@kagamiz (Jayson Sho Toma) 講義 1: 素数と累積和 @kagamiz (Jayson Sho Toma)
素数とは？ 1 とその数自身以外に約数を持たない数 ただし 1 は素数ではない なぜか考えてみよう 素数ではない数を合成数という
素数判定 数 n が素数かどうか判定したい 試し割りをしていく方法 素数の性質を使う方法 最悪 n に比例する時間がかかる
素数判定 数 n が素数かどうか判定したい 試し割りをしていく方法 素数の性質を使う方法 √nまでの素数で試し割りを行う 何故これでいいのか？
√n までの試し割り：証明 n が合成数であれば, 定義より n = a × b と表せる. いま a ≧ b ⇒ a × b ≧ b × b = b^2. よって n ≧ b^2, √n ≧ b となり, √n 以下の約数があることが証明された.//
実行時間とプログラムの計算量 ループの回数が大体 10^8 (1 億) で 1 秒 10^9 回の処理は約 10 秒程度かかる! 10^8 回以下程度の処理を心がけよう 詳しい話は「計算量 オーダー記法」で ググる or 先輩達に聞こう
素数の個数を数える 区間 [l, r] の素数の個数を数えよう! [l, r] の素数を試し割りで毎回数えると, √l + √(l + 1) + … + √r ≦ (r – l + 1)√r [1, 10^6] の素数を試し割りで数えると, 10^9 回くらいの計算に 実際はもっと速いため KCS でもこれで OK
素数の個数を数える 効率的に数える方法として, エラトステネスの篩が有名 今回は, 複数の[l, r] のクエリに早く答える 詳しくは先輩たちに聞く or ググる 今回は, 複数の[l, r] のクエリに早く答える 方法を考えていこう.
高速化のアイディア 1 : 前計算 エラトステネスの篩を用いれば勝手に 前計算がされている. ・試し割りをしている人は, 配列を用意して 前計算がされている. ・試し割りをしている人は, 配列を用意して p が素数だったら 配列の p 番目の 要素を 1 にしよう
高速化のアイディア2:累積和 刮目せよ！！！ さっき作った配列を… 1
高速化のアイディア2:累積和 刮目せよ！！！ さっき作った配列を… 1
高速化のアイディア2:累積和 刮目せよ！！！ さっき作った配列を… 右に足していく 1 1 2 3
高速化のアイディア2:累積和 1 2 3 4 5 6 この配列があると何が嬉しいか？ 考えてみよう！ 1 2 3