1 運動方程式の例２：重力. 2 x 軸、 y 軸、 z 軸方向の単位ベクトル（長さ１）。 x y z O 基本ベクトルの復習 もし軸が動かない場合は、座標で書くと、 参考：動く電車の中で基本ベクトルを考える場合は、 基本ベクトルは時間の関数になるので、 時間で微分して０にならない場合がある。

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1 1 運動方程式の例２：重力

2 2 x 軸、 y 軸、 z 軸方向の単位ベクトル（長さ１）。 x y z O 基本ベクトルの復習 もし軸が動かない場合は、座標で書くと、 参考：動く電車の中で基本ベクトルを考える場合は、 基本ベクトルは時間の関数になるので、 時間で微分して０にならない場合がある。

3 3 x y z P(x,y,z) O 動径ベクトル 位置ベクトルとも言う。 原点Ｏから物体までのベクトル。 復習

4 4 動径ベクトルを微分する。 補充問題（前ではやりません） 基本ベクトル が定数（動かない）の時、 動径ベクトルを微分して以下を示せ。 ヒント：積の微分法 を使う。

5 5 運動方程式の例：重力場中 質量 x 加速度 ＝力 例２：重力が質量 m の質点に働いているなら、 下向けに mg の力を受ける。 g は重力加速度。 g= 9.8 m/s 2 ベクトルで書くと、 運動方程式は、 問題２ 例２の運動方程式の両辺を、 x,y,z 成分で書け。 微分方程式を解いて、運動を求めよ。（一般解を求めよ。） mg x y z は z 軸方向に 上向けの長さ１の ベクトル。 成分で書くと、 (0,0,1) t は時間

6 6 重力の補足：万有引力の法則 万有引力の法則 質量 m の物体が、距離 r 離れた質量 M の物体から 受ける引力 ベクトルで書くと、 物体 M から m 方向への 単位ベクトル 定数（単位があります）

7 g 重力加速度 gravity 重力 参考 「 gr 」がつく単語は 重いものが多い。（例外もある） grave 重大な、墓 grief 悲しみ gray 灰色 grim 陰鬱な このページは試験に 出ません。

8 8 例２の解答の前半：成分で表す。 運動方程式は、

9 9 解答： x 方向の運動 両辺を m で割る。 （質量 m は 0 ではない） 時刻 t=0 のときの x 方向の速さ 時刻 t=0 のときの x 座標 積分する。

10 10 解答： x 方向の運動 ・力を受けない方向には、等速度で進む。 ・野球のボール場合には、空気抵抗があるので、 速度はだんだん小さくなる。 では、一定の力を受ける場合は？ → 次のページへ。

11 11 解答続き： z 方向の運動からわかること。 両辺を m で割る 時刻 t=0 のときの z 方向の速さ 時刻 t=0 のときの z 座標

12 12 解答続き： z 方向の運動からわかること。 一定の力を受ける場合は、 ・落下の速さ（速度の絶対値）がどんどん大きくなる。 ・落下距離は、時間 t の２次関数になる。 右辺にマイナスがある理由： z 座標は上向けにプラス。 重力は下向けに働く。

13 13 ネアンデルタール人とクロマニヨン人の話 ・ネアンデルタール人の骨が発見された。 ・肋骨に槍（やり）による傷跡。 斜め 45 度から。 ・ネアンデルタール人は森で生活。 近くまで行ってから、動物を槍で刺していた。 ・一方、クロマニヨン人は、大平原で暮らしていた。 遠くの動物に槍を投げて刺す。 ・ネアンデルタール人はクロマニヨン人に 殺されたのかも。

14 14 補足 初期条件とは： 出発地点の位置 r と速度 v のこと。

15 15 運動方程式からわかること 運動量、力積、運動エネルギー

16 16 運動方程式 からわかること 運動量 を使って、 運動方程式は 力積により 運動量が変化する。 運動エネルギーの変化＝仕事 運動量： 運動の勢いを表す。 問題１： と書けることを示せ。 問題２：前問の結果より、 を示せ。 問題３：運動方程式と速度ベクトルの内積を とることにより、 を示せ。 教科書 p.51-52 教科書 p.55 教科書 p.20

17 17 (1) 運動量 を使って、書き換える。 運動量： 運動の勢いを現す。 問題１の解答 問題１ 質量 m は時間によらず 一定だとする。

18 18 力積により運動量が変化する。 問題２の解答 前問より 時間 t 1, t 2 における運動量を p 1, p 2 とすると、 微分の逆は積分

19 19 (1) 問題３の解答 よって (1) の両辺と の内積を取ると、 左辺は、 右辺は、 (2)

20 20 解答の補足 合成関数の微分を右辺第 1 項に使う。 の証明 他の項も同様 右辺から出発する。

21 21 運動エネルギーの変化＝仕事 解答続き 点 P 0 から点 P 1 への変化は、

22 22 運動量 momentum 運動量 = 質量 × 速度 重い物ほど運動量が大きい。速いほど運動量が大きい。 衝突の時の勢いを表す。方向も示す。 力を受けると、運動量が変化する。

23 23 力積（りきせき） 力積＝力 × 時間 運動量の変化は力積に等しい。 impulse

24 24 仕事 work 仕事＝力 x 距離 経路に沿った微小長さ。接線方向 ・ 内積 例：水平面上に物体があり、 水平から 60 度の角度で 5N の力を加えて 3m 引っ張った場合、した仕事は、 5N x 3m x cos60°=7.5N ・ m ( 微小 = 非常に小さい )

25 25 ベクトル のなす角を θ とする。 内積 を、 のとき、 を示せ。 （各自やっておいて下さい。前ではやりません。） と定義する。（スカラー量） 問題 教科書 p.21 内積（スカラー積）

26 26 運動エネルギー kinetic energy

27 27 運動量と運動エネルギーの比較 ・運動量はベクトル：速度の方向を向いている。 運動エネルギーはスカラー ・どちらも質量に比例。速度に依存する。 ・両方とも力を加えると変化する。 運動量は力 x 時間、運動エネルギーは力 x 距離。