電磁気全般の話.

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1 電磁気全般の話

2 電磁気の構成 物理は単なる頭の体操ではない。 ２．社会に出たら、練習問題１番、という風には出てこない。
　　わけのわからない所から問題点をつかまないといけないこともある。 ３．今後も役立つ。

3 電磁気が関係した現象、応用 医学 生体内：膜、神経 測定方法：NMR、心電図、血糖値測定、など。 自然現象 雷 地球の磁場、宇宙の磁場
　生体内：膜、神経 　測定方法：NMR、心電図、血糖値測定、など。 自然現象 　雷　　地球の磁場、宇宙の磁場 日常生活 　身の回りの電磁波 　　スマートフォン、携帯電話 送電線 ガンの原因の１つとも言われている。 　電気製品：テレビ、洗濯機、など。 興味のある人はレポート課題で調べてみて下さい。

4 ある年のレポートのテーマ分布 医療関係18 MRI(磁気共鳴画像法)and/or NMR(核磁気共鳴)11
　　　　　　PET(ポジトロン断層撮影)２、ベータトロン１ 　　　　X線CT、心電図、光ピンセット、電磁波の生体への影響（ガン） 製品7　電磁誘導３　自転車のライト、綿菓子作り、 　　　　　　　　　IH (電磁誘導加熱)調理 　　　 電磁波４　　電子レンジと携帯電話、 　　　　　　　　GPS測量(カーナビ)、ラジオ放送、TVのアンテナの形　　　　　　　　　　 電磁波５。　　電磁波、電波、赤外線、電波の測定、ピラミッドの謎 自然　７　　オーロラ４、雷２、プラズマ１ エネルギー３　　燃料電池、電気エネルギーの損失、エアコン コンピュータ関係２　　記録の物理、メモリ。 他　２　　　　大学と高校の電磁気の比較。原子と原子核の大きさの実験、

5 ここからベクトルの話

6 ２つの表記方法 1)場の考え方： オイラー(Euler)の考え方 2)粒子についていく考え方。 ラグランジュ(Lagrange) z x y
２つの表記方法　 1)場の考え方：　オイラー(Euler)の考え方 2)粒子についていく考え方。 　　　ラグランジュ(Lagrange) z x y 電磁気だと、 ・電場 E(r,t)を考えるのは、場の考え方。 ・荷電粒子を追いかけて行くのは、ラクランジュの考え方。

7 「場（ば）」の考え方 場：field 電磁気や流体力学では、「場」の考え方を使う。 座標と時間を指定すると、
「場（ば）」の考え方　　 場：field 電磁気や流体力学では、「場」の考え方を使う。 座標と時間を指定すると、 　ある場の量が決まる。（スカラー、ベクトル） 　　　電場、磁場、電荷、粒子密度など。 z 空間の各点で定義される。 y x ２次元スカラー場の例は以前図示した。 問題1　２次元ベクトル場　 を図示せよ。 問題2 を図示して前問の結果と比較せよ。 ヒント:座標上のいろいろな点において、矢印を書く。

8 ベクトルの矢印 追加ページ x y 1 2 3 -1 (1,3)のベクトルを図示せよ。 （数学のベクトルとして）
ベクトルの矢印　　 追加ページ x y 1 2 3 -1 (1,3)のベクトルを図示せよ。 　（数学のベクトルとして） 数学の場合は特に指示がなければ、 原点を始点にして、 x方向1, y方向に3進んだ点を 終点とする矢印を書く。

9 ベクトル場の書き方の説明 ベクトル（矢印） 場所 （矢印の始点） 追加ページ x y 1 2 例： (1,2)を始点とする、
ベクトル場の書き方の説明　　 追加ページ x y 1 2 ベクトル（矢印） 場所 （矢印の始点） 例： (1,2)を始点とする、 ベクトル（-2,1)の矢印を描く。 x方向へ-2, y方向へ+1 行った場所がベクトルの終点になる

10 補足：ベクトル 数学のベクトル：自由に平行移動してよい。 ベクトルの成分表示 y 2 1 x 1 2 物理のベクトル：平行移動できない。
補足：ベクトル　　 数学のベクトル：自由に平行移動してよい。 　ベクトルの成分表示 y 2 1 x 1 2 物理のベクトル：平行移動できない。 　作用点（始点）が大事。 例：点(1,1)において、 ベクトル(3,2)を書け。 y 2 1 x 1 2

11 偏微分(へんびぶん） 前期の復習 教科書p.376 partial differentiation
２変数以上の関数で、１つの変数について微分する ：xについて微分する。(ｙを一定とみる）

12 偏微分の記号 前期の復習 読み方はいろいろある。 英語では、 ・ラウンドディー ・rounded d ・パーシャルディー
・ディー 英語では、 ・rounded d ・partial d ・d 英語なら、rounded d over rounded x 日本語なら、ラウンドx 分の ラウンドf または　ディーf, ディーｘ 　（これだと普通の微分と同じ読み方になるので、 　　ラウンドの方がよい。）

13 偏微分の例 前期の復習 xについての偏微分　（yは定数だと思って微分する。） yについての偏微分　（xは定数だと思って微分する。）

14 場の微分 gradient: 勾配 グラジエント divergence:湧き出し、 吸い込み ダイバージェンス rotation:回転
ラウンド 場の微分　 gradient: 勾配 グラジエント に対して、 ベクトル divergence:湧き出し、 　　　吸い込み ダイバージェンス rotation:回転 ローテーション

15 場の微分 ∇：ナブラ 問題１ 内積 外積 補助問題：２つのベクトルPとQに対して、内積と外積の 角度を使った定義および成分表示を書け。
を使えば、 問題１ と書けることを示せ。 内積 外積 補助問題：２つのベクトルPとQに対して、内積と外積の 角度を使った定義および成分表示を書け。 問題2 ベクトル場 に対して、 を計算せよ。 についても同様に求めよ。 ヒント　２次元ベクトルはz成分が0の３次元ベクトルと と考えてrotを計算する。

16 教科書　p ここから面積積分の話

17 復習 場の微分 gradient: 勾配 グラジエント divergence:湧き出し、 吸い込み ダイバージェンス rotation:回転
場の微分　 復習 ラウンド gradient: 勾配 グラジエント に対して、 ベクトル divergence:湧き出し、 　　　吸い込み ダイバージェンス rotation:回転 ローテンション

18 rotは回転を示す量。回転軸の方向もわかる。
divとrotの意味 復習 x y 1 2 divは湧き出しや吸い込みを示す量。 rotは回転を示す量。回転軸の方向もわかる。

19 べき関数の微分 前期の復習 微分の定義は （数２） 微分の定義を使って、関数の微分を求めた。 a) -> b) c) -> d)
e) -> -> -> -> -> nは自然数 19

20 積分は微分の逆 数２の復習 は積分定数 20

21 積分とは 積分はたし算： 微小量をたくさん加える。 ・高校の数学の積分は、 １次元（直線上）。 ・大学では、いろいろな領域での積分
積分はたし算：　微小量をたくさん加える。 ・高校の数学の積分は、 　　１次元（直線上）。 ・大学では、いろいろな領域での積分 　　1) 線積分 　　2) 面積積分 　　3) 体積積分 　積分する領域によって名前が付いている。

22 面積積分 y xy面上の小さい面積要素を考える。 dS dy ある面Ｓ上で関数f(x,y)を積分する dx ことができる。 x (1)
問題　関数f(x,y)=xyについて、 　　　0≦x≦1, 0≦y≦1の正方形上で 　　　上記(1)の積分を求めよ。 次の問題で、方向を加えた面積積分を考えます。

23 補足 の意味 変数x, yの関数 変数xの関数 の意味 ある関数f(x,y)の関数形がxy 関数f(x)の関数形が

24 補足 なぜ か？ dxはx軸方向の微小量 dyはy軸方向の微小量 すると、xy面に平行な面の dx 微小面積dSは、 x
補足　なぜ　　　　　か？ dxはx軸方向の微小量 dyはy軸方向の微小量 すると、xy面に平行な面の 微小面積dSは、 dx x (dxとdyのかけ算の意味） になる。 y x dx dy dS

25 ここから 方向を含む面積積分の話

26 方向を含む面積積分 dS dSは面積の微小量。スカラー ベクトル nは法線ベクトル 面に垂直なベクトル。 外向けをプラスにとる。
一般には法線ベクトルの長さはいろいろであるが、 ここでは単位ベクトル（長さが１）にする。

27 法線ベクトル補足 normal vector
垂直なベクトル ２次元空間内： 線上の法線ベクトル （直線でも曲線でもよい） ３次元空間内： 面上の法線ベクトル （平面でも曲面でもよい） 直線上のどの点でも 法線ベクトルの 方向は同じ 場所によって 方向が違う

28 方向を含む面積積分 なぜ、わざわざ法線ベクトルをかけて、 方向のある面積積分にするのか？ dS
流れ出す量を表すには、法線ベクトルと内積を取ると便利 水の流れ 面の法線 ベクトル が小さい が大きい 面から流れ出る量が多い。 面から流れ出る量が少ない。

29 方向を含む面積積分の問題 問題 ベクトルA=(y,x,0)に対して、 面S: 0≦y≦1, 0≦z≦1, x=1 の正方形上で を求めたい。
右の図をノートに書き、 　正方形を図示せよ。 2) この正方形の法線ベクトル　　　を求めよ。 　　（ただし、原点から見て外向けの方向にとる。） 3) 正方形上の点(1,y,z)における　　　を求めよ。 4) をこの面上で求めよ。 5)　積分　　　　　　を求めよ。 y x

30 補足 x=1は１次元では点、２次元では線、３次元では面を表す。 x y 1 z y x 1 x 1

31 式x=1が３次元では面を表す １次元、２次元、３次元と増やしてみて理解する。 （前のページ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（前のページ） (2) x=1は、x座標が一定であることを示す。 　　ある点のx座標は、yz平面への距離。 　　平面から距離一定の点の集合は、平面になる。 　　　例：　教室の壁から一定の距離にある点の集合は、 　　　　　　壁に平行な面になる。

32 補足：スカラー場とベクトル場 スカラー：１成分、方向がない。 例 温度 個数 面積 体積 密度 ベクトル：２成分以上。矢印で表す。 例
　　　例　温度 　　　　　個数 　　　　　面積 　　　　　体積 　　　　　密度 ベクトル：２成分以上。矢印で表す。 例 　　速度ベクトル、 　　加速度ベクトル 　　電場、磁場（後で電磁気でやります。） 　　方向を持った面積要素

33 ここから ガウスの定理

34 ガウスの定理（divergence) ベクトル場Ａに対して S V (1) わきだし 表面積全体の 積分 体積内の積分
後で電磁気で使います。 ベクトル場Ａに対して S V (1) わきだし 表面積全体の 積分 体積内の積分 表面に垂直、外向きのベクトル

35 ガウスの定理の補足 (1) ・コメント「面積積分＝体積積分が疑問」について 両辺の単位を比較してみる。
divは場所に関する微分が入っている。 両辺とも（長さ）の２乗の単位になる。 ・コメント「左辺はベクトル、右辺はスカラーで積分？」 左辺は内積を取っているので、スカラーになる。 右辺のdivAもスカラーになる。 したがって、両辺ともスカラーになる。

36 定積分の補足 不定積分：場所を指定しない積分 定積分：決まった場所での積分 高校の定積分 １次元で積分：区間を指定
高校の定積分　 １次元で積分：区間を指定 大学の定積分：３次元空間内 　面上の積分　　　　　　　　　　立体の中の積分 どこで積分するかを、 積分記号の下または右下に書く。

37 ガウスの定理（divergence) 続き
S V ベクトル場Ａに対して (1) わきだし 意味 ある立体の表面積から出ていく流れは、 内部からの湧き出しと同じ。

38 ガウスの定理の証明 (1) 問題１ 微小直方体（１辺Δx, Δy, Δz)に関して、 S (1)式の右辺と左辺をそれぞれ書いて変形し、
　(1)式の右辺と左辺をそれぞれ書いて変形し、 　(1)が成立することを示せ。 小問に分けると、 xy面に平行な２面に関して、それぞれ法線ベクトルを図示せよ。 2) 法線ベクトルの成分を書け。 3) 1)の面に関して、スカラーのdSはdx, dy, dzを使って 　どう書けるか。 4) ベクトル　　を求めよ。 5) 1)の２つの面について、　　　　　を求めなさい。 ただし 6) ６面について(1)の左辺を計算せよ。 S V

39 ここで微分の復習 39

40 微分の定義 前期の復習 教科書p.367-368 関数 の微分 引き算と割り算 Δ デルタ と読む。 Δｘ xが少し変化した量
Δ　　デルタ　と読む。 Δｘ　　xが少し変化した量 limitの略。極限、限度。 Δｘが0に近づいた時の値。 xが少しだけ変化した時に、y=f(x)がどのくらい変化するか 割合を示す。 微分の図形的意味は後のページへ。 40

41 微分の補足 前期の復習 Δxとは xの増分（＝増加した分） もし、xがΔｘだけ増えると、 がどんどん小さくなること。 とは 41

42 直線の傾きとは 前期の復習 y Δy Δｘ x 傾斜が急かどうかを表す。 42

43 曲線の傾きとは？ その点での接線の傾き。 場所によって傾きが違う。 青い点での傾き大きい 赤い点での傾き小さい 43

44 接線の傾きをどう定義するか？ 前期の復習 y=f(x) 直線の傾きを求めるには、２点必要. 44

45 接線の傾きをどう定義するか？ 前期の復習 赤い点での傾きを求めるには、 曲線上の点（黄色）との傾きを求める。 黄色、緑、青と近づけると、
赤い点での傾きに近くなっていく。 45

46 微分の図形的意味 y y=f(x) 前期の復習 f(x+Δx) 接線 f(x) x x x+Δx 青い点線の傾きが
は接線の傾きを現す。 46

47 微分の復習、終わり 47

48 偏微分の場合も同様 zについての偏微分は、

49 偏微分の場合も同様 zについての偏微分は、 limを省いて書くと、 両辺にΔzをかけて、左辺と右辺を入れ替えると、

50 ここから 連続の式

51 連続の式 問題２　ガウスの定理(1)を使って、流体に関する連続の式 流体の密度 を示せ。 流体の速度

52 問題２の解説（連続の式を導く） 流体の場合、 場所(x,y,z)だけでなく、時間tによっても違う (1)
単位時間で ある領域内の変化＝入ってくる量－出ていく量 (1) vは単位時間の変位。 面に平行な方向の流れは、出入りに関係ない。 vが外向けの時、dSとの内積がプラス。 外向けの流れで領域内の水量が減る。 流体中に仮想的な箱を 考える。 （本当の箱を置くと 流体が箱にぶつかって、 流れが乱れるので 仮想的な箱） (1)式が定義できるには、 ・定量化されている必要。ρ（密度）が定義できるか。 ・領域が定義できるか。

53 流体の密度 補足 f(x)は１変数の場合。 f of x f as a function of x ρ as a function of
x, y, z and t x, y, z, tの関数 場所(x,y,z)だけでなく、 時間tによっても違う

54 仮想的な箱でないとなぜ乱れるのか？ 本当の箱を流れの中に置くと、水は箱をよけて流れる。

55 流体の密度の解説 ある時間tにおける、ある場所(x, y, z)での密度と速度

56 左辺の意味 密度の体積積分 ＝体積内の質量全体 質量の時間変化

57 右辺の意味 密度x 速度 = 質量の流れ （単位時間に単位面積から 出る質量） kg/m3 × m/s = kg/m2s
　　　　　　　　出る質量） kg/m3 × m/s = kg/m2s 面Ｓから出る質量の流れ 次のページに図

58 ｖ方向による違い。 外 内 速度が内向けの時、 右辺の内積は負。右辺全体は正。 速度が外向けの時、 左辺で質量が増えるので正。
右辺の内積は正。 右辺全体は負。 左辺で質量が減るので負。

59 教科書p 線積分 ストークスの定理

60 積分 integration 微分 differentiation （元の意味は差別化） 「差」を取る。 積分はたし算：
　　（元の意味は差別化） 　　「差」を取る。 （元の意味は統合） 積分はたし算： 　　微小量をたくさん加える。 ・高校の数学の積分は、 　　１次元（直線上）。 ・大学では、いろいろな領域での積分 　　1) 線積分　　曲線上での積分 　　2) 面積積分　面での積分 　　3) 体積積分　立体の体積内での積分 　積分する領域によって名前が付いている。

61 積分の基本的性質 高校の数学の１次元積分では、 a b c 大学では、もっと一般的に領域の積分を考える

62 線積分 ベクトル場Ａに対して ある曲線Cに沿った 微小ベクトル を考える。 積分すると長さになる。 微小ベクトルとは。
エル。lineから 積分すると長さになる。 微小ベクトルとは。 高校の数学で、dxやΔxは勉強した。スカラーの微小量。 では微小ベクトルはどのような量か？ 　　長さが微小。方向は変わる。

63 線積分の例題 y A B C D 1 -1 x を求めよ。 (3)他の辺についても同様に積分を求め、正方形の周囲全体で を求めよ。
1 -1 問題 図のように、xy面上に原点を中心とする、 　一辺の長さ２の正方形がある。 　A=(y,-x)とする。 辺AD上で図の方向のベクトル を求めよ。 (2) 辺AD上で x を求めよ。 (3)他の辺についても同様に積分を求め、正方形の周囲全体で を求めよ。

64 ここから ストークスの定理

65 ストークスの定理 ベクトル場Ａに対して (1) Cは曲面Sの周囲 問題 微小長方形（１辺Δx, Δy)に関して、 y
後で電磁気で使います。 ベクトル場Ａに対して (1) 表面に垂直、外向きのベクトル Cは曲面Sの周囲 問題　微小長方形（１辺Δx, Δy)に関して、 　(1)式の左辺と右辺をそれぞれ書いて変形し、 　(1)が成立することを示せ。 y Δy Δx x

66 divとrotの意味 x y 1 2 回転しているベクトル場は、 　　　　が回転面に 垂直方向になる。 回転していないベクトル場は、 　　　　がゼロになる。

67 ストークスの定理の意味 面Ｓでのベクトル場の回転を ２通りの方法で表現している。 右辺 は回転を表すベクトル。 面Sの法線方向の成分
　　　　は回転を表すベクトル。 面Sの法線方向の成分 は、面Ｓでの回転を表す。 回転していない場では、 回転している場では、 　　　　　が回転面と 垂直方向になる。

68 ストークスの定理の意味 左辺 ベクトル場が回転していると、 回転していない場では、 内積が値を持つ。 経路上の微小ベクトルとの
内積がゼロになる。

69 ストークスの定理の補足 長さの単位をm（メートル）とした時に、 ストークスの定理の両辺の単位が何になるか、 説明して下さい。

70 ガウスの定理（divergence) ベクトル場Ａに対して S V (1) わきだし これがヒント。
以前見せたパワーポイント ベクトル場Ａに対して S V (1) わきだし 表面積全体の 積分 体積内の積分 これがヒント。 補足：コメント「面積積分＝体積積分が疑問」について 両辺の単位を比較してみる。 divは場所に関する微分が入っている。 両辺とも（長さ）の２乗の単位になる。

71 ストークスの定理の場合 左辺は長さの積分なので、 単位は(Ａの単位) ×m 右辺の面積積分の単位は、m2 は微分が含まれているので、
よって右辺の単位は 　　（Ａの単位）/m × m2 = （Ａの単位）×　m　になり、 左辺の単位と等しくなる。

72 ３次元極座標をやる前に 復習をします。 １．三角関数の復習（高校数学） ２．２次元極座標の復習（高校の数学Ｂ） ３．円筒座標の復習（前期）

73 三角関数の復習 高校の数学１，数学２ 図のように、直角三角形を置く。 （角度φが水平からの角度、直角部分が右下） 斜辺 垂直の辺 φ
水平の辺 高校では、角度はθ（シータ）を用いたが、 後で極座標や円筒座標と比較するために、 φ（ファイ）を使っている。

74 ２次元極座標 高校の数学３の復習 質点の位置P(x,y)を２次元極座標(r,φ)で表す。 y P(x,y) r r≧0 0≦φ＜2π φ x
２次元極座標　 高校の数学３の復習 質点の位置P(x,y)を２次元極座標(r,φ)で表す。 y P(x,y) r r≧0 0≦φ＜2π φ x 高校ではθを使うが、 後の都合でφを 使っている。

75 質問：なぜφの範囲を0からπにして、 rをマイナスも考えないか？
y ぐるっと回った時に、 rがプラスからマイナスになるのは、不連続な変化になってしまう。 rはずっとプラスにしておく。 x

76 ２次元極座標、続き y r=一定の図形　　　半径rの円 x φ=一定の図形　　　半直線 y x

77 円筒座標系（前期の復習）　　

78 点P(x,y,z)のxy平面上への射影を Qとする。 OQの長さがr, x軸からOQへの角度がφ 教科書p.2の1-1図の右 円筒座標系 z
円筒座標系　 z P(x,y,z) 質点の位置P(x,y,z)を円筒座標(r,φ,z)で表す。 y r φ Q x 点P(x,y,z)のxy平面上への射影を Qとする。 OQの長さがr, x軸からOQへの角度がφ φ(ファイ）　角度によく使う記号。 0≦φ＜2π z=0にすると、２次元極座標になる。

79 円筒座標系：大きく書くと　 質点の位置P(x,y,z)を円筒座標(r,φ,z)で表す。 z P(x,y,z) y φ r x Q

80 円筒座標系の問題　 前期の復習 問題 「r=一定」「φ=一定」「z=一定」は それぞれどのような面になるか。 それぞれ３次元空間内に図示せよ。

81 教科書p.2の1-1図の右 円筒座標　 前期の復習 z P P(x, y, z) y x Q y xy平面 Q x O

82 一定の図形　 前期の復習 z=一定 z xy面からの距離が一定。 無限に広がる平面 y x r=一定 円筒座標のrの定義に注意。 xy平面に射影した時の原点からの 距離 （つまり、z軸との距離） r=一定は、円筒の側面になる。 上下に無限に続いている。 r y x

83 一定の図形、続き 前期の復習 φ一定 φはxy面上に射影した時の、 x軸からの角度。 φ=一定の図形は、 半平面。上、下、rが大きくなる方向 には無限に広がる。 z軸の反対側には行かない。 　φの範囲は0から2π。 　反対側は違うφになる。 y x

84 参考：極座標（後期に詳しくやります。） y z P P(x,y,z) θ z r r Q y θ y x Q O Q O x x 角度が２種類必要。片方がθ、もう片方がφ。 　　-> 円筒座標の角度φと同じ測り方。 rの取り方が違うことに注意。 　　極座標では原点からの距離。 　　円筒座標では、xy面上に射影してから、原点からの距離。 極座標は球対称な場を考えるときに使う。 　　例：電荷が球状に分布している場合。

85 円筒座標を使うメリット　 ・円運動、らせん運動、円筒の 　対称性を持つ系 （例えば直線電流の周りの磁場）を 　扱いやすい。

86 ３次元極座標

87 補足 不等号 同じ意味です。 ≦ 大学ではこちらが多い。 水平線が１本。 高校ではこちら 水平線が２本。

88 ３次元極座標 教科書p.2の図1-1の真ん中の図も参照 z P(x,y,z) ある点Pの直交座標(x, y, z)と
θ P(x,y,z) x y z r Q ある点Pの直交座標(x, y, z)と 極座標(r, θ、φ）の関係 r: 点Pから原点までの距離　 θ：z軸からOPへの角度 φ：x軸からOQへの角度 （点Qは点Pをxy平面に投影した点） 問題　直交座標x, y, zと、極座標r, θ、φの関係は 以下であることを示せ。 ←不等号に注意 θは両方とも ≦(イコールあり）

89 なぜθはπまで、φは2πまでか？ θ y r θ x ２次元空間は、x,yの正負により、４つの象限に分けられる。
x ２次元空間は、x,yの正負により、４つの象限に分けられる。 ２次元極座標だと、角度は１個でよくて、0から2π。

90 なぜθはπまで、φは2πまでか？ φ z P(x,y,z) θ r y x Q
r Q φ ３次元空間は、x,y,zの正負により、８個の象限に分けられる。 角度は２個必要。１個めの角度が0から2πで平面上の回転。 ２個めはz方向の角度で、0からπでよい。 　（もしz方向も0から2πにすると、余分になる。）

91 ３次元極座標の問題 z P(x,y,z) θ r y x 問題4 ３次元空間内で、以下の図形をそれぞれ描け。 （別々の図にすること。）
y x 問題4　３次元空間内で、以下の図形をそれぞれ描け。 　　（別々の図にすること。） 　　(a) r=一定、 　　(b) φ=一定、 　　(c) θ=一定、 　　(d) r＝一定、φ=一定 　　(e) r=一定、θ=一定、 　　(f) φ=一定、 θ=一定

92 次に、３次元極座標で 体積の微小部分を求める

93 ３次元極座標 教科書p.2の図1-1の真ん中の図も参照 z P(x,y,z) θ r y x 問題１ 極座標の基本単位ベクトル を図に描け。
y x 問題１　極座標の基本単位ベクトル　　　　　　を図に描け。 　　　　　(r,θ,φが増える方向の単位ベクトル）　　　　　 問題2 体積の微小部分を３次元極座標で書くと、 　 (1) と書けることを示せ。（図を描いてみること。) 問題3　式(1)を「r≦a、φ、θは全範囲」で積分して、 　　半径aの球の体積が得られることを確かめよ。　

94 体積の微小部分とは (x, y, z)座標 z P(x, y, z) y x x,y,z方向に長さa, b, cの直方体の体積を
x x,y,z方向に長さa, b, cの直方体の体積を 積分で求めるには、

95 平面角と弧の長さ 扇形の弧の長さ=　半径x 中心角 θ r 単位はラジアン θ 半円の場合 円の場合 θ θ

96 教科書　p.229 数学編の最後： 立体角

97 平面角 立体角： 空間的な広がりを表す量 半径１の円上の弧の長さ。 θ 0から2πの範囲。 単位：ラジアン(rad) O
(高校の数学) 1 　　半径１の円上の弧の長さ。 　　0から2πの範囲。 単位：ラジアン(rad) θ O 立体角：　空間的な広がりを表す量 　中心０から半径1の球に投射した時の 　球上の面積 Ω O 単位：ステラジアン(sr) 別の表現 　点Ｏから出る半直線が、半径１の球の表面に 　切り取る面積 次のページで図解

98 立体角の図解 （球の半径が1の場合） 大きな立体角 小さな立体角 (a) (b) (c) (d) 2π<立体角<4π
立体角<2π 立体角=2π （半球の表面積） 立体角=4π （球の表面積）

99 問題： ある閉曲面上の微小面積dSの法線ベクトルnが ベクトルrとなす角をθとする。 dSが原点Ｏに対して作る立体角をdΩとする。 この時、
　　　　この時、 であることを、図を使って説明せよ。 大文字の「オメガ」 抵抗の単位として使う時は、 「オーム」とも読む。 O ω　小文字のオメガ

100 ここから、 電磁気

101 電荷とは electric charge 静電気 セーターを脱ぐ時 ドアに触った時など、 パチパチ音がすることがある。
　　セーターを脱ぐ時 　　ドアに触った時など、 　　パチパチ音がすることがある。 物体が電気を帯びている。 これを「電荷」と呼んでいる。 1C(クーロン): 1A(アンペア）の電流が１秒間に運ぶ 　　　　　　　電気の量 電子１個の電荷：　1.6 x 10-19クーロン

102 クーロンの法則 教科書p.225-226 電荷Q1からベクトルｒの位置にある電荷Q2が受ける力は、 ベクトルで書くと、 Q2 Q1 単位
動径方向の 単位ベクトル Q: C(クーロン) r: m F: N(ニュートン) 同じ符号の電荷 の時に反発力 前についている定数の値 前期に やった =9.0 x 109 N・m2/C2 真空の誘電率 「誘電」の意味は後で。

103 定理と法則の違い 定理 theorem 数学で使う。証明できる。 例：３平方の定理 ガウスの定理、ストークスの定理 法則 law
　　　　例：３平方の定理 　　　　　　ガウスの定理、ストークスの定理 法則　law 自然科学、社会学、日常用語にも使う。 　　　証明できる法則も、経験則もある。 　　　　例：電場に関するガウスの法則 　　　　　　クーロンの法則。オームの法則。

104 クーロンの法則の補足 イプシロン 誘電率の意味は後で出てきます。 今はとりあえず、何かの定数だと思って下さい。

105 MKS単位系 m(メートル), kg(キログラム）,s(秒） を使って表した単位系。 電磁気ではこれに、
C(クーロン)またはＡ(アンペア）を 加えて使う。

106 クーロンの法則（補足） 経験則（実験から発見） 18世紀後半にクーロンさんが法則として 提唱した。

107 クーロンの法則 問１ の単位を、クーロンの法則から求めよ。 m(メートル), s(秒)、kg(キログラム), C(クーロン） を使って書け。
　　補助問題：力Fの単位を、m, ｓ, kgを使って書け。 問2 ２つの電荷の間に働く力を大きくするには、 　　どうすればよいか書け。 問3 距離rを横軸にして、クーロン力のグラフを書け。 問4　xy面上の原点に正の電荷Q1を置く。 　　いろいろな点に正の電荷Q2を置いた時に、受ける力を 　　ベクトルで書け。

108 クーロン力の特徴 たんぱく質の構造：電荷のクーロン力の効果が大きい。 電荷が変わると立体構造が変わる可能性。
長距離力。 　純粋なクーロン力はかなり遠くまで行っても減衰しない。 　他の電荷で遮蔽されることが多い。（水中など） たんぱく質の構造：電荷のクーロン力の効果が大きい。 　　電荷が変わると立体構造が変わる可能性。 　（立体構造が変わると性質が変わる。） 　　例：狂牛病は、たんぱく質が正しくfold（折りたたみ） 　　　　しなくなる。 　　　　だが、なぜ正しくfoldしないかは明確ではないし、 　　　　間違ったfoldのたんぱく質を正しくする方法は 　　　　今の所ないらしい。

109 電場の定義 教科書p.227-230 電場 E ある場所に単位電荷を置いた時に、受ける力。 電荷qの粒子に作用する力は
電位　　単位電荷を無限遠から 　　　その点まで運ぶのに要する 　　　　　エネルギー 問題：閉じた曲面Sで囲まれた領域Vを考える。 　　領域V内の電荷をQとする。 であることを、クーロンの法則を使って示せ。 ヒント：電荷が１個だとして、その電荷の位置を原点にして、 　　　微小面積dSで原点への立体角を考える。

110 閉曲面の例：球の表面。 開曲面の例：球面に穴があいた場合。 閉曲面（閉じた曲面とは） 大きさが有限で、空間を切り分けるような曲面。
中に水を入れて振っても水が漏れない。 閉曲面の例：球の表面。 開曲面の例：球面に穴があいた場合。 閉曲線：閉じた曲線 　元の所に戻って来る曲線

111 いろいろな積分 閉曲線の積分（ぐるっと一周する積分）の 場合、積分記号に○を付けることがある。 面積積分の場合、２次元なので、
積分記号を２つ書く場合がある。 （省略して１個でもよい。） 体積積分の場合、３次元なので、 積分記号を３つ書く場合がある。 （省略して１個でもよい。）

112 電場に関するガウスの法則 教科書p.228の下から ガウスの法則： 積分形 問題 電荷を電荷密度 で書くと、上の式は、 ガウスの法則：
　　積分形 問題　電荷を電荷密度 で書くと、上の式は、 ガウスの法則： 　　微分形 と書けることを示せ。

113 密度とは 密度＝ ある量 体積、面積、長さのどれか 例: 人口密度＝人口/ 面積

114 いろいろな密度 電荷の場合 体積密度 （普通の密度） 単位体積当たりの量 (volume) density 電荷密度、または
体積密度　（普通の密度） 　　　単位体積当たりの量 (volume) density 　　　density per volume (2)面密度、または面積密度 　　　単位面積当たりの量 area density density per area (3)線密度 　　　単位長さ当たりの量 line density density per length 電荷密度、または 　　電荷の体積密度 単位　C/m3 電荷の面積密度 単位　C/m2 電荷の線密度 単位　C/m

115 電荷密度とは 単位体積の電荷　電荷/体積 　単位は、C/m3 　 クーロン 毎 立方メートル 電荷密度を体積で積分すると、全部の電荷になる。

116 ここから保存場の話

117 「経路によらない」とは。 英語で言うと、 does not depend on the path. 始点と終点を固定する。
どの経路をとっても、変わらない時、 「経路によらない」と言う。

118 保存場 教科書p26 一般に、あるベクトル場 の経路Ｃに沿った積分、 C が経路によらない時、 は「保存場」であるという。
一般に、あるベクトル場　　　の経路Ｃに沿った積分、 C が経路によらない時、 は「保存場」であるという。 （特に力の場合は「保存力」という。） 始点　　　と終点　　　を固定して、 経路Ｃを変化させても、変わらない場合が保存場。 保存力の例 　重力、クーロン力（後で証明） 保存力でない例：摩擦力、空気抵抗

119 保存場の問題 教科書p26 一般に、あるベクトル場 の経路Ｃに沿った積分、 C が経路によらない時、 は「保存場」であるという。
一般に、あるベクトル場　　　の経路Ｃに沿った積分、 C が経路によらない時、 は「保存場」であるという。 （特に力の場合は「保存力」という。） 問題１　保存場　　　　　の　　　　 　　　任意の閉曲線に沿った積分について、 を示せ。 問題２　クーロン場は保存場であることを示せ。

120 問題１を微分形で書くと 左辺が任意の閉曲線に対して０なら、 保存力の微分形を使った定義 問題２のクーロン力の場合
３次元極座標でrotを書いて　rotE=0を示せる。 （余裕のある人は、やってみて下さい。）

121 保存場その２ 教科書p.234 問題２により、 クーロン場は保存場なので、 の右辺は経路によらず同じになる。 したがって電位が定義できる。
特に、動径方向に経路をとり、r0=∞にとると、 あるいは、

122 電位の補足 gradは勾配（傾き）を 表す。 電位は山の高さのようなもの。 正電荷を置いた時に、電位の低い方に動く。
具体的な例を後で考える。

123 電位と電場 教科書p.234 クーロン場は保存場。 違う経路でも積分 の値が変わらない 積分値を１つの記号で書ける。 電位
　違う経路でも積分　　　　　　　　の値が変わらない 積分値を１つの記号で書ける。 電位 特に、動径方向に経路をとり、r0=∞にとると、 逆は

124 静電場の例題

125 ガウスの法則 教科書p.232, 236－237 積分は領域Vの面について。 Q:領域Vの「中」の電荷
問題　半径aの球の内部に、密度ρで一様に 　　電荷が分布しているとする。 　　この時の電場を球の外と中で求めよ。 　　電位も求めよ。グラフに示せ。 方法１：微小電荷からのクーロン力を積分する。（大変） 方法２：ガウスの法則を使う。 　　ガウスの法則は元々クーロンの法則を使っているので、 　　結果は同じになるはず。 ガウスの法則を使って計算してみて下さい。 ヒント：半径rの球内の電荷を考える。

126 ここから磁場の話

127 磁場の例 自然界 ・地球磁場 地球内部でFeやNiが溶けている。 ・宇宙磁場 生体内の磁場 電荷が動けば磁場ができる。 人間が作った電磁波
　　導電性で電流が流れると磁場を作る。　 地磁気は反転している。 　　　　過去7600万年で171回。 　　　　一番最近は70万年前。 ・宇宙磁場 生体内の磁場 　　電荷が動けば磁場ができる。 人間が作った電磁波 ・携帯電話の電磁波　　　 ・医療機器　　磁場を利用した計測。 　　　例：MRI (磁気共鳴イメージング）

128 電流とは 電流Iは、電荷Qの流れ 単位時間にどれだけの電荷が 流れるか。 単位も割り算 交通流（交通の流れ）と似ている
１分間に自動車が何台通るか。

129 電流の作る磁場 教科書p.274, 275 ビオ・サバール(Biot-Savart)の法則 I 電流の微小部分 が ある点Ｐに作る磁場は、
電流の微小部分　　　　が ある点Ｐに作る磁場は、 微小部分から点Ｐへのベクトルを 　とすると、 P 磁場の単位は、 A/m A:アンペア 問題 　電流Iが直線状に流れている時、 　　　　電流から距離bの点での磁場を ビオ・サバールの法則から求めよ。 しかし対称性を使って、もっと簡単に出す方法もある。 （次のページ）

130 参考：ビオ・サバール(Biot-Savart)の法則
フランス人の物理学者、ビオさんとサバールさんが 1820年に発見した。

131 動径ベクトルの復習 の説明 z P O y x 動径ベクトル。原点から点Pまでのベクトル。 動径ベクトルの長さ 動径方向の単位ベクトル
したがって、

132 ビオ・サバールの法則：補足 ×は外積 I 電流の微小部分 が ある点Ｐに作る磁場は、 P 微小部分から点Ｐへのベクトルを とすると、
電流の微小部分　　　　が ある点Ｐに作る磁場は、 微小部分から点Ｐへのベクトルを 　とすると、 P 磁場の単位は、 A/m A:アンペア dは微小量 ×は外積 磁場 電流 単位はアンペア[A] I 電流に沿った微小長さ 電流の微小部分から点Ｐまでの動径ベクトル

133 補助問題 を微分せよ 前ではやりません。

134 電流の作る磁場 教科書p.276-279 対称性を使う方法 アンペールの法則 ある閉曲線の周りで磁場を積分すると、
この閉曲線を貫く電流Ｉに等しい。 問題1 電流Iが直線状に流れている時、 　　　　電流から距離rの点での磁場を、 　　　　アンペールの法則を使って求めよ。 問題２　ストークスの定理を用いて、上記のアンペールの 　　　法則は、 　　　と書けることを示せ。 は単位面積を流れる 　　　電流密度。

135 ストークスの定理 （復習） ベクトル場Ａに対して Cは曲面Sの周囲 表面に垂直、外向きのベクトル

136 電場と磁場の比較 クーロンの法則 ガウスの法則 アンペールの法則 ビオ・サバールの法則 発展問題（興味のある人はやってみて下さい。）
電荷があると、電場ができる。 対称性が高い場合に 便利 アンペールの法則 ビオ・サバールの法則 電荷が動くと電流になる。 電流があると磁場ができる。 発展問題（興味のある人はやってみて下さい。） 　　前回の電荷が一様に分布した球の作る電場を、 　　クーロンの法則から（対称性を使わずに）出してみよ。

137 対称性が高い場合、低い場合 とは。 オレンジの部分に電荷が分布している 場合の電場は、クーロンの法則を使って、
対称性が高い場合、低い場合　とは。 オレンジの部分に電荷が分布している 場合の電場は、クーロンの法則を使って、 微小電荷からの電場を積分する。 対称性が低い 青い部分に電荷があるとする。 中心から距離rの点では、 電場の大きさが等しいと考えられる。 　　（対称性が高い） したがって、ガウスの法則を使って 計算できる。

138 ここから、導体と誘電体の話

139 導体 電気を通す。 例：金属 教科書p.237 + + + + - 単位はF(ファラッド)=C(クーロン)/V(ボルト) - - -
電場があると、電子がすぐ動く。 電場の中で電荷が表面に来る。 導体内の電場はゼロ。 導体面上では電位が等しい。 + + + + - 導体が電荷Qを持ち、電位Vとする。 この時QとVにQ=CVが成立し、比例係数Cを 電気容量と言う。 　　単位はF(ファラッド)=C(クーロン)/V(ボルト) - - - 表面だけに電荷 問題１：導体の表面の電荷密度がσである時、導体表面の電場は、 であることを、ガウスの法則を使って示せ。 問題２：２枚の平行な導体板でコンデンサーを作る。 　極板の面積をS, 間隔をdとする時、 を示せ。

140 コンデンサー 電荷をためておくところ。 iPhoneにも使われている。

141 絶縁体 (誘電体） 教科書p247 電気を通さない。 例：空気、大部分の物質 電場中でも電子は少ししか動けない。 中では - + - + -
　　　　例：空気、大部分の物質 　　　　電場中でも電子は少ししか動けない。 外部から見ると、表面だけに 電荷があるように見える。 （しかし誘電体のどこを切っても 同じように電荷分布している。 導体は中は電荷はいない。） 中では - + - + - + - + - + - + - + - + - + + - + - + - + - + 外から見ると 誘導分極 分極電荷：正負に分けて取り出せない。

142 分極ベクトル 教科書p247-249 方向は図のように、 負の電荷から正の電荷に向かう方向 大きさは、表面電荷σに等しい。 + -
分極方向の 単位ベクトル 多くの場合、分極ベクトルは電場に比例（同じ向き） 真空の誘電率(クーロンの法則で 　　出てきた） 電気感受率（無次元量） electric susceptibility →　英単語：感受率、分極

143 導体の間に誘電体をはさむ 教科書p.250までの部分 真空の時 V V 誘電体の時、電圧Vは真空中と同じ。
従って、電場Eも真空中と同じ。電荷が異なる。 極板上の電荷をQ, 誘電体の分極電荷を-Q’ とする。電場EはQ-Q’によって作られる。 -Q’ Q’ -Q - Q + + - + - + - + - - + - + 面密度で、 + - + - 誘電分極で とおく。電束密度と言う。

144 電束密度 Dに対する ガウスの法則 領域内の 真の電荷 とおくと 誘導電荷も 含む 電気感受率の値 水 80 微分形 ベンゼン 1.2
水　80 ベンゼン　1.2 CO x 10-4 微分形 水の話は電気伝導の所でまたします。 純水と不純物が入った水の違い。

145 磁場の空間変化と電流の関係 教科書p.297から 既に見たように、 アンペールの法則の微分形 定常電流の周りの磁場。
電流が定常でない場合。空間のある部分で 電荷がたまることがある。この場合は、 電束密度 マクスウェル方程式の１つ。 　使い方は後でやります。

146 電気抵抗 教科書p.255-256 電荷の時間変化 導体に流れる電流Iと電位差Vは比例する。(オームの法則)
電荷の時間変化　 導体に流れる電流Iと電位差Vは比例する。(オームの法則) I: 電流.単位はA =C/s（秒) V: 電圧.単位はV （ボルト） R: 抵抗　単位はΩ(オーム) 長さℓ、断面積Sの針金の場合、 ρ：抵抗率　（物質によって違う） σ=1/ρ：　電気伝導率 Rの逆数を電気伝導度と言う。 Ωの逆数1/ΩをS(シーメンス）と呼ぶことがある。 電流密度 (単位面積を流れる電流） を使って書くと、 後でマクスウェル方程式と一緒に使う。 英単語　→　抵抗

147 電位と電場 電位　　単位電荷を無限遠からその点まで運ぶのに要する 　　　　　エネルギー 電場が一定だとすると、 とおくと、 電位差 距離

148 問題 問題１ 抵抗率の単位を求めよ。 問題２ 電気伝導率の単位を求めよ 問題３ を示せ。 ρ：抵抗率 σ=1/ρ： 電気伝導率 電流密度
問題１　抵抗率の単位を求めよ。 問題２　電気伝導率の単位を求めよ 問題３　　　　　　　　を示せ。 ρ：抵抗率　 σ=1/ρ：　電気伝導率 電流密度 (単位面積を流れる電流）

149 補足：単位の話　 （勉強レポートの内容から） divもrotも微分が入っている。 なぜ微分の単位が割り算になるかは、微分の定義のため。

150 補足：単位の話　その２ 電位 φの単位　= E（電場）の単位　x m(メートル）

151 ここから、 磁性体の話

152 磁極に作用する力 教科書p.264 「磁極」Qm が磁場H中にある時、作用する力は、 電場中の電荷に似ている。 磁極 Wb (ウェーバー)
磁場 A/m しかし電荷と違い、片方の符号の磁極を 単独では取り出せない。

153 磁極に作用する力 教科書p.265 の間に作用する力は、 ２つの磁極 磁荷 真空の透磁率 より、磁極の作る磁場は、
２つの磁極　 磁荷 真空の透磁率 より、磁極の作る磁場は、 電場の場合と同様に、ガウスの法則が成立する。

154 磁位 教科書p.266 一番上の行 無限遠からある場所Pまで単位磁極を運ぶのに 要する仕事。 あるいは、

155 磁気モーメント 教科書p.265, 266 磁極 があり、 と の位置から までの ベクトルを とする。
ベクトルを とする。 を磁気モーメントという。　単位：Wb・m 問題：　磁気モーメントmが磁場H中に、 mとHのなす角θで置かれた時、 　　　磁気モーメントの受ける力のモーメントを求めよ。 を一定にしたまま、dを小さくした極限を 磁気双極子と呼ぶ。

156 磁性体 教科書 p.267 磁場の中に入れると、磁場と相互作用する物質。 電場の中の誘電体と似ている。 磁化 単位体積あたりの磁気モーメント
磁化　 単位体積あたりの磁気モーメント 単位：Wb/m2 は　磁場と同じ方向。 多くの磁性体で χm：帯磁率　 magnetic susceptibility　

157 磁束密度 教科書p.269下-p.270 が成立するような物質では、 透磁率 permeability 真空の透磁率

158 磁束 教科書p.285 磁束密度 磁化 磁場 ある断面積を通るBを積分したものを、 磁束と呼ぶ。 単位はWb(ウェーバー）

159 電磁誘導 教科書p.286 ある閉回路の中を通る磁束 が時間的に変化する時は、 変化の速さに比例した起電力が生じる。 ファラデーの
ある閉回路の中を通る磁束　　が時間的に変化する時は、 変化の速さに比例した起電力が生じる。 ファラデーの 電磁誘導の法則 磁場の中で閉回路を 回転させると、 閉回路を貫く磁束が 変化して起電力が 生まれる。 例：自転車のライト 問題　微分表示で上の式は、 と書けることを示せ。 ヒント：ストークスの定理を使う。

160 レンツの法則 補足パワポ 電磁誘導で流れる電流の向きは、 その電流の作る磁場が、 誘導の原因となった磁場の変化に さからうように生じる
教科書p.286 補足パワポ 電磁誘導で流れる電流の向きは、 その電流の作る磁場が、 誘導の原因となった磁場の変化に さからうように生じる

161 なぜ、磁束は常微分で、磁束密度は偏微分か？
磁束密度は、場所と時間の関数 他の変数もあるので、 時間についての微分は偏微分になる。 （偏微分：２変数以上の関数を 　　１つの変数で微分する） 磁束密度を面積について積分すると、 時間だけの関数となる。 したがって、時間に関する微分は普通の微分。

162 マクスウェルの方程式 教科書p.299-302 電磁誘導 アンペールの法則 ガウスの法則 （クーロン則を使う） 単独磁荷はない。
　　磁場が変化すると、 　　　電場ができる。 アンペールの法則 　電流や電束密度の時間変化 　で磁場ができる。 ガウスの法則 　（クーロン則を使う） 単独磁荷はない。 は物質によって値が違う。 時間変化しない場合は、静電場か静磁場を考えればよい。 時間変化する場合は、電場と磁場の両方を考える必要。

163 電磁波の話

164 マクスウェルの方程式 電磁誘導 アンペールの法則 ガウスの法則 （クーロン則を使う） 単独磁荷はない。 は物質によって値が違う。
　　磁場が変化すると、 　　　電場ができる。 アンペールの法則 　電流や電束密度の時間変化 　で磁場ができる。 ガウスの法則 　（クーロン則を使う） 単独磁荷はない。 は物質によって値が違う。 時間変化しない場合は、静電場か静磁場を考えればよい。 時間変化する場合は、電場と磁場の両方を考える必要。

165 電磁誘導の応用 金属探知機（空港で飛行機に乗る前） 弱い磁場の中を荷物を通す。 もし金属があれば、磁場を切るので、電流が流れる。
その電流を探知する。 9.11事件以降、パイロットは、ハイジャッカーの 言う通りにしなくてよいことになった。 それまでは、犯人が言う場所に連れて行けば、 乗客の安全が守られることが多かった。 金属探知機だけでは、9.11の犯人は見つけられないが、 初歩的なハイジャッカーを探すことはできる。 参考：Physics for Presidents 　　翻訳は『今この世界を生きているあなた 　　のためのサイエンス』

166 電磁波に関する問題 教科書p.302-305 一様な媒質中を伝わる電磁波を考える。 電磁波の進む方向をz軸とする。
E,D,B,Hの各成分は、zとtだけの関数で、x,yにはよらない。 媒質中には電荷も電流もないとする。 マクスウェル方程式を成分で書き、 電磁波は横波である（電場、磁場のz成分が0になる） 　　ことを示せ。 2) 次の微分方程式が導かれることを示せ。 　　　　　　　　（波動方程式） 3) とおく時、 の関数形が2)の微分方程式の解になっていることを確かめよ。 4) Eがx方向の時、Hがy方向であることを示せ。

167 縦波と横波 動画のサイト http://www.asahi-net.or.jp/~zn6t-szk/physics/sin1.html
上が横波、下が縦波。 赤い部分に着目する。

168 問３の補足 は波になる。

169 電磁波の続き の測定値から、 特に真空中で を求めると、光速度の測定値に一致することが知られている。 光も電磁波も横波であることと合わせて、
「光は電磁波である」とマクスウェルは考えた

170 電磁波のイメージ 電場や磁場は、電磁波の進行方向に垂直な方向に 振動している。 進行方向 電場が大きくなる場所を追うと、
進行方向に進んでいく。

171 電荷が磁場から受ける力 教科書p.271 電荷 磁束密度 ×は外積 電荷の速度 問１ 両辺の単位が等しくなることを確かめよ。
問１　両辺の単位が等しくなることを確かめよ。 問２　運動方程式を書け。 問３　運動方程式をx,y,z成分で書け。 　　　　磁場はz方向とする。 問４　運動方程式を解いて、速度と座標の 　　　時間変化を求めよ。 　　　xy面内で円軌道になることを示せ。

172 電荷が電場から受ける力 電荷 電場 電場の定義の所でだいぶ前に出てきた。 電場と磁場の両方ある所では、 前ページの力を加えて、 磁束密度
電荷の速度 この力を「ローレンツ力」と呼ぶ

173 ベクトル積（外積） 前期の復習 ベクトル のなす角をθとする。 ベクトル積 は、 ベクトル に垂直で、 大きさは のベクトルである。
ベクトル　　　　　のなす角をθとする。 ベクトル積　　　　　　は、 　　ベクトル　　　　に垂直で、 　　大きさは　　　 のベクトルである。 θはAからBに向けて測り、右ねじのしまる(進む）向きを ベクトル　　　　　　の向きとする。 問１． に対して、 の成分表示 を示せ。

174 前期の復習 成分の覚え方 ① ② ③ 第１成分 ①

175 三角関数の微分 前期の復習

176 グラフを使った説明 前期のパワポ 「微分は接線の傾き」を使う。 y 1 x π 2π ・原点でsinxの傾きは１．cos xの値も１．
・原点でsinxの傾きは１．cos xの値も１． ・sinxの頂上(x=π/2)で傾きは０．cos xの値も０

177 微分方程式の問題 前期の復習 微分方程式： 関数の微分を含む式 例： いろいろな関数の微分を知っていれば、
微分方程式：　関数の微分を含む式 例： いろいろな関数の微分を知っていれば、 微分方程式を解くことができる（場合もある。） 問題　次の微分方程式を解け。 (1) (2) (3) (4) (5) (6)

178 (6)の補足 合成関数の微分 前期のパワポ 教科書p.369 例 の微分を求めたい時、 とおくと、

179 バネの運動方程式 前期のパワポ 例１：強さkのバネに質量mのおもりがついている場合、 バネの、伸びxに比例した力F=-kxで
　　縮ませようとする力が働く。 壁 x したがって運動方程式は、 (tは時間） 問題１ 上の微分方程式を解いて、運動を求めよ。　 （意味：xをtの関数として求めよ。）

180 単振動の角振動数と周期 前期のパワポ sinφのφの部分を「位相」と呼ぶ。単位はrad(ラジアン） ωは角速度または角振動数と呼ばれる。
　単位はrad/s。単位時間当たりに何rad進むかを表す。 sin関数の周期は2π(=360°)。 1周するのに必要な時間を周期と呼ぶ。Ｔとおくと、

181 質量分析計の原理 磁場の中に荷電粒子を一定速度で入れると、 荷電粒子は曲がる（円運動をする）。 円運動の半径は、質量/電荷 に比例する。
マクマリー 『有機化学（上）』第8版、 12章、構造決定 質量分析計の原理 磁場の中に荷電粒子を一定速度で入れると、 荷電粒子は曲がる（円運動をする）。 円運動の半径は、質量/電荷　に比例する。 分子Mをイオン化する。 　（高エネルギーの電子をぶつけると、 　　分子から価電子がはじきだされる。 磁場で曲げる 検出する　90度程度でよい 　　　　　（１周の円にする必要はない）

182 ローレンツ力を用いて電磁誘導の法則を導く
磁場の中で電子が動く。 　↓ 電流が流れる 起電力ができると考える。

183 電磁誘導 教科書p.286 ある閉回路の中を通る磁束 が時間的に変化する時は、 変化の速さに比例した起電力が生じる。 ファラデーの
ある閉回路の中を通る磁束　　が時間的に変化する時は、 変化の速さに比例した起電力が生じる。 ファラデーの 電磁誘導の法則

184 交流発電機の原理 B 長方形に曲げた針金を 一定の磁場Hの中で、 A 一定の角速度ωで回転させる。 C D
BCと磁場(x軸方向）のなす角をθ=ωtとする。 図の法線ベクトルnは、 D y B 磁束密度はx方向なので、 θ x C 面積内のどこでもBやθは一定なので、

185 交流発電機の原理 B 右下の図の位置で、 A 針金AB内の荷電粒子を考える。 磁場はx方向で、(B,0,0) AB内の電子の方向は、
　(-sinθ,cosθ,0) すると、 A D y B θ x C 正の荷電粒子１個が受ける力は、Z方向(BからAに）、qBcosθ。

186 相互インダクタンス ２つのコイルがあるとする。 コイル１を流れる電流 が コイル２に作る磁束を とおくと、比例する。
コイル１を流れる電流 　が コイル２に作る磁束を　　とおくと、比例する。 　（ビオサバールやアンペールの法則で電流と磁場は比例） が時間的に変化するとき、 も変化する。 電磁誘導の法則より、 を相互インダクタンスと呼ぶ。

187 自己インダクタンス コイルが１個の場合でも、 流れる電流が変化 →磁場が変化 -> 電磁誘導で起電力 -> 電流が変化する。
流れる電流が変化　→磁場が変化　-> 電磁誘導で起電力 　-> 電流が変化する。 自己インダクタンス　または単に　インダクタンス インダクタンスの単位： 　　Ｈ：　ヘンリー 問題　インダクタンスの単位　H（ヘンリー）を、 　kg, m, s, Cで表しなさい。

188 単位の補足：アンペア(A)とクーロン(C)
相互の関係 電荷Ｑの時間変化が電流I Ａ＝Ｃ／ｓ　　Ｃ＝Ａ・ｓ SI単位系では、アンペア（A)が基本単位に入っている。 　理由：電流の方が測定しやすい。 概念的には、クーロンの方が理解しやすい。 試験では「○○で表せ」と指定された方に 変換できるようにしておく。

189 相互インダクタンス ２つのコイルがあるとする。 コイル１を流れる電流 の作る磁束を と おくと、比例する。
コイル１を流れる電流 　の作る磁束を　　と おくと、比例する。 　（ビオサバールやアンペールの法則で電流と磁場は比例） が時間的に変化するとき、 も変化する。 電磁誘導の法則より、 を相互インダクタンスと呼ぶ。

190 電気回路 直流回路 direct current 電流の流れる方向が一定 交流回路 alternating current
　電流の流れる方向が一定 交流回路 alternating current 　電流の流れる方向が時間とともに変わる

191 抵抗と電源の作る回路 オームの法則： 　　電圧＝抵抗×電流 起電力　V(ボルト) 電流 A(アンペア） 外部抵抗　 電池の内部抵抗 Ω（オーム）

192 電力の導出 問題２により、 クーロン場は保存場なので、 から、 右辺は仕事の定義。電位差をＶとすると、 電圧が一定だとする。

193 消費電力 教科書 電力＝電圧ｘ電流 電力の単位 　　W(ワット）= V(ボルト）× A(アンペア） 単位時間あたりのエネルギーを表す

194 電気回路 直流回路 direct current DC 電流の流れる方向が一定 例：乾電池で動く懐中電灯
　電流の流れる方向が一定 　　　例：乾電池で動く懐中電灯 交流回路 alternating current　　AC 　電流の流れる方向が時間とともに変わる 　　　例：家庭のコンセントに来ている電気

195 交流発電機の原理 B 長方形に曲げた針金を A 一定の磁場Hの中で、 C 一定の角速度ωで回転させる。 D
BCと磁場(x軸方向）のなす角をθ=ωtとする。 図の法線ベクトルnは、 y B 磁束密度はx方向なので、 θ x C 面積内のどこでもBやθは一定なので、 問題　電磁誘導の法則を使って、起電力を求めよ。

196 ここから 電力の話

197 電力 ワット=ボルト×アンペア 電圧と電流の積を「電力」と呼ぶ。 単位は、 Ｗ＝Ｖ×Ａ 問題 電力の単位は、時間あたりのエネルギー
　　Ｗ＝Ｖ×Ａ 　　ワット=ボルト×アンペア 問題　電力の単位は、時間あたりのエネルギー 　の単位と一致することを示しなさい。　

198 実効値 交流 コンセントに書いてある「100V」は、 のことではない。 実効値 を表示する理由：、 最大値はめったにとらない。
2) 最大値はずれやすい。苦情が出やすい。 3) 電力の平均値との関係（後で見ます）

199 交流電流の実効値 交流 電気製品に書いてある「２Ａ」（アンペア）などは、 のことではない。 実効値

200 交流の電力 問題 交流電圧と電流が である場合、 電力の時間変化の式を書きなさい。 (2) グラフを書きなさい。
(3)電力の平均値を求めなさい。

201 ここから 交流回路

202 抵抗と交流回路 Ｓ オームの法則 問　抵抗を流れる電流は、どのような 　時間変化をするか。

203 コンデンサーと交流回路 Ｓ コンデンサーの 電荷＝電気容量×電圧 電流と電荷の関係
問　コンデンサーを流れる電流はどのような時間変化をするか。

204 コイルと交流回路 電流が変化すると、 起電力ができる。 インダクタンス 問　コイルを流れる電流はどのような時間変化をするか。