Dynamical Lifshitz spacetimes and aging phenomena 2013 年 3 月 25 日露共同研究ミニワークショップ 吉田 健太郎 ( 京大理 ) 鵜沢報仁 ( 関西学院大 ) 氏 との共同研究： arXiv: 1302.5224 [hep-th] 1.

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1 Dynamical Lifshitz spacetimes and aging phenomena 2013 年 3 月 25 日 @ 日露共同研究ミニワークショップ 吉田 健太郎 ( 京大理 ) 鵜沢報仁 ( 関西学院大 ) 氏 との共同研究： arXiv: 1302.5224 [hep-th] 1

2 2 0. イントロダクション

3 3 AdS/CFT 対応の研究の方向性 ・現実的な理論への応用 - QCD や物性系への応用 ・具体的な検証、基礎的な側面の研究 - 可積分性 （日露共同研究の主題） 今日はこちらの方向での話 話す内容 非平衡状態 平衡状態 緩和 緩和過程の AdS/CFT 対応に基づいた重力解による記述 時間が経てば、 時間に依存する厳密解を type IIB SUGRA で構成

4 4 老化現象 (aging phenomena) 非平衡状態から平衡状態へと非常にゆっくりと緩和 ( 人間の老化に似ている ) 例： ガラス状態 短距離では、結晶格子のような秩序構造がある。 一方、長距離では秩序構造が見られない。 然るべき物質で、急激に融点以下の温度に冷やす ( 過急冷却 ) と ガラス状態を構成できる。 急激に温度を変える、あるいは結合定数を変えるなどの操作は、 クエンチ (quench) と呼ばれる。 メモ

5 5 老化現象における特徴的な振る舞い 1 ） 時間並進不変性がない 2 ） ダイナミカル スケーリング 3 ） ゆっくりとした緩和 : 動的臨界指数 (dynamical critical exponent) 秩序状態の見られる典型的な長さのスケール 時間と共にべき的に大きくなる （指数関数的ではない）

6 6 1. シュレディンガー時空 とリフシッツ時空 (5 分 ) 2. 時間に依存するリフシッツ時空解の構成法 (5 分 ) 3. 解 の振る舞いと老化現象 (5 分 ) 4. まとめと今後の展望 トークのプラン

7 7 1. シュレディンガー時空 と リフシッツ時空 [Kachru-Liu-Mulligan, 0808.1725] [Son, 0804.3972][Balasubramanian-McGreevy, 0804.4053] 関連文献： [Donos-Gauntlett, 1008.2062]

8 8 変形項通常の AdS 1) 時間並進、 2) 空間並進、 3) 空間回転、 4) スケール不変性 5) ガリレイ変換、 6) 位相変換、 7) 特殊共形変換 ( のときのみ ) ( 任意の ) シュレディンガー時空 シュレディンガー対称性 [Son, 0804.3972][Balasubramanian-McGreevy, 0804.4053]

9 9 通常の AdS からの変形 1) 時間並進、 2) 空間並進、 3) 空間回転、 4) スケール不変性 ( 任意の ) リフシッツ時空 `` リフシッツ対称性 ’’ [Kachru-Liu-Mulligan, 0808.1725] NOTE ガリレイ不変性はない NOTE リフシッツ代数はシュレディンガー代数の部分代数

10 10 超弦理論への埋め込み シュレディンガー時空 リフシッツ時空 リフシッツ時空の弦理論への埋め込みにはトリックが必要だった ! c.f., No go theorem [Li-Nishioka-Takayanagi, 0908.0363] [Balasubramanian-Narayan, 1005.3291] [Donos-Gauntlett, 1008.2062] [Hartnoll-Polchinski-Silverstein-Tong, 0912.1061] [Maldacena-Martelli-Tachikawa, 0807.1100] [Herzog-Rangamani-Ross, 0807.1099] [Adams-Balasubramanian-McGreevy, 0807.1111] [Hartnoll-KY, 0810.0298] リフシッツ時空の埋め込みには２年近くかかった。 [Donos-Gauntlett, 0905.1098]

11 11 リフシッツ時空の埋め込みのトリック 1) のシュレディンガー時空 (wrong sign) から出発 2) 計量を次のように書きかえる リフシッツ時空 方向をコンパクト化 [Donos-Gauntlett, 0905.1098] [Donos-Gauntlett, 1008.2062] これは弦理論に埋め込める NOTE が時間になる ガリレイ不変性がなくなる

12 12 2. 時間に依存するリフシッツ時空解 の構成法 [Gibbons-Lu-Pope, hep-th/0501117] [Chemissany-Hartong, 1105.0612] 関連文献： [Uzawa-KY, 1302.5224]

13 13 時間に依存する D3- ブレイン解 (type IIB SUGRA) Chemissany-Hartong 解の一般化 [Chemissany-Hartong, 1105.0612] ディラトン ( 定数 ) 線形アクシオン 1/2 BPS D3- ブレイン解 [Gibbons-Lu-Pope, hep-th/0501117] c.f., [Uzawa-KY, 1302.5224] が時間方向

14 14 以下、 と置く ( 通常の double scaling limit) NOTE u の定数シフトに対して不変だが、 v については不変ではない Near-horizon limit Double scaling limits

15 15 Donos-Gauntlett のトリックを実行 [Donos-Gauntlett, 1008.2062] リフシッツ部分 KK-circle + S 5 対称性： 1) 時間並進不変性はない 2) のスケール不変性 時間に依存するリフシッツ時空解 [Uzawa-KY, 1302.5224]

16 16 3. 解の振る舞いと老化現象 [Horowitz-Way, 1111.1243] 関連文献： [Uzawa-KY, 1302.5224]

17 17 解の書き換え： 変数変換 計量 ２つの領域： ( 時間 τ を一定 ) AdS リフシッツ 境界近傍 ホライズン近傍 として、解の時間発展を見てみよう

18 ホライズン 境界 リフシッツ

19 ホライズン 境界 リフシッツ AdS

20 ホライズン 境界 AdS

21 21 老化現象との関係？ 非平衡状態 ( ガラス状態 ) ： リフシッツ 平衡状態 ( 緩和した状態 ) ： AdS の物理的解釈 : 典型的な緩和時間 AdS のみ ( 直ちに緩和する ) リフシッツのみ ( 全く緩和しない ) 平衡状態の典型的な長さ と整合的 Conformal boundary の計量より

22 22 Conformal boundary 共形変換 NOTE 通常の NR 背景と違い、 conformal boundary をきちんと定義できる 解を r で書く 減速膨張

23 境界 ホライズン 短距離 AdS リフシッツ AdS 空間に支配される 小さい平衡状態

24 境界 ホライズン 長距離 AdS リフシッツ リフシッツ時空 の影響を受ける 長距離では非平衡

25 境界 ホライズン 平衡状態の相関長 AdS リフシッツ

26 26 での解の振る舞いは？ 計量 ある時刻で、 となる z が存在し、 時間に依存する特異点 KK-circle の半径がゼロに潰れる。 時間発展の様子を見てみよう。

27 27 ホライズン 境界 EAdS 特異点

28 28 ホライズン 境界 EAdS 特異点 リフシッツ

29 29 量子クエンチ (quantum quench) ? 有効結合定数 で無限大 ``Big Bang singularity’’ 特異点が境界に到達することにより、リフシッツ時空で埋め尽くされ、 conformal boundary が定義できるようになる。 c.f., holographic quantum quench [Das-Nishioka-Takayanagi, 1005.3348] [Basu-Das, 1109.3909] 非平衡状態の生成 (pre-Big Bang!?)

30 30 リフシッツ時空に対する考え方 通常のリフシッツ時空には、それ自体で問題点がある ホライズンで発散する潮汐力 低エネルギー有効理論として、重力解を信頼できない ・ 弦理論の補正は、 AdS 半径と 以外に影響しない ・ 高次元に拡張しても、解決しない [Horowitz-Way, 1111.1243] [Adams-Maloney-Sinha-Vazquez, 0812.0166] ・ 弦理論への埋め込みを考えると、構成上、不安定 [Donos-Gauntlett, 1008.2062] とフローしない限り、問題は解決しない 時間に依存する解として解釈すると、自然に問題が解決

31 31 4. まとめと今後の展望

32 32 まとめ 時間に依存するリフシッツ解を type IIB SUGRA の厳密解として構成 老化現象との関係 今後の展望 FRW 宇宙を conformal boundary に持つ模型の構築 対数的老化現象を記述できるか？ 有限温度化、 GKP-Witten 的に応答関数の計算 3) 緩やかな緩和 1) 時間並進不変性がない 2) ダイナミカル スケーリング の３つの条件を満たす。

33 33 Aging 代数に基づくホログラフィック老化現象 [Jottar-Leigh-Minic-Pando Zayas, 1004.3752][Minic-Pleiming, 0807.3665] 時間並進不変変数変換で時間依存性が消える 空間並進、空間回転、スケール不変性、 ガリレイ、位相変換、特殊共形変換 我々の解の対称性は aging 代数よりも小さい Aging 代数 : 問題点 NOTE Aging 代数をどれぐらい尊重するべきか？ Aging 代数に基づく先行研究 ( 共にリフシッツ代数の部分代数ではある )