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ボース・アインシュタイン凝縮体 での時空アナロジー 栗田泰生 ( 関西学院大学 ) 『アインシュタインの物理』でリンクする研究・教育拠 点研究会 １１日 １０月 2008 於 大阪市立大学 共同研究者の皆様 : 小林未知数 ( 東大理 ) 、 坪田誠 ( 大阪市立大学 ) 石原秀樹 ( 大阪市立大学 ) 、 森成隆夫 ( 京大基 研 )
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曲がった時空上の物質場の量子論 特徴： 時空がダイナミカルに変化 ⇒ 粒子生成 非自明な重力場 ・インフレーションなどの宇宙膨張 ・重力崩壊によるブラックホール形成 例 研究背景 WMAP による ＣＭＢ Hawking 輻射 （ブラックホールから熱輻射が出る！）
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インフレーション理論 ⇒ 量子揺らぎの生成 ⇒ CMB のゆらぎ 宇宙に存在すると考えられるブラックホールの 熱輻射は、とらえることが絶望的． 軽いブラックホールの方が温度は高いが、太陽質量程度でも （加速器で観測できたら素晴らしい） 曲がった時空上の場の理論が検証されたことは一度もな い 曲った時空上の場の理論的効果 （別なことで検証されるべき）
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流体上の時空アナロジー 流体上を伝播するフォノンは、時空上を伝播する場とみなせる． Fluid flow Curved spacetime （ gravitational field ） Quantum field (quantum) phononic field (phonon) 曲った時空上の場の理論は、流体上のフォノンに適用でき る！ Unruh PRL (1981) 目的 : アナロジーを用いて曲った時空上の場の量子効果を調べたい
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流体を用いたアナロジー 流体（空気）上の場（音波）の伝播： ） ） ） 音波（速度ポテンシャル）が従う式：
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曲った時空上スカラー場の E.O.M. 一般の時空の計量： この時空上のスカラー場の作用： Equation of motion on curved spacetime
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流体を用いたアナロジー 流体（空気）上の場（音波）の伝播： ） ） ） アナロジー時空計 量 音波（速度ポテンシャル）が従う式：
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流体を用いたアナロジー 「曲がった時空上の場の量子論」という理論的枠組みは、 流体 上を伝わる場の量子論にも適用できる． 流体上の音波（励起）も 時空上の場 と同じ形の方程式に 従う． 流体時空 場 （光） 場（音波） 流体の密度、速度場などに依存 通常の流体で量子効果 を見ることは難しい。 完全流体の場合 ( は音 速）
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冷却原子気体 Bose-Einstein condensates ボース粒子たちは、同じ量子状態を占めることができる. 閉込ポテンシャル中では超低温で, 多くのボ－ス粒子が基底状態 ⇒ condensate! 冷却原子気体 BEC は実験的に実現している. Gross-Pitaevskii (GP) 方程式 に定量的に従う. GP 方程式を解くことで凝縮体のダイナミクスがわかる. 400nK, 200nK, 50nK Trapping potential Atomic interaction
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BEC 上の励起場 BEC 上の励起場は、 Bogoliubov-de Gennes (BdG) 方程式に従う． BdG 方程式： 場を展開 ただし としましょう。 係数関数が満たすべき方程式：
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BEC 上の励起場 BEC 上の励起場は、 Bogoliubov-de Gennes (BdG) 方程式に従う． BdG 方程式： 場を展開 ただし としましょう。 係数関数が満たすべき方程式： 励起場の量子論は知られている。 （ Bogolibov-de Gennes 理論） 場はハミルトニアンを対角化する生成・消滅演 算子 で展開される。 ⇒ 量子（ Bogoliubov 準粒子）の生成・消滅演算子 低エネルギー励起はフォノン的
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Analogy in BEC ： E.O.M. 凝縮体波動関数： 励起場： 場の再定義： BdG 方程式から相対論的波動方程式が導かれる． ( 流体近似の下で.) 流速： 音速： Gross-Pitaevskii 方程式 Bogoliubov-de Gennes (BdG) 方程式 凝縮体の情報で決まっている！ アナロジー 時空計量
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Analogy in BEC ： E.O.M. 凝縮体波動関数： 励起場： 場の再定義： BdG 方程式から相対論的波動方程式が導かれる． ( 流体近似の下で.) 流速： 音速： Gross-Pitaevskii 方程式 Bogoliubov-de Gennes (BdG) 方程式 凝縮体の情報で決まっている！ アナロジー 時空計量 細かい部分は省略しまして、 音波の速度ポテンシャルに対して
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Analogy in BEC: operators 場の展開 : 展開関数系： satisfy (1) E.O.M. (2) Orthonormal relation 曲った時空上の QFT と同じ量子化： Bogoliubov 準粒子 一個 ～ 曲った時空上の量子一個. BEC 上量子の 生成・消滅演算子 BdG の直交性
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Analogy in BEC: operators Normalized field : Field expansion: The coefficient functions satisfy (1) E.O.M. (2) orthonormal relation BEC 上と曲った時空上の粒子生成には、理論上ほぼ 完全な対応がある。 （量子論レベルのアナロジーとして非常に良い） Bogoliubov 準粒子の理論 ～ 曲った時空上のスカラー場の理論 上手に規格化すると、 曲った時空上の QFT と同じ量子化： Bogoliubov 準粒子 一個 ～ 曲った時空上の量子一個.
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アナロジーと粒子生成を 具体例で考えましょう。
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膨張・収縮する BEC 凝縮体の大きさ （１）振動数 w ho = w ho i の 閉込めポテンシャルで 定常状態を用意 （２） t = 0 において w ho f = 0.707 w ho i として BEC を膨張・収縮 パラメーター： 87 Rb GP 方程式を解いた！
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膨張・収縮宇宙のアナロジー 音波で測った時空の大きさ が大きくなる： この BEC は非一様な膨張・収縮宇宙に対応 膨張 BEC は膨張宇宙に対応
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この膨張 BEC （膨張宇宙）での 粒子生成は？
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Bogoliubov 準粒子 励起場に対する方程式 （ Bogoliubov-de Gennes) The BdG Hamiltonian の対角化 ・準粒子状態はエネルギー固有状態 ・生成消滅演算子は、ハミルトニアンを対 角化 準粒子の生成・消滅演算子
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Bogoliubov 準粒子 The BdG Hamiltonian の対角化 ・準粒子状態はエネルギー固有状態 ・生成消滅演算子は、ハミルトニアンを対 角化 凝縮体の量 励起場に対する方程式 （ Bogoliubov-de Gennes)
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時間発展する BEC 初期にハミルトニアンを対角化する生成消滅演算子は、時間発展後 のハミルトニアンを一般には対角化しない 時間発展後のハミルトニアンは、別な演算子たちで対角化される. つまり、準粒子を定義する演算子が変わる！
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Mechanism of particle creation 初期に準粒子状態は真空だったとしましょう： 二つの演算子たちは線形変換で結ばれる : 時間発展後の粒子数期待値 : Particle creation! 時間発展 BdG 方程式を解くことで、求めることができ る。 曲った時空での粒子生成も基本的に同じメカニズム
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膨張 BEC （膨張宇宙）での粒子生成 では粒子が生成されている。 Number 10 1005 20 初期時刻 に粒子（フォノン）は存在しなかったとしても Number = 5 nK 温度：
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粒子生成は場の理論的効果 粒子生成は場の理論的効果である。 例として球対称な凝縮体（時空）の変化を考えましょ う！ 量子力学的な遷移 ⇒ 球対称な励起 場の理論における粒子生成 ⇒ 球対称も非球対称もすべてのモードが励起 例： 球対称重力崩壊で形成されたブラックホールからの Hawking 輻射 物理過程として純粋に面白い
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まとめ 曲った時空上の場の量子論は、 BEC 上の励起場の量子論と非常に良 く似ている。 BEC を用いて曲った時空上の場の量子論的効果を検証できると期待。 BEC 上の励起場に対する時間発展 Bogoliubov-de Gennes 方程式を解 くことで BEC 上の粒子生成スペクトルが計算可能。 非一様膨張宇宙に対応する膨張 BEC での粒子生成スペクトルを計算 した。実験で到達可能と考えられる。 観測方法は要検討 次の方向： Hawking 輻射、 BEC への反作用、 粒子の定義問題、 等等。
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