クォーク物質におけるカラー強磁性とカラー量子ホール状態 岩崎(二松学舎大）　森松（KEK) 西川（KEK)　大谷（理研） 　　 ハドロン相（閉じ込め相）　　　　磁気的超伝導状態(カラー磁気単極子の凝縮） カラー強磁性相（Savvidy vacuum）　　 カラー磁場の凝縮と 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 グルーオンの量子ホール状態　　　　　 　　 カラー超伝導相　　　　　　　　　クォークのクーパー対凝縮　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（グルーオンによる引力）　 バリオン数の 化学ポテンシャル 　　　　増大 （相互作用定数 　　　　減少） （カラー強磁性相の崩壊？）

Color Ferromagnetic State Spontaneous generation of color magnetic field, YB]  0 with a quantum Hall state of the gluons T Quark-Gluon Plasma 観測されそう？ Color Ferromagnetic State 理論予想（もっともらしい？） Color Superconducting state　 　　　理論予想（もっともらしい） ≠ Hadron 現実世界 YB]≠0 m

SU（2)gauge theory の Savvidy 真空 カラー磁場 B = (0,0,B) に対する有効ポテンシャル (異常磁気能率) color U(1) gauge field charged vector fields V（ｇB) 1ループ近似での有効ポテンシャル ｇB 自発磁場が存在する！！　(この結果は次の条件のもとで、 1ループ近似を超えて成り立つ） しかし､この状態(Savvidy 真空)は不安定!! ( 虚部が存在 )

The instability of the Savvidy vacuum  unstable modes of   under the magnetic field B  Spectrum of the modes: (n=0, 1, 2, ; ± 1: spin; k=momentum // B)  Unstable modes : Lowest Landau Level, n=0 with spin parallel to B この不安定ﾓｰﾄﾞが励起され 安定な状態(?)を作る  The most unstable modes are uniform in the direction // B ( k =0) with (degeneracy for each n / area ) = gB/2. Nielsen　らによる　スパゲッティー真空（閉じ込め真空？）が提案（１９７９） （不安定モードの重ね合わせで、変分法的な安定点を求めた。） この状態は不安定モードがウィグナー格子を作っていることになる。

The problem is how the gluons form the stable state. The unstable state, ,decays eventually into the stable state, The spatially uniform mode ( k=0 ) among them condenses. unstable modes  In the gauge theory, the unstable mode couples with : There is no such uniform state as . Note that the unstable modes of gluons occupy the Lowest Landau level. It reminds us that electrons in semiconductor’s quantum well under strong magnetic field occupy the lowest Landau level. The problem is how the gluons form the stable state. A quantum Hall state has been known to have a finite gap  absolutely stable and uniform.

Our proposal Our proposal the Savvidy vacuum is stabilized in quark matter by the formation of a quantum Hall state of the unstable modes. To see it, we extract from Lgluon only the most unstable modes: k=0  uniform in the direction // B. the Savvidy vacuum is stabilized in quark matter by the formation of a quantum Hall state of the unstable modes. ( IWAZAKI and MORIMATSU, Phys.Lett. B571 61 (2003) ) effectively   2+1dim. ｶﾗｰ磁場 +2gB   多数の状態が縮退 B l3 “ l3 ” length scale of a domain With LLL condition: integer ) The negative mass term -2gB ( If =0 , potential from 2+1 has the typical double well.)   is unstable.

m : odd integer for fermion m=1, 3, 5, , , Quantum Hall states of electrons : von Klitzing, Phys. Rev. Lett. 45 (1980) 494 Fractional quantum Hall states : Tsui et. al, Phys. Rev. Lett. 48 (1982) 1559 　　 Field theoretically, the quantum Hall states are described by Chern-Simons gauge theory. 量子ﾎｰﾙ状態を記述するﾗｸﾞﾗﾝｼﾞｱﾝ Ezawa, Iwazaki and Hotta, Phys. Rev. B (1992) ﾎﾞｿﾝ化された電子場 磁場  m  m  m : odd integer for fermion m=1, 3, 5, , , Chern-Simons flux 2πm = electron bosonized electron x y

Quantum Hall effects of electrons Bz Hall resistance: rxy = Vy / Jx has plateau  Al-GaAs @ filling factor m : odd integer Jx m Vy ( e: Fermion ) GaAs Integer QHE: Finite gap of Landau levels with width by impurities. Anderson localization, Hopping for rxx … Fractional QHE Laughlin States, vortex excitation with fractional charge, hierarchy … E 3wc/2 wc/2 

量子ﾎｰﾙ状態はボソン化された電子場の 凝縮状態として記述される この解は、次の条件を満たすときのみ 存在する 電子密度 磁場　と　Chern-Simons flux　の相殺 すなわち 磁場の強さと電子密度が次の関係を満たすときに 量子ホール状態が現れる filling factor=ν=電子密度∕縮退度；（１つのランダウレベルに電子が占める割合）

filling factor ν=1∕m Chang et.al, Phys. Rev. Lett. 53 (1984) 997 Willett et.al. Phys. Rev. Lett. 59 (1987) 1776.

この量子ホール状態上のすべての不安定モードは消える！！ Chern-Simons gauge theory for the Quantum Hall states of gluons. 　Chern-Simons flux am original unstable gluons = composite gluonC 2πm ( describing boson statistics ) m=even integer m  Quantum Hall states : , (Chern-Simons gauge field cancels the magnetic field.) The non-trivial color charge density of the condensed gluons: ⇦この条件が満たされる時 Quark matter is a supplier of the color charge. ｍ(=2,4,8,,,)の値によって様々な(カラー電荷密度の異なる）量子ホール状態が可能 “In the quark matter, color ferromagnetic state(Savvidy vacuum ) is stabilized by the formation of gluons quantum Hall state.” この量子ホール状態上のすべての不安定モードは消える！！

Savvidy真空における不安定モードは 最低ランダウレベルにあり、それの励起で安定な分数量子ホール状態が生まれる。これは、ヒッグスポテンシャルにおいて、スカラー場の期待値‹Φ›=0　の不安定状態で励起された不安定モードから、安定な状態‹Φ›=V≠0が生まれるのと類似である。 このグルーオンの量子ホール状態はカラー電荷 を持っている。それは、クォーク物質から供給 されるべきものである。 カラー電荷密度＝gB/2πm 　 for ν=1/mの量子 ホール状態；　カラー電荷密度→0　as ν=1/m→∞

quark matter without gluon condensation q(+) q(+) q(+) q(+) q(-) q(-) q(-) q(-) q(+)→→ q(-) + gluon(2+) color magnetic field q(+) q(+) q(-) q(-) q(-) q(-) q(-) q(-) gluon condensate quark matter with quantum Hall state of gluons Gluonのカラー電荷密度 の半分＜クォーク数密度 量子ホール状態が出来るためには、クォーク数密度には下限がある 化学ポテンシャル＞５５０MeV　for √gB>800MeV and ν=1/2

localized gluon state (Wigner crystal) or spaghetti vacuum カラー電荷密度→0　の量子ホール状態は不安定で あり、ハドロン相（閉じ込め真空）になるであろう。 実際、カラー電荷密度の小さいときは、グルーオンは 量子ホール状態でなく、ウィグナー格子を作ると思われる。 (flux condensation; Ambjorn and Olesen) Lowest Landau level にある波動関数の重ね合わせ localized gluon state (Wigner crystal) or spaghetti vacuum (a confining vacuum) Nielsen and Ninomiya, Nucl.Phys. B156,1 (1979) Nielsen and Olesen, Nucl.Phys. B160, 380 (1979)

量子ホール状態中でのクォークの振る舞い ｶﾗｰ磁場 gluon condensate =Φ spin= spectrum for Φ=0; n=0,1,2, , ,

基底状態はグルーオン凝縮の影響を受けない !! Exact result for Φ≠v Result for Φ=0 P=0 P=＋∞ P　磁場に垂直成分 P=ー∞ P　に対して縮退 P　に対して縮退 （　q(+) 　と　q(-)　の mixing　の結果　） 基底状態はグルーオン凝縮の影響を受けない !!

強磁性相の崩壊 hadron Hadron中でのmomentum p = 1∕(hadron size)≈300MeV hadron q(+) q(-) q(+) q(-) q(+) q(+) Hadron中でのmomentum p = 1∕(hadron size)≈300MeV q(+) q(-) hadron 強磁性相中での　ｑｕａｒｋ　の momentum k 強磁性相にあるクォーク物質は、 ｇＢが大きい（ ～ １ＧｅＶ）とハドロン化しにくい クォーク密度; ρ フレイバー数;　f=2　

まとめ （１）Savvidy vacuum<gB>≠0は、gluonが量子ホール状態を作ることで、安定化する。 （２）量子ホール状態は、クォーク物質中で実現し、その時の化学ポテンシャルは、550ＭｅＶ以上である。 　　但し、　　　　　　　　　　　　　　。 （３）強磁性相にあるクォーク物質は、そのクォーク密度が核子のそれと同じか、少し大きいほどである限り、ハドロンへの崩壊振幅は小さい。 （４）化学ポテンシャルの小さな系でのgluonは、　量子ホール状態よりは、より安定なウィグナー格子をつくる。 　おそらく、ウィグナー格子の大きなゆらぎで、スパゲッティー真空が 　閉じ込め相として実現するであろう？