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1 章 データの整理 1.1 データの代表値
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■ 母集団と標本 観測個数 n ( または 標本の大きさ、標本サイズ、 Sample Size) n が母集団サイズに等しい時 … 全標本 または 全数調査 (census) 母集団 (population) 知りたい全体 標本 (sample) 入手した情報 ＝ データ 情報の流れ 記号： { x 1, x 2, …, x n } 各種の代表値 統計的推測 （帰納論理：特殊 ⇒ 一般）
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■ データの中心を示す代表値 例 : { x 1, …, x 5 } = { 7, 4, 3, 6, 1 } 標本平均値 (Sample Mean) Σ = Sum
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順序標本 x [1], x [2], …, x [n] 観測値を昇順（小 → 大）に並べ替えた結果 最小値 = x [1] 最大値 = x [n] 例 : { x [1], …, x [5] } = { 1, 3, 4, 6, 7 } 中央値 (Median) (n が奇数の時 ) → 3 観測値 3 観測値 ←
![順序標本 x [1], x [2], …, x [n] 観測値を昇順（小 → 大）に並べ替えた結果 最小値 = x [1] 最大値 = x [n] 例 : { x [1], …, x [5] } = { 1, 3, 4, 6, 7 } 中央値 (Median) (n が奇数の時 ) → 3 観測値 3 観測値 ←](http://images.slidesplayer.net/39/11033498/slides/slide_4.jpg "順序標本 x [1], x [2], …, x [n] 観測値を昇順（小 → 大）に並べ替えた結果 最小値 = x [1] 最大値 = x [n] 例 : { x [1], …, x [5] } = { 1, 3, 4, 6, 7 } 中央値 (Median) (n が奇数の時 ) → 3 観測値 3 観測値 ←")
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例 : { x [1], …, x [4] } = { 1, 3, 4, 6 } 中央値 (Median) (n が偶数の時 ) → 半数半数 ←
![例 : { x [1], …, x [4] } = { 1, 3, 4, 6 } 中央値 (Median) (n が偶数の時 ) → 半数半数 ←](http://images.slidesplayer.net/39/11033498/slides/slide_5.jpg "例 : { x [1], …, x [4] } = { 1, 3, 4, 6 } 中央値 (Median) (n が偶数の時 ) → 半数半数 ←")
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最頻値 (Mode) 同じ値の個数（度数、頻度）が最も多い 値 例 : { x [1], …, x [9] } = { 1, 3, 3, 4, 4, 4, 6, 6, 7 } 3Ms Mean Median Mode 最多
![最頻値 (Mode) 同じ値の個数（度数、頻度）が最も多い 値 例 : { x [1], …, x [9] } = { 1, 3, 3, 4, 4, 4, 6, 6, 7 } 3Ms Mean Median Mode 最多](http://images.slidesplayer.net/39/11033498/slides/slide_6.jpg "最頻値 (Mode) 同じ値の個数（度数、頻度）が最も多い 値 例 : { x [1], …, x [9] } = { 1, 3, 3, 4, 4, 4, 6, 6, 7 } 3Ms Mean Median Mode 最多")
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■ データの広がりを示す代表値 x1x1 x2x2 データ D = (6, 2) 標本平均 M = (4, 4) ||DM|| 標本標準偏差 ×√ (n – 1) 母集団平均 C = (7, 7) 図1図1 45° 線
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標本 分散 (Sample Variance) 標本 標準偏差 (Sample Standard Deviation) S ≧ 0 例 : { x 1, x 2 } = { 6, 2 } 標本 平均 値 = ( 6 + 2 ) / 2 = 4 、 標本 分散 S 2 = [ ( 6 – 4 ) 2 + ( 2 – 4 ) 2 ] / ( 2 – 1 ) = 4 + 4 = 8 標本 標準偏差
![標本 分散 (Sample Variance) 標本 標準偏差 (Sample Standard Deviation) S ≧ 0 例 : { x 1, x 2 } = { 6, 2 } 標本 平均 値 = ( ) / 2 = 4 、 標本 分散 S 2 = [ ( 6 – 4 ) 2 + ( 2 – 4 ) 2 ] / ( 2 – 1 ) = = 8 標本 標準偏差](http://images.slidesplayer.net/39/11033498/slides/slide_8.jpg "標本 分散 (Sample Variance) 標本 標準偏差 (Sample Standard Deviation) S ≧ 0 例 : { x 1, x 2 } = { 6, 2 } 標本 平均 値 = ( ) / 2 = 4 、 標本 分散 S 2 = [ ( 6 – 4 ) 2 + ( 2 – 4 ) 2 ] / ( 2 – 1 ) = = 8 標本 標準偏差")
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■ 偏差に関する基本公式 { x [1], …, x [6] }= { 1, 2, 2, 3, 5, 5 } 重心＝標本平均値＝ 3 代数的証明
![■ 偏差に関する基本公式 { x [1], …, x [6] }= { 1, 2, 2, 3, 5, 5 } 重心＝標本平均値＝ 3 代数的証明](http://images.slidesplayer.net/39/11033498/slides/slide_9.jpg "■ 偏差に関する基本公式 { x [1], …, x [6] }= { 1, 2, 2, 3, 5, 5 } 重心＝標本平均値＝ 3 代数的証明")
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任意の実数 c について c = 0 と置くと x1x1 x2x2 データ D = (6, 2) 標本平均 M = (4, 4) ||DM|| 標本標準偏差 ×√ (n – 1) 45 度線上の 任意の点 C = (7, 7) 図1図1 45° 線
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チェビシェフ不等式 （平均・標準偏差とデータ 割合） 任意の実数 k > 1 について データの割合 { 標本平均値 ± k× 標本標準偏差 の範囲外 } ≦ 1 / k 2 (k = 2) 平均から 2 標準偏差以上 離れたデータの割合 ≦ 1 / 2 2 = 1 / 4 = 25% (k = 3) 平均から 3 標準偏差以上 離れたデータの割合 ≦ 1 / 3 2 = 1 / 9 ≒ 11% S2S2S3S3S -S -2S-2S -3S-3S 平均
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■ 安定した尺度 重心＝標本平均値＝ 3 中央値＝ 3 重心＝標本平均値＝ 4 データ： {x [1], …, x [7] }= { 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5 } データ： {x [1], …, x [7] }= { 1, 2, 2, 3, 4, 4, 12 } 異常値？
![■ 安定した尺度 重心＝標本平均値＝ 3 中央値＝ 3 重心＝標本平均値＝ 4 データ： {x [1], …, x [7] }= { 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5 } データ： {x [1], …, x [7] }= { 1, 2, 2, 3, 4, 4, 12 } 異常値？](http://images.slidesplayer.net/39/11033498/slides/slide_12.jpg "■ 安定した尺度 重心＝標本平均値＝ 3 中央値＝ 3 重心＝標本平均値＝ 4 データ： {x [1], …, x [7] }= { 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5 } データ： {x [1], …, x [7] }= { 1, 2, 2, 3, 4, 4, 12 } 異常値？")
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■ 四分位点（四分位数、 Quartile ） 最小値 x [1] から最大値 x [n] までのデータを、 個数において 4 等分する 3 点。 ５分位点、百分位点、 etc. 範囲 (Range) = 最大値 – 最小値 ( 上の例では 範囲 = 9 – 1 = 8) 四分位範囲 (Inter-Quartile Range) = 第 3 四分位点 － 第 1 四分位点 ( 上の例では 四分位範囲 = 7 – 2.5 = 4.5) { x [1], …, x [7] } = {1, 2, 3, 5, 6, 8, 9} ↑ 最小値 ↑ 最大値 ↑ 中央値 || 第 2 四分位点 = 5 第 1 四分位点 = 2.5↓ 第 3 四分位点 = 7 ↓
![■ 四分位点（四分位数、 Quartile ） 最小値 x [1] から最大値 x [n] までのデータを、 個数において 4 等分する 3 点。 ５分位点、百分位点、 etc.](http://images.slidesplayer.net/39/11033498/slides/slide_13.jpg "範囲 (Range) = 最大値 – 最小値 ( 上の例では 範囲 = 9 – 1 = 8) 四分位範囲 (Inter-Quartile Range) = 第 3 四分位点 － 第 1 四分位点 ( 上の例では 四分位範囲 = 7 – 2.5 = 4.5) { x [1], …, x [7] } = {1, 2, 3, 5, 6, 8, 9} ↑ 最小値 ↑ 最大値 ↑ 中央値 || 第 2 四分位点 = 5 第 1 四分位点 = 2.5↓ 第 3 四分位点 = 7 ↓.")
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分位点の一般公式 （テキストの定義とは異なる。 Excel-Percentile と同じ） 例 (n = 7) ：データ { x [1], …, x [7] } = {1, 2, 3, 5, 6, 8, 9} 縦軸の値は観測値が１つ右に進 む毎に 1 / (n – 1) づつ上昇 図2図2 xαxα α α = 0.25 （ = 第 1 四分位点） (n – 1) α + 1 = (7 – 1) 0.25 + 1 = 2.5 番 目 x 0.25 = x [2] + 0.5(x [3] – x [2] ) = 2 + 0.5(3 – 2) = 2.5 α = 0.5 （ = 中央値 = 第 2 四分位点） (n – 1) α + 1 = (7 – 1) 0.5 + 1 = 4.0 番目 x 0.5 = x [4] + 0.0(x [5] – x [4] ) 不 要 = 5 + 0.0(6 – 5) = 5
![分位点の一般公式 （テキストの定義とは異なる。 Excel-Percentile と同じ） 例 (n = 7) ：データ { x [1], …, x [7] } = {1, 2, 3, 5, 6, 8, 9} 縦軸の値は観測値が１つ右に進 む毎に 1 / (n – 1) づつ上昇 図2図2 xαxα α α = 0.25 （ = 第 1 四分位点） (n – 1) α + 1 = (7 – 1) = 2.5 番 目 x 0.25 = x [2] + 0.5(x [3] – x [2] ) = (3 – 2) = 2.5 α = 0.5 （ = 中央値 = 第 2 四分位点） (n – 1) α + 1 = (7 – 1) = 4.0 番目 x 0.5 = x [4] + 0.0(x [5] – x [4] ) 不 要 = (6 – 5) = 5](http://images.slidesplayer.net/39/11033498/slides/slide_14.jpg "分位点の一般公式 （テキストの定義とは異なる。 Excel-Percentile と同じ） 例 (n = 7) ：データ { x [1], …, x [7] } = {1, 2, 3, 5, 6, 8, 9} 縦軸の値は観測値が１つ右に進 む毎に 1 / (n – 1) づつ上昇 図2図2 xαxα α α = 0.25 （ = 第 1 四分位点） (n – 1) α + 1 = (7 – 1) = 2.5 番 目 x 0.25 = x [2] + 0.5(x [3] – x [2] ) = (3 – 2) = 2.5 α = 0.5 （ = 中央値 = 第 2 四分位点） (n – 1) α + 1 = (7 – 1) = 4.0 番目 x 0.5 = x [4] + 0.0(x [5] – x [4] ) 不 要 = (6 – 5) = 5")
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