数理統計学第１回 1 数理統計学 ( 第一回） 確率変数とは？ 浜田知久馬. 数理統計学第１回 2 世の中は不確定なことが多い 決まりきったことばかりとは限らない. 予想される値は決まっていてもばらつく. このようなとき，確率変数によって，物事 を確率的に記述できると便利なことが多 い.

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1 数理統計学第１回 1 数理統計学 ( 第一回） 確率変数とは？ 浜田知久馬

2 数理統計学第１回 2 世の中は不確定なことが多い 決まりきったことばかりとは限らない. 予想される値は決まっていてもばらつく. このようなとき，確率変数によって，物事 を確率的に記述できると便利なことが多 い.

3 数理統計学第１回 3 確率変数 X 条件 1 ） X が取り得る値はある範囲（標本空 間： sample space ）に定まっている． 条件 2 ） X はある時点が過ぎると値が定まる 「実現値｣が，それまでは値が不確定である． 条件 3 ） X の取り得る値についての確率分布は 定まっている．

4 数理統計学第１回 4 サイコロの目の例 条件 1 ） 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 条件 2 ）サイコロを投げると目は定まる 条件 3 ） P ｒ｛ X ＝ i ｝＝ 1/6 ｉ＝ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 サイコロが壷の中で投げられていたら いかさまだったら

5 数理統計学第１回 5 隣の人の明日の登校時間 条件 1 ） 0 時～ 24 時 条件 2 ）明日来てみればわかる. 条件 3 ） 8 時 50 分位を中心にして，ある バラツキを持った分布にしたがう． 明日自分が休んでしまったら． 総武線が遅れてしまったら.

6 数理統計学第１回 6 演習 1 ）自分の身近なもので確率変数を 3 つあげ ること． 2 ）条件 1 ），条件 2 ），条件 3 ）を上げるこ と． 3 ）条件 1 ），条件 2 ），条件 3 ）を動かす要 因を考えること．

7 数理統計学第１回 7 天気予報より きょう 4/22 ( 月 ) の 天気 4/23 時間帯 6 時 -12 時 12 時 -18 時 18 時 -24 時 0 時 -6 時 降水確率 30% 20% 10% 10% 予想気温 ( ℃ )18 / - 23 / 13 週間予報 4/24 ( 水 ) 4/25 ( 木 ) 4/26 ( 金 ) 4/27 ( 土 ) 4/28 ( 日 ) 降水確率 30% 50% 50% 40% 20% 予想気温 ( ℃ ) 23/14 20/15 16/12 19/10 21/12

8 数理統計学第１回 8 統計工学Ⅱの得点 01224364860728496 x 0 0.01 0.02 密 度 20406080 x x

9 数理統計学第１回 9 統計工学ⅠとⅡの平均得点 パーセント点 100% 最大値 90.0000 75% Q3 60.0000 50% 中央値 33.5000 25% Q1 23.5000 0% 最小値 4.0000 範囲 86.0000 Q3-Q1 36.5000 最頻値 60.0000 99.0% 90.0000 97.5% 80.0000 95.0% 80.0000 90.0% 80.0000 10.0% 15.0000 5.0% 13.0000 2.5% 10.0000 1.0% 4.0000 モーメント N 88.0000 平均値 42.6477 標準偏差 22.9863 歪度 0.2988 無修正平方和 206025.000 変動係数 53.8980 重みの合計 88.0000 合計 3753.0000 分散 528.3687 尖度 -1.2634 修正平方和 45968.0795 標準誤差 2.4503

10 数理統計学第１回 10 確率変数と実現値 確率変数：ある時点までは，確率分布に よって記述される． 実現値：ある時点を過ぎて定まった値のこ とを実現値または観測値と呼ぶ 確率変数は大文字で，実現値は小文字で表 現するのが一般的である． Ｘ → ｘ

11 数理統計学第１回 11 確率変数の分布の記述法 1 ）確率（密度）関数 2 ）（累積）分布関数 3 ）％点 4 ）期待値，分散 5 ）モーメント 6) 母関数

12 数理統計学第１回 12 確率分布の記述 確率分布とは，標本空間における確率とい う名の量の分布である. 確率の和は 1 であ る 離散分布：確率関数 Σ ｐ (x) ＝ 1 連続分布：確率密度関数 ∫ ｆ（ x ）ｄ x ＝ 1 ｐ (x) ≧ 0 ，ｆ (x) ≧ 0 身長は離散分布か，連続分布か？ お金は離散分布か，連続分布か？

13 数理統計学第１回 13 サイコロの目の確率分布 1/6 1 2 3 4 5 6

14 数理統計学第１回 14 連続分布の確率 9:00 ちょうどに大学に来る確率はいくらか？ 9:00 と 9:10 に来る可能性はどちらが大きい か？ 9:00 から 9:10 に来る確率は？ 8:59 ： 30 から 9 ： 00 ： 30 に来る確率は？ 確率密度（ 1/ 時間）は定義できる． ある区間（ a ， b) に入る確率： ∫ a b ｆ（ｘ）ｄ ｘ

15 数理統計学第１回 15 正規分布の確率密度関数,

16 数理統計学第１回 16 標準正規分布の確率密度関数

17 数理統計学第１回 17 http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Gauss.html Carl Friedrich Gauss 1777-1855 ガウスについては下記に詳しい

18 数理統計学第１回 18 分布関数 確率分布の別の記述方法 Ｆ（ｘ）：ｘ以下になる確率（ 0 ～ 1) 離散型の分布： 例） サイコロで 3 以下になる確率 連続型の分布： 例） 9 ： 00 までに来る確率

19 数理統計学第１回 19 サイコロの目の例 1 2 3 4 5 6 6/6 5/6 4/6 3/6 2/6 1/6 0/6

20 数理統計学第１回 20 正規分布の例

21 数理統計学第１回 21 分布関数と確率関数 離散型の分布 ｐ（ｘ）＝Ｆ（ｘ）－Ｆ（ｘ－） 連続型の分布 ｆ（ｘ）＝ｄＦ（ｘ）／ｄｘ ＊ ｘ－の意味はｘの－の側から単調に 増加して収束することを意味する.

22 数理統計学第１回 22 H13 年度 17 歳の体格 もしある確率変数の分布が定まれば, 様々 な 情報を得ることができる. 身長 平均 SD 体重 平均 SD 男子 170.9 5.76 62.8 10.47 女子 158.0 5.32 53.2 8.11 仮に正規分布に従っているとすれば, ある 範囲に入る確率, ある値を超える確率を 分布関数, 確率密度関数から求められる.

23 数理統計学第１回 23 演習 コインを 4 枚投げたときの, 表が出る回数の 確率関数と分布関数を記述せよ.

24 数理統計学第１回 24 表の回数の分布 二項分布（ｎ, ｐ） ｐ（ｘ）＝ ｎ Ｃ ｘ ｐ ｘ （ 1- ｐ） ｎ - ｘ 表表表表 表表表裏 表表裏表 表裏表表 裏表表表 表表裏裏 表裏表裏 裏表表裏 表裏裏表 裏表裏表 裏裏表 表 裏裏裏表 裏裏表裏 裏表裏裏 表裏裏裏 裏裏裏裏 確率＝ (1/2)× (1/2) ×(1/2) ×(1/2) ＝ 1/16

25 数理統計学第１回 25 ＳＡＳのプログラム例 data data;phi=0.50;n=4; do y=0 to 4; p=pdf('binomial',y,phi,n); F=cdf('binomial',y,phi,n); output;end; proc gplot;plot p*y/vzero; symbol1 i=needle; proc gplot;plot f*y/vzero; symbol1 i=steplj;

26 数理統計学第１回 26 確率関数

27 数理統計学第１回 27 分布関数

28 数理統計学第１回 28 ＥＸＣＥＬのＢＩＮＯＭＤＩＳ Ｔ関数 2 項分布の確率関数 or 分布関数 BINOMDIST( 成功数, 試行回数, 成功率, 関数形式 ) 成功数 試行回数 に含まれる成功の回数を指定 試行回数 独立試行の回数を指定 成功率 1 回の試行が成功する確率を指定 関数形式 0 ：確率関数 1 ：分布関数 例 BINOMDIST(1,4,0.5,0) ＝ 0.25 BINOMDIST(1,4,0.5,1) ＝ 0.3125

29 数理統計学第１回 29 ＥＸＣＥＬによる計算

30 数理統計学第１回 30 ％点： percentile 分布関数：確率密度関数の積分 → 簡単な関数では表せない 数表 ｘ →F(x) F(x) ＝ α → ｘ 下側 100α ％点： F （ｘ）＝ α となるｘの値 上側 100α ％点： F （ｘ）＝ 1 － α となるｘの 値 両側 100α ％点： F （ｘ）＝ 1 － α/2 となるｘ の値 50 ％点：メジアン 25,75 ％点：四分 位点

31 数理統計学第１回 31 NORMDIST 関数 正規分布の確率密度関数 or 分布関数 NORMDIST(x, 平均, 標準偏差, 関数形式 ) x 関数に代入する数値を指定 平均 分布の算術平均 を指定 標準偏差 分布の標準偏差を指定 関数形式 0 ：確率密度関数 1 ：分布関 数 例 NORMDIST(-1,0,1,0) ＝ 0.241971 NORMDIST(-1,0,1,1) ＝ 0.158655

32 数理統計学第１回 32 NORMINV 関数 標準正規累積分布関数の％点の値を返す。 書式 NORMINV( 確率, 平均, 標準偏差 ) 確率 正規分布における確率を指定 平均 分布の算術平均 ( 相加平均 ) を指定 標準偏差 分布の標準偏差値を指定 例 NORMINV(0.95,0,1) ＝ 1.644853

33 数理統計学第１回 33 正規分布の数表の作成

34 数理統計学第１回 34 SAS の乱数関数 NORMAL(seed) RANNOR(seed) 正規分布 RANBIN(seed,n,p) 2 項分布 RANCAU(seed) Cauchy 分布 RANEXP(seed) 指数分布 RANGAM(seed,alpha) ガンマ分布 RANPOI(seed,lambda) ポアソン分布 RANTBL(seed,p1,..pi,..pn) 指定した重み RANTRI(seed,h) 三角分布 RANUNI(seed) UNIFORM(seed) 一様乱数

35 数理統計学第１回 35 分布関数の％点 BETAINV(p,a,b) ベータ分布 CINV(p,df ) カイ 2 乗分布 FINV(p,ndf,ddf ) F 分布 GAMINV(p,a) ガンマ分布 PROBIT(p) 標準正規分布 TINV(p,df ) t 分布

36 数理統計学第１回 36 確率 ( 密度）関数 POISSON((lambda,n) ポアソン分布 PROBBETA(x,a,b) ベータ分布 PROBBNML(p,n,m)2 項分布 PROBCHI(x,df ) カイ 2 乗分布 PROBF(x,ndf,ddf )F 分布 PROBGAM(x,a) ガンマ分布 PROBHYPR(nn,k,x ) 超幾何分布 PROBNEGB(p,n,m) 負の 2 項分布 PROBNORM(x) 正規分布 PROBT(x,df ) スチューデントの t 分布

37 数理統計学第１回 37 演習１ 指数分布（連続分 布） 機械（コンピュータ等）の故障するまでの時 間は指数分布にしたがうことが知られてい る. 指数分布では分布関数は F(x)=1 － exp( － λ ｘ） となる. λ=1 として，指数分布の分布関数と確 率 密度関数を図示せよ. ヒント ｅｘｐ（－ 1)=0.3679 ，ｅｘｐ（－ 2)=0.1353 ｅｘｐ（－ 3)=0.0498 ，ｅｘｐ（－ 4)=0.0183

38 数理統計学第１回 38 演習２ ポアソン分布 ( 離散分 布） 稀な事象（交通事故等）の生起数はポアソン 分布にしたがうことが知られている. ポアソン分布では確率関数は ｐ (x)= λ ｘ exp( － λ ） / ｘ！ ｘ＝ 0,1,2, ・・・ となる. λ=2 として，ポアソン分布の分布関数 と 確率関数を図示せよ. ヒント ｅｘｐ（－ 2)=0.1353