を用いると、 正弦波 e = Em sin（ωt+θ） の電圧がかかっているとき 振幅 Em の 1 √ 2 倍の実効値 = Em と Im 電力は、 電圧と電流の位相が合っている。 電圧と電流の位相 電気回路第1スライド5-11-5 電圧 電圧の位相が進んでいる 　　　時間 電圧の位相が遅れている とき 　　　時間 逆に、 電流 電圧 電流 θ 　　1 　　2 θ 　　1 切辺が左ほど進んでいる。 θ＞θ 1 2 θ 　　2 となって、 θ＜θ 1 2 です。 ①電圧と電流の位相が合わない場合。 ②式も位相をθ１などで表される。 ③－θ１が－θ2より左にあります。 ④電圧の位相が進むとき、θ１＞θ2。 ⑤電圧の位相が遅れるケース。 電圧の位相を述べておく と少し便利です。 ！

？ ！ 今日のまとめ まず、グラフから描いておきます。 電圧 時間 電圧と電流の位相 スライドの終了 電気回路第1スライド5-12-1 　　　時間 電流 θ 　　1 　　2 切辺が左ほど進んでいる。 θ＞θ 1 2 電圧の位相が進んでいる 電圧と電流の位相 電圧 θ＜θ 電圧の位相が遅れている スライドの終了 今日のまとめ 電気回路第1スライド5-12-1 　　　時間 電圧 まず、グラフから描いておきます。 ①グラフで０から上昇下降と振動する。 ②正弦波の振幅のルート2分の1倍が実効値。 ③抵抗で消費する電力は実効値の積。 表紙ページに戻ります。 ？ 次回までの演習課題で す。 ！

？ ！ 今日のまとめ √ √ √ e = Em sin（ωt+θ） ││ E Em ││ I Im 時間 電圧 正弦波 このように 　　　時間 電流 θ 　　1 　　2 切辺が左ほど進んでいる。 θ＞θ 1 2 電圧の位相が進んでいる 電圧と電流の位相 電圧 θ＜θ 電圧の位相が遅れている スライドの終了 今日のまとめ 電気回路第1スライド5-12-2 　　　時間 電圧 正弦波 e = Em sin（ωt+θ） このように の電圧がかかっているとき 振幅 Em の 1 √ 2 ││ E = Em √ 2 倍の実効値 と ││ I = Im √ 2 が定義される。 ①グラフで０から上昇下降と振動する。 ②正弦波の振幅のルート2分の1倍が実効値。 ③抵抗で消費する電力は実効値の積。 表紙ページに戻ります。 ？ 次回までの演習課題で す。 ！

？ ！ 今日のまとめ √ e = Em sin（ωt+θ） ││ E Em I Im ││ I E 時間 電圧 正弦波 　　　時間 電流 θ 　　1 　　2 切辺が左ほど進んでいる。 θ＞θ 1 2 電圧の位相が進んでいる 電圧と電流の位相 電圧 θ＜θ 電圧の位相が遅れている スライドを終了します。 今日のまとめ 電気回路第1スライド5-12-3 　　　時間 電圧 正弦波 e = Em sin（ωt+θ） の電圧がかかっているとき 振幅 Em の 1 √ 2 倍の実効値 ││ E = Em と I Im を用いると、 抵抗の消費 電力は、 ││ I E となる。 このとき、 電圧と電流の位相が合っている。 ①グラフで０から上昇下降と振動する。 ②正弦波の振幅のルート2分の1倍が実効値。 ③抵抗で消費する電力は実効値の積。 表紙ページに戻ります。 ？ 次回までの演習課題で す。 ！

!! 補足1：三角関数の基本から 電気回路第1スライド付録 三角関数（サインだけにしましょう。）の定義は、直角三角形の直角でないうちの1個の角に注目して、 さらにこの黄色い辺が長さ１とあったので0の点を中心に半径1の円周上に点を１個見つけて、ｘ軸となす角がθとでもすれば、y座標がそのままサインになります。でも、どうせなので、原点を中心に彗星のようにぐるぐる回ってもらいましょう。（月は蛇足）そうすると角速度ωをいれて先のθのところをωt＋θとしてよいですね。 彗星のy座標が正弦関数 です。もちろん、 彗星でなく 発電機 r b θ a これをθとでもしておいて、斜辺（どっちの端も直角でない辺）rとθから遠い辺の長さbを用いて、 sin θ= b/r ① と表されました。もちろんこのとき、 r2 = a2 + b2 ② でもこれでは、が変化してというところが出てきません。邪魔なrは1にしてしまうと、 1 ｙ sin（ωt＋θ） ωt＋θ 1 x sin θ -1 1 θ 高さがそのまんま sin θ になりますね。ここで、xy座標を設定します。 の回転 部分にすれ ば本題にもどり ます。また実際の 彗星の軌道は、ほぼ楕円軌道で太陽に近づくと速度が上がりますので、ちょっとインチキですね。 -1 !! わかったら（でなくっても） ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 ｙ 1 sin θ θ x

!! 補足2：e×iの計算 電気回路第1スライド付録 正弦波の電圧を抵抗Rに加えます。このとき電圧の振幅がEm、電圧の角周波数がω、そして、時刻t = 0〔s〕における初期位相をθとすると、電圧は、 　　e(t) = Em sin(ωt + θ) ① となります。本文中のEを時間の関数とわざわざ表現するため、E(t) としました。 このように電圧が時間の関数である場合でも、最初の授業に述べたオームの法則は、電圧e(t) と時間の関数の電流I(t) 、定数（何秒たっても100 [Ω] は100 [Ω] のままです。）の抵抗値Rの間に、 　　e(t) = Ri(t) ② の関係があることを示します。 今回は電流を出したいので、②をRで割って、 　　　　　 　e(t) 　　i(t) = ――― ③ 　　　　　　　R となります。これに①の電圧を代入しますと、 　　　　　 　e(t) 　　　　Em sin(ωt + θ) 　　i(t) = ―――　= ――――――― ④ 　　　　　　　R　　　　　　　　　R となります。定数の部分をまとめますと、 　　　　　 　Em 　　i(t) = ―― sin(ωt + θ) ⑤ 　　　　　　 R　 と本文の式になりました。 時間の関数になっても電力は、 　　p(t) = e(t)×i(t) 　 ⑥ と掛けてよいですが、こちらも時間の関数です。ここに、①、⑤式を代入して、（一部途中略します。） 　　　　　 　　　　　　　　　　　Em 　　p(t) = Em sin(ωt + θ) ―― sin(ωt + θ）　⑦ 　　　　　　 　　　　　　　　　　R　 　　　　　 Em2 　　　　= ―― sin2(ωt + θ） 　 ⑧ 　　　　　　 R　 本文最後の式は⑧からも出ますが、⑥に②を代入しても、 　　　　　 　　　　　e(t)　　　　e(t)2 　　p(t) = e(t)×――― = ――― 　 ⑨ 　　　　　　　　　　　R　　　　　 R となることがおわかりいただけると思います。 わかったら（でなくっても） ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 !!

!! 補足3：sin2(ωt+θ)の積分について 電気回路第1スライド付録 とりあえず加法定理 　 sin(α+β) =sin α cos β +cos α sin β ① 　 cos(α+β) =cos α cos β－sin α sin β ② sin2(ωt+θ) 上の②でα＝β＝ωt+θとおいて、 cos(2ωt+2θ) = cos2(ωt+θ)－sin2(ωt+θ) = [cos2(ωt+θ)+ sin2(ωt+θ)] －2sin2(ωt+θ) = 1－2sin2(ωt+θ) ③ から1引いて、－2で割って、 sin2 （ωt+θ） =1/2－cos(2ωt+2θ)/2 ④ ∫0T sin2(ωt+θ)dt 積分は一周期だけ行えばいいので 　　　　　　　T =2π/ω ⑤ として、 ∫0T sin2(ωt+θ)dt =∫0T [1/2－cos(2ωt+2θ)/2]dt = [t/2－｛sin(2ωt+2θ)}/2ω/2]0T 　　　= [T/2－｛sin(2ωT+2θ)}/4ω]－ [0－｛sin(2θ)}/4ω] 　　　= [T/2－｛sin(2ω×2π/ω+2θ)}/4ω]－ [－｛sin(2θ)}/4ω] 　　　= T/2－｛sin(4π+2θ)}/4ω+｛sin(2θ)}/4ω 　　　= T/2－｛sin(2θ)}/4ω+｛sin(2θ)}/4ω 　　　= T/2 となります。黄色のもともとの2分の1だったところだけが残ります。赤のサインの 所は、⑤を代入の上、周期性から 　　sin(x+4π） =sin(x+2π）=sinx となることを利用すると相殺されてゼロです。 わかったら（でなくっても） ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 !!

!! 補足4：周期Ｔの平均で十分 電気回路第1スライド付録 とりあえず計算して ポットを加熱するのは、トータルの時間の合計です。合計の加熱量は、１周期の平均を用いると、 加熱時間Ttotal Ttotal×Em2/2R ですが、たとえば、最後のの時間だけはちゃんと考えると1周期ありませんから瞬時電力は０だったりEm2/Rだ ったりします。でもたった60Hzの電源でも数分加熱したとするとΔはTtotalの0．1％ほどに過ぎません。室温0．1℃の差より効かないでしょうね。さらに人の声で1 kHz弱、このコンピュータは数百MHzとのことですから、繰り返し部分がほとんどですね。 時刻T Δ 大事な部分はどちらか 本編中に正弦波交流も定常状態であることを述べました。この場合は、電源をつないだ瞬間とか、あるいは温度センサーが働いてヒーターが止まるときとかは最初から考慮されていません。繰り返し波形は繰り返しと考えて、ちょうど１周期を議論して、定常の全部を理解するというのが正しいところです。 1周期の 性質 定常的な 性質 ＝ !! わかったら（でなくっても） ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。

!! 発展１：コイルが磁界を切って… 電気回路第1スライド付録 まず、左の図のように磁界B中をコイルが角速度ωで回っています。ここで電磁誘導を考えたいので、コイルの間を通る磁界を考えます。もちろんここで効くのは磁界に垂直な面での断面積です。 速度rω 速度rω コイル ωt＋θ コイルの間に ある磁界 2rsin(ωt＋θ) B この図のようにコイルが、Bに対してなす角がωt＋θとすると、断面積は2rsin(ωt＋θ)になります。もちろん、奥行きもあれば、コイルの巻き数もありますが。ここで電圧は磁界の変化を妨げる方向ということで、 実は、2rsin(ωt＋θ)×Bの微分量に比例します。もちろん、この微分は簡単で、 E ∝ 2rωBcos(ωt＋θ) となります。（∝は比例するの意味。）これはコサインですが、電圧は正弦関数の 振動をすることを示します。本編であったように、コイルの法線ベクトルにωt＋θ を設定すると、電圧はこの角度のサインで表されます。 ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 !!

!! 発展2：定常応答と過渡応答 電気回路第1スライド付録 電気回路第1ではスイッチとかは扱いません。ポットつかってお湯を沸かすとか述べましたが、実はポットのスイッチを入れた瞬間については述べていません。これから、コイルやキャパシタを扱う場合は特に重 要で、このような瞬間は普通の交流とも違った応答になります。ちなみにポットのヒーターがただの抵抗だった場合は、直流電圧を加えると左下の破線のように一気に電流が流れますが、もし直列のインダクタンス成分があると、黄色のカーブのように変化がだれていきます。 もちろん、正弦波交流の電源を差し込んだ場合も、次回に述べるRL回路の定常解とは少し異なって、電流ゼロからだんだん定常解に近づくといった変化になります。 電源オンとかの瞬間は過渡応答といって、扱いが大変で、微分方程式を解くか、後で出てくるラプラス変換を用いた解析が必要となってきます。 電圧 スイッチ ON 時間 電流 ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 !! 時間

!! 発展3：正弦関数の性質について 電気回路第1スライド付録 電気電子工学を学習されるためには、しばしば正弦関数sinωtや、指数関数ektが頻繁に使われます。さらに、これからの回路素子でも、微分量や積分量が登場します。これらは微分量が、 （ekt）´＝kekt、 （ekt）´´＝k2ekt、 （sinωt）´´＝－ω2sinωt といった関係が、各素子が微分量や積分量を与える系で重要な役割を果たします。 三角関数の加法定理は私は（ほぼこれのみ）覚えていますが一次変換を用いて、 としてもらってもOKです。これは倍角だったら2乗が、3倍角だったら３乗が出て くることをはっきり示してくれています。私の授業で三角関数の計算は忘れていい ことも多いので余り苦しまないでください。 α sin （α＋β） x ｙ β cosα　　－sinα sinα cosα cosβ　　－sinβ sinβ cosβ cos（α＋β）　　－sin（α＋β） sin（α＋β） cos（α＋β） ＝ ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 !!

!! 発展4：電力を使うのは実は抵抗 i R 電気回路第1スライド付録 まだ学習してませんが、コイルありキャパシタンスありといった系でも、結局電力を消費するのは抵抗なのです、抵抗だけ数えるとOKといったケースも多くあります。抵抗は熱をだしますが、往復すると車のエンジンだってただ熱を吐いているだけです。エネルギーの保存を覚えていてくれれば、全部のエネルギーが熱になってなくなります。等価回路で抵抗部分というケースもあるかと思いますが、抵抗を探してください。例としては、先ほどのポットの系で直列のインダクタンスがあったとしても電力消費は抵抗のみです。これにかかる電圧が変化すると消費電力は変わりますが、抵抗の電圧ERがわかればそれだけでER2/RでOKです。 では、次の乾電池はどうでしょうか、電力を消費すると思いますか？ R i 以前学習したように、乾電池はどうでしょうか、電池の中に、内部抵抗rがありますと、電流をiを取り出しますと、電池内部で消費される電力は、i2rとなります。発電機でもどこかに抵抗があるとそこで電力がロスしてしまいます。 r ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 !!

!! 発展5：電圧の実効値の計算演習 ∫ ∫ 電気回路第1スライド付録 本章では正弦波交流を考えて いますが、少し一般化して、電 圧が周期関数のときその強さ の指標として実効値を考えま しょう。 まず、基本は、抵抗Rこの電圧 を加えた場合に消費される電 力の平均値が同じになる直流 電圧の値を実効値としましょう。 瞬時電力は、 　　　　　 　　e(t)2 　　p(t) = ――― 　 ① 　　　　　　　 R となりますから、この平均が│E│の直流の場合　　　　　 │E│2 　　p = ――― 　 ② 　　　　　　 R と同じなので、 　　　　　　　　 0 Te(t)2dt 　　│E│2 = ―――――― 　 ③ 　　　　　　　　　　　　T となり、│E│は二乗平均のルートで、 　　　　　　　　　 0 Te(t)2dt 　　│E│ = 　―――――― 　 ④ 　　　　　　　　　　　　　T となります。 つぎに簡単な演習を出しましょう。 (1)、(2)の電圧の実効値を求めてください。 (1) 電圧　(V) 1 1 2 3 時間 (s) 　(2) 電圧　(V) 1 ∫ 1 2 3 時間 (s) 　　　　　　 1　　　　　　1 答は(1)が ― 、(2)が ―　。 　　　　　 　 3　　　　　　2 √　　　　　 √ !! ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 ∫

!! 発展6：2乗平均を取るケース 電気回路第1スライド付録 プラスかマイナスか関係なしに大きさの平均を取ろうと言うとき、例の標準偏差をとるときに偏差の2乗平均をとって、というプロセスがありました。実はこれが最もインチキなお話で、データが正規分布と称する、確率がeの（－x2）乗に比例するという仮定に基づいて議論しています。電気に限らず、運動エネルギー mv2/2 、も電力eiの平均＝│E││I│＝│E│2/Rもエネルギーは（積分量で）２乗になるものなんですね。あと、電気回路第1では、コイルとかキャパシタでたまたまsinとcosの関係というのが多く登場します。そうすると、sin2□ + cos2□ =1というのが基本ですから二乗しますね。以上余談です。 !! ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。

!! 発展7：電圧の位相で考えましょう。 ０ 電流 電圧 時間 電気回路第1スライド付録 つぎのグラフで、電圧の位相が電流の位相よりも進んでいます。逆も言えまして、電流の位相が電圧より遅れています。ですが、できれば、最初の電圧の位相が進んでいる、あるいは位相が進んでいると述べてください。オームの法則は E = IR ① とするのが最も簡単で、電流について解いて、 I = ② とすると、少なくとも私は、分数の線引いてという手間があって不便です。これから、コイルやキャパシタを入れた系でもゆくゆくオームの法則 のアナロジーで解析するようにしますから①式で行けるように電圧の位相が進んでいるか、遅れているかで記述することが多いと思います。 　　　０ 電流 電圧 　　　時間 E R ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 !!

!! 発展8：次回までの演習課題 √ 電気回路第1スライド付録 [1]　実効電圧100 [V]、0 [s]に初期位相π/６、周波数60 [Hz] の正弦波交流のグラフを書きましょう。 [2]　下の回路に周波数60 [Hz] の正弦波交流電圧を加えたところ、0 [s] に 1 [A]、 [s] に　 3 [A]の 電流が流れたとする。このときの電圧の実効値を求めなさい。 10 [Ω] 1 240 √ ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 !!