気体の熱的挙動 KANO 気体の挙動.

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1 気体の熱的挙動 KANO 気体の挙動

2 用語の定義（１）：仕事，熱 仕事 熱 断熱過程 力ｘ移動距離， 1 J = 1 N・m 温度差のある物体間を移動するエネルギー
水1ccの温度を1度上昇させる熱：約1 cal～4.2J 断熱過程 外部からの熱の出入りがない KANO 気体の挙動

3 用語の定義（２）：内部エネルギー 内部エネルギーとは、物体が持つエネルギーからその力学的エネルギーを引き去った部分
物体が熱を吸収して温度が上昇すると 　　内部エネルギーが増加する 物体が外部から仕事をされて運動しなければ 力学的エネルギー　＝　運動エネルギー＋位置エネルギー 運動エネルギー　＝　質量×速度の２乗÷２ 重力の位置エネルギー＝質量×重力加速度×高度差 KANO 気体の挙動

4 気体の断熱膨張と 内部エネルギー変化（１） 仕事をしながら断熱的に膨張したとき 内部エネルギーを用いて外部に仕事をする
膨張して外部に仕事をすると、気体の温度が下がる 　　→　内部エネルギーは 　　　　　温度で変わる シリンダー内の圧力と、おもりが押す力とがつり合う おもりを取り去ると，新しい平衡点へピストンが移動する ピストン（したがって気体）は仕事をする 移動する前後で，気体は全体として静止（運動エネルギーは 変化しない）．図の縦型のピストンだと，実は気体の位置エネ ルギーはわずかに変化するが，気体の質量が非常に小さい ため，位置エネルギーの変化も無視できる．こうして気体の 内部エネルギーだけに注目すればよいことがわかる KANO 気体の挙動

5 気体の断熱膨張と 内部エネルギー変化（２） 真空中に膨張させても、壁は移動していなので、気体は外部に仕事をしない
希薄なら気体粒子間に力が作用しない，この膨張過程では気体の内部に対しても仕事しない 内部エネルギーが変わらないので温度も変わらない 真空容器中で気体を膨張させる 気体が希薄なら温度は下がらない KANO 気体の挙動

6 気体の内部エネルギー 希薄な気体の内部エネルギー 内部エネルギーの実体は？ 温度だけで決まる シリンダー内の気体の量で決まる 気体分子運動論
統計力学 KANO 気体の挙動

7 気体の等温過程と 仕事に変わった熱 等温 外部にした仕事 内部エネルギーが不変 熱源から取り出した熱エネルギーと等しい
ピストンがわずかに上昇して仕事をする 内部エネルギーがわずかに減少 温度がわずかに下がる 温度差が生じて熱源から熱が流入する 温度が熱源と同じになる 内部エネルギーが回復する 等温 内部エネルギーが不変 外部にした仕事 熱源から取り出した熱エネルギーと等しい KANO 気体の挙動

8 用語の定義(3):圧力 圧力 単位面積あたりの力 地球大気による圧力～105Pa 分子運動論 Pa（パスカル）=１N/m2 水銀柱で78cm
分子が壁に当たって跳ね返るときの運動量変化 KANO 気体の挙動

9 気体の熱膨張と絶対温度 気体温度計 Kelvin温度（絶対温度） 温度上昇：定圧で膨張
実験：温度をセ氏で表すと、希薄な気体の熱膨張率は気体の種類によらず 約1/273 Kelvin温度（絶対温度） セ氏温度と同じ目盛りの間隔 ０℃～273 K KANO 気体の挙動

10 希薄な気体の状態方程式 状態方程式 P V = n R T Boyl（1660） V ∝ 1/P 一定温度で気体の体積は圧力に反比例する
Charles(1787) ΔV ∝ΔＴ 一定圧力で気体の体積の増加は温度上昇に比例する Avogadro(1811) 仮説：同じ温度と圧力のもとで，すべての気体は同じ体積に同数の分子を含む 希薄な気体 １モル 水素原子1モルあると約1グラム ～ 6.02 x 1023個のあつまり 1モル，１気圧，0℃で 22.4リットル～22.4/1000 m3 種類によらず 状態方程式 P V = n R T 気体の量　n （1モル） 温度 T (０℃ = 273 K) 圧力 P (１気圧 = 1013 x 100 N/m2) 体積 V (標準体積 = 22.4 x 10－3 m3) R = PV/T = 8.3 J / (モル K) KANO 気体の挙動

11 希薄な気体の内部エネルギー 気体分子運動論の初歩
衝突の頻度を考える。 十分に長い時間　T　 でみると、1個の粒子 が一方の壁と衝突す る回数がT/(2t)となる。 粒子はN個あるので、 T　の間に生じる衝突 回数は NＴ/(2t) であ る。 　つぎに、衝突で生じ る運動量の変化につ いて考える。１回の衝 突ではΔpxだけ粒子 の運動量が変わるか ら、Tの間には気体全 体としてこの壁から受 ける力による運動量の 変化が「Δpx・衝突回 数」となる。 　時間T内に Δpx・NT/(2t)だけ 運動量の変化が起き るのだから、それを起 こした力は、運動量変 化を時間で割り Δpx・N/(2t)である。 気体が受けたこの力 の反作用は、気体が 壁を押した力である。 希薄な気体 大きさが無視できるN個の粒子が互いに独立に運動 相互作用エネルギーなし 単原子分子のとき 　　　全エネルギー 　　＝ 内部エネルギー 　 ＝ 粒子の運動エネルギーの総和 計算の要点 圧力＝容器壁と粒子の衝突 1回の衝突による運動量変化 力＝単位時間内の全運動量変化 S Lx KANO 気体の挙動

12 熱容量，比熱 理科年表 KANO 気体の挙動

13 定義（４）：定積モル比熱 CV dQ = CV dT １モル物質の体積を一定に保ち加熱 吸収した熱量dQと温度上昇dTの比
１モル物質の体積を一定に保ち加熱　 吸収した熱量dQと温度上昇dTの比 dQ = CV dT 熱を注入すると，すべて内部エネルギーになる CVは温度上昇にともなう内部エネルギー増加を表す比例係数 KANO 気体の挙動

14 定義（５）：定圧モル比熱 CP 物質１モルに加える圧力を一定に保ち加熱 CP はCV より大きくなる
注入した熱は，温度上昇による内部エネルギー増加だけでなく，体積増加による外部への仕事となる dQ = CV dT ＋ P dV = CＰ dT CP はCV より大きくなる 底面積Ｓのピストンが微小な距離ｄｘ だけ動いたことで気体の体積が dV = S dxだけ変化したとする。 圧力Ｐは、ピストンの底面に加わる 力Fを底面積で割ったもの P = F/Sで ある。P dV = (F/S)(S dx) = Fdx となりピストン気体から力Fをうけなが らdx移動したのだから、気体はピス トン（を通じて外部）に仕事 F dx = P dVをしたことになる。 KANO 気体の挙動

15 定義（６）：比熱比 CPとCV の関係 １モルの希薄な気体を定圧で加熱する.状態方程式 Ｐ＝一定でＰＶ=RT の微分 比熱比
内部エネルギーの構成によりγが異なる 運動エネルギー，振動エネルギー，回転エネルギー，… CPとCV の関係 １モルの希薄な気体を定圧で加熱する.状態方程式 Ｐ＝一定でＰＶ=RT の微分 →　P dV = R dT 前ページの結論　P dV = (CP - CV) dT →　CP　= CV + R KANO 気体の挙動

16 比熱比 理科年表 KANO 気体の挙動 単原子分子 ：f=0，γ=5/3 2原子分子 回転 ：ｆ＝２, γ=7/5
　単原子分子 　　：f=0，γ=5/3 　2原子分子 回転 　　：ｆ＝２, γ=7/5 　　回転＋振動　：ｆ＝2＋2，γ=9/7 理科年表 KANO 気体の挙動

17 気体の断熱変化 P 等温変化 V 断熱変化 希薄な気体を断熱的に膨張・圧縮すると圧力や温度はどう変化するか？
eを底とする対数を ln と書くこと にしよう。記号「ｌｎ」はログ・ナチュ ラルすなわち自然対数。基本的な 積分の式： ∫dx/x = ln |x| + 定数 ここで、変数はxでなくてもよい： ∫df/f = ln|f| +　定数 f→T また f→Vとして(T,Vは正 だから絶対値記号を取り去って) (C/R) ln T = - ln V + 定数 を得る。 気体の断熱変化 希薄な気体を断熱的に膨張・圧縮すると圧力や温度はどう変化するか？ 断熱変化で仕事をすると温度が変わる 温度変化による内部エネルギー変化　＝　CV　ｄＴ 内部エネルギー変化＝外部にした仕事 CV dT = - P dV 外に仕事をするとき，ｄＴ＜０，また体積が増えるのでＰ ｄＶ＞０ 状態方程式(PV=RT→P=RT/V）を用いる Ｐ ｄＶ　= (R T/V )dV　=RT dV/V CV dT = －P dV = －R T dV / V → (CV / R) dT / T = －dV / V γ=1+2/(3+f) 　ｆ：　分子の内部運動の自由度 　単原子　f=0，γ=5/3 P 等温変化 断熱変化 V KANO 気体の挙動

18 P-Vダイアグラムと仕事 力ｘ移動距離 圧力×体積変化 仕事を計算する方法 ピストン・シリンダー 力＝圧力×断面積
移動距離×断面積＝体積変化 圧力×体積変化 P 面積＝１サイクルで 外部にした仕事 回転方向に 注意 面積＝ 外部にした仕事 ↑の向きに注意 外部からされた仕事 V KANO 気体の挙動

19 カルノーサイクル(1) 希薄な気体による動作
熱源：高温（TH）と低温（TL） TLで等温圧縮(isothermal) VC→VD 熱放出＝仕事をされる THまで断熱圧縮(adiabatic) VD→VA 内部エネルギー増加＝仕事をされる THで等温膨張 VA→VB 熱吸収＝仕事をする TLまで断熱膨張 VB→VC 内部エネルギー減少＝仕事をする （VC　，TL） （VD　，TL） （VA　，TH） （VB　，TH） TL TH |QH| |QL| KANO 気体の挙動

20 カルノーサイクル（２） 効率 エンジンに流入した正味の熱量を計算する 等温＋断熱過程の1サイクルでエンジンが外部にす る仕事を計算する
熱の出入は等温過程で起きる 希薄な気体の等温過程は内部エネルギー不変 流入出した熱量は等温過程でした正味の仕事と一致 等温＋断熱過程の1サイクルでエンジンが外部にす る仕事を計算する 熱と仕事をあわせたエネルギー保存法則（第一法則） 気体が吸収した正味の熱量と外部への仕事が一致 エンジンの効率の定義 高温の熱源から吸収した熱の何％を仕事にしたか 熱源：高温（TH）と低温（TL） THで等温膨張:VA→VB TH からTLまで断熱膨張:VB→VC TLで等温圧縮:VC→VD TL からTHまで断熱圧縮:VD→VA KANO 気体の挙動

21 カルノーサイクル（３） 「可逆」の条件 熱源との熱平衡 変化は準静過程 熱源との温度差なし
実際の熱伝導には温度差が必要 温度差があるのに仕事をしない熱伝導 熱源との熱の出入りを０に近づけ，無限の時間をかける 変化は準静過程 釣り合いを保ちながらピストンを移動 実際にピストンが動き出すには不均衡が必要 均衡のとき外部へ及ぼす力が最大（しかし動かない） 無限の時間をかける 内部エネルギーを使ってできる最大の仕事 KANO 気体の挙動

22 参考：実在気体の状態方程式 排除効果による体積変化 圧力： 両者ともに分子間の引力で減少する 液体ー気体の相転移
bnだけ自由な空間の体積が減少 P=nRT/(V-bn) 圧力： 壁との衝突頻度 壁に与える力（衝突時の運動量） の積である 両者ともに分子間の引力で減少する -a(n/V)2 Tc 液体ー気体の相転移 KANO 気体の挙動