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ボース・アインシュタイン凝縮体 での時空アナロジー 栗田泰生 ( 神奈川工科大学） 『アインシュタインの物理』でリンクする研究・教育拠 点研究会 2009. 10. 24 於 大阪市立大学 共同研究者の皆様 : 小林未知数 ( 東京大学 ) 、 坪田誠 ( 大阪市立大学 ) 石原秀樹 ( 大阪市立大学 ) 、 森成隆夫 ( 京大基研 )
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目次 1 ． BEC の動的な振舞い 2 ．動的な BEC で期待される粒子生成 3 ．曲った時空上の場の量子論との対応（アナロジー） 4 ．曲った時空上の場の量子論としての粒子生成 5 ．まとめ
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冷却原子気体 Bose-Einstein condensates ボース粒子たちは、同じ量子状態を占めることができる. 閉込ポテンシャル中では超低温で, 多くのボ－ス粒子が基底状態 ⇒ 凝縮 冷却原子気体 BEC は実験的に実現している. Gross-Pitaevskii (GP) 方程式 に定量的に従う. GP 方程式を解くことで凝縮体のダイナミクスがわかる. 400nK, 200nK, 50nK Trapping potential Atomic interaction 凝縮体 波動関数 M.H.Anderson et al., Science 269, 198 (1995)
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Gross-Pitaevskii 方程式 Trapping potential Atomic interaction 凝縮体のダイナミクスを記述する方程式： ここで 連続の式 とすると 凝縮体の位相が速度ポテンシャル
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Gross-Pitaevskii 方程式 Trapping potential Atomic interaction 凝縮体のダイナミクスを記述する方程式： ここで 連続の式 とすると オイラー型の式 凝縮体の位相が速度ポテンシャル 凝縮が起こったとき が満たされて、完全流体と同様になることがわかる 凝縮体は完全流体 的に振舞う
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励起場の量子論 励起場に対する方程式 （ Bogoliubov-de Gennes) BdG ハミルトニアンの対角化 ・準粒子状態はエネルギー固有状態 ・生成・消滅演算子は、ハミルトニアンを 対角化 準粒子の生成・消滅演算子 場の演算子 場の展開 完全系
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励起量子のスペクトル 凝縮体が定常なときに励起場のスペクトルを調べると、 低エネルギー励起は 音波（フォノン）的！ 冷却原子気体凝縮系は、 やはり完全流体的に振舞う．
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Bogoliubov 準粒子 BdG ハミルトニアンの対角化 ・準粒子状態はエネルギー固有状態 ・生成・消滅演算子は、ハミルトニアンを 対角化 凝縮体の量 励起場に対する方程式 （ Bogoliubov-de Gennes) 場の展開 完全系 準粒子の生成・消滅演算子
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時間発展する BEC 初期にハミルトニアンを対角化する生成消滅演算子は、時間発展後 のハミルトニアンを一般には対角化しない 時間発展後のハミルトニアンは、別な演算子たちで対角化される. つまり、準粒子を定義する演算子が変わる！
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粒子生成 初期に準粒子状態は真空だったとしましょう： 二つの演算子たちは線形変換で結ばれる : 時間発展後の粒子数期待値 : Particle creation （粒子生成） ! 時間発展 BdG 方程式を解くことで、求めることが できる
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膨張・収縮する BEC 凝縮体の大きさ 時間 横軸：半径 縦軸：密度 横軸：半径 縦軸：音速 流速
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膨張 BEC での粒子生成数値計算例 では粒子が生成されてい る！ Number 5 20 初期時刻 に粒子は存在しないという状態を用意． 初期条件 自発的な粒子生成 時間 Kurita, Kobayashi, Morinari, Tsubota, Ishihara : Phys. Rev. A 79, 043616 (2009)
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ここまでのまとめ 凝縮体は、完全流体的に振舞う． 凝縮体が動くと、一般には Bogoliubov 準粒子が生成されると理論的 に予想される． 粒子生成は、自発的に起こる． （最後に再び議論します．） 実は、 BEC 系での粒子生成は、曲った時空上の場の量子論が予言する粒 子生成とみなせる．
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曲がった時空上の物質場の量子論 特徴： 時空がダイナミカルに変化 ⇒ 粒子生 成 非自明な重力場 （古典場） ・インフレーションなどの宇宙膨張 ・重力崩壊によるブラックホール形成 例 WMAP による ＣＭＢ Hawking 輻射 （ブラックホールから熱輻射が出る！） 曲がった時空上の場の理論の直接検証は難し い
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流体上の時空アナロジー BEC に限らず、一般の流体の話． 流体上を伝播するフォノンは、時空上を伝播する場とみなせる． 流れる流体 曲った時空 （重力場） 物質の量子場 ( 量子・フォト ン ) 音波の場 ( フォノン ) Unruh PRL (1981)
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流体を用いたアナロジー 流体（空気）上の場（音波）の伝播： ） ） ） 音波（速度ポテンシャル）が従う式：
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曲った時空上スカラー場の E.O.M. 一般の時空の線素 ( 無限小離れた 2 点間の距離 ) ： この時空上のスカラー場の作用： 曲がった時空上の場の運動方程式
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流体を用いたアナロジー 流体（空気）上の場（音波）の伝播： ） ） ） アナロジー時空計 量 音波（速度ポテンシャル）が従う式：
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特に BEC の場合 場 : 展開関数系： satisfy (1) E.O.M. (2) Orthonormal relation 曲った時空上の場の量子論と BdG 理論は、とてもよく対応 する BEC 上量子の生成・消滅演算子 BdG の直交性 Kurita, Kobayashi, Morinari, Tsubota, Ishihara : Phys. Rev. A 79, 043616 (2009)
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BEC 理論でのアナロジー GP 方程式 ⇒ 完全流体的な振舞い 励起場に対する BdG 方程式 ⇒ 音波的な振舞い アナロジーとして冷却原子 BEC 系（ BdG 理論）は曲がった時空上の 場の理論と対応が非常によい． BdG ハミルトニアンの再対角化によって計算される粒子生成は、 アナロジー時空上の場の理論を用いて計算したものと一致する． BEC 系で粒子生成が実験的に検証できれば、曲がった時空上の場の 量子論の粒子生成が検証されると思える．
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膨張・収縮する BEC 凝縮体の大きさ パラメーター： 87 Rb GP 方程式を解いた！ （１）振動数 w ho = w ho i の 閉込ポテンシャルで 定常状態を用意 （２） t = 0 において w ho f = 0.707 w ho i とした． 動的凝縮体の準備
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膨張・収縮宇宙のアナロジー 音波で測った時空の大きさ が大きくなる： この BEC は非一様な膨張・収縮宇宙に対応 膨張 BEC は膨張宇宙に対応
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膨張 BEC （膨張宇宙）での粒子生成 それでも では粒子が生成されて いる！ Number 5 20 ある時刻 に粒子（フォノン）は存在しなかったと初期状態を設定 = 5 nK
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凝縮体への反作用 BdG 理論では、凝縮体だけで保存則を満たす． ⇒ 粒子生成による凝縮体への反作用は取り扱えない． （粒子生成による時空への反作用） 動的問題に適用できる平均場理論が提唱されている． （ゴールドストーンモードを保持、保存則を満たす） この理論でも曲がった時空上の場の量子論的な見方ができる． （粒子生成の計算法については、現在研究中） 厳密な理論に期待される性質 Kita :JPSJ 74 pp.1891 (2005), JPSJ 75, 044603 (2006) 他
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まとめ 曲った時空上の場の量子論は、 BEC 上の励起場の量子論 と非常に良く対応する． BEC を用いて曲った時空上の場の量子論的効果を検証で きると期待． また、 BEC 系の北理論では、粒子生成による凝縮体への 反作用を扱うことができると期待． 物性系においても、粒子生成は面白い．その理由 は・・・
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粒子生成の特徴 例として球対称な凝縮体変化を考えましょう！ 球対称な摂動 ⇒ 球対称な励起 場の理論における粒子生成 ⇒ 球対称も非球対称もすべてのモードが励起 別な例： 一様等方な宇宙膨張での粒子生成は非一様・非等方成分も生みだ す． 例： 球対称重力崩壊で形成されたブラックホールからの Hawking 輻射 物理過程として純粋に面白い 球面調和展開
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動的カシミール効果 凝縮体全体を励起させて時間発展させると、やがて凝縮体は静的状 態（基底状態）に落ち着く． このとき、準粒子を放出させる現象を動的カシミール効果と呼ぶ らしい． 粒子生成は、この効果の機構となっていると思われる．
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北理論での初等的アナロジー アナロジーで現れる有効計量： 反作用の効果： 反作用に効くのは、 アノマラスな項 のみ． 反作用の影響は、原子間相互作用の強さに吸収できる． 励起場の生成 演算子
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BEC 上の励起場 BEC 上の励起場は、 Bogoliubov-de Gennes (BdG) 方程式に従う． BdG 方程式： 場を展開 ただし としましょう。 係数関数が満たすべき方程式：
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