〜 「バネ力学を用いた正二十面体測地線格 子の改良(Tomita et al, 2001)」

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1 〜 「バネ力学を用いた正二十面体測地線格 子の改良(Tomita et al, 2001)」
正二十面体格子大気モデル IGModel プロジェクト 〜 「バネ力学を用いた正二十面体測地線格 子の改良(Tomita et al, 2001)」 神戸大学 地球および惑星大気科学研究室 M1 河合　佑太 2011/07/14 大気セミナー

2 目次 はじめに バネ力学を用いた正二十面体格子の改良 まとめ Williamson(1992) の標準実験による改良された格子の評価
スペクトルモデルと格子点モデルについて 正二十面格子モデルの歴史 従来の正二十面体格子モデルの問題点 IGModel プロジェクトとは バネ力学を用いた正二十面体格子の改良 Williamson(1992) の標準実験による改良された格子の評価 非線形帯状地衡流の全球定常状態の実験 コンパクトサポートを持つ非線形帯状地衡流の定常状態の実験 まとめ

3 全球モデルにおけるスペクトル法と格子点法
はじめに 全球モデルにおけるスペクトル法と格子点法 正二十面体格子モデルの歴史 従来の正二十面体格子モデルの問題点 IGModel プロジェクトとは

4 全球モデルにおけるスペクトル法と格子点法 1
球面上において, 大気・海洋の現象を記述する偏 微分方程式を解く方法はたくさんある. 例) スペクトル法と格子点法 . 大気循環モデルでは歴史的に, スペクトル変換法がよく 用いられてきた. スペクトル法のメリット・デメリット ○ 通常の格子点法と比較したときの数値精度の良さ. ☓ 高解像度の場合, ルジャンドル変換の計算コストが高い. ☓ 高解像度の場合, 並列計算に伴うデータのノード間通信コストが高い. ☓ ギブス振動, 負にならないスカラ量の取り扱い.

5 全球モデルにおけるスペクトル法と格子点法 2
上のスペクトル変換法の問題から, (静力学平衡が成り立たないほど)高 解像度の大気大循環モデルの力学コアを開発するにあたって, 近年は 格子点法を採用する流れがある. 格子点法における極問題 緯度経度座標では, 極付近で時間ステップを大きく取れない(CFL 条 件). 極問題の解決法の一つが, 準一様格子を採用することである. 緯度経度座標において, 格子点の密度を調整(Kurihara, 1965). 立方格子, 正二十面格子といった多面体格子の使用.

6 正二十面体格子モデルの歴史 最初の研究は, Williamson(1968)やSadourny et al(1968)に始まる.
その後, いくつかの研究グループによって研究 が進められたが 「波数 5 問題」に苦労してい た. 90 年代後半から, 再び注目され始めた. 極問題の根本的な解決. ベクトル化・並列化の容易さ. とりわけ正二十面格子は, 一様性・等方性が良 い.

7 従来の正二十面体格子モデルの問題点 解像度を上げた際に, 数値解が期待される精度 を保って厳密解に収束しない.
解像度を上げたにもかかわらず精度がむしろ悪化する場合さえ ある(Stuhne and Peltier, 1999). 修正を施さない正二十面格子を用いた場合, 空間微分の精度が 良くない(Heikes and Randall, 1995). 彼らは, 格子を修正することでその誤差を最小化した.

8 従来の正二十面体格子モデルの問題点 その結果.. Tomita, et al(2001) はそれらの問題を解決した.
バネ力学を用いた正二十面体格子の新たな修正法を考案した. その格子を用いた浅水モデルを開発. その結果.. Arakawa-A 型格子の使用に起因する組織的な格子ノイズの減少 高い数値精度と（時間積分に対する）安定性

9 IGModel (Icosahedral Grid Atmospheric Model) プロジェクトとは
正二十面体格子を用いた全球大気大循環モデルを 開発している. NICAM(Nonhydrostatic Icosahedral Atmospheric Model) の開発歴史が教科 書 Tomita, et al(2001); Tomita and Satoh(2002); Satoh(2002); Tomita and Satoh(2004) … 地球流体電脳倶楽部上でプロジェクトを展開 電脳製品(主に gtool, GPhys )を活用する. dcmodel の開発スタイルの良い面を踏襲する.

10 バネ力学を用いた正二十面体格 子の改良

11 正二十面体格子(STD-grid)生成法
正二十面体の各面の三角形の ４ 辺の中点を計算し, それらの中 点を球面上へ射影する それぞれの中点を測地線で結ぶ. 結果, １ つの三角形から 4 つ の三角形が生成される. この処理を目的の解像度まで再帰的に繰り返す. (この繰り返し 回数を glevel と呼ぶ. ) 分割レベル0 分割レベル2 分割レベル4

12 微分演算子の離散化方法 微分演算子の離散化には, 有限体積法を用 いる. 発散演算子 回転演算子(鉛直成分) 勾配演算子
STD-grid のコントロールボリューム(Tomita et al, 2001 の Fig 2). コントロールボリュームの頂点は, 近傍格子点の重心にとる. bi : 点 Pi と点Pi-1 間の測地距離 ni : 辺 PiPi-1 の法線ベクトル mi : 辺 PiPi-1 の接ベクトル A(P0) : 格子点 P0 のコントロールボリュームの面積 k : 格子点 P0 の接平面の法線ベクトル

13 格子の修正 １ 格子点 P0 の位置をコントロールボ リューム(Control Volume: CV)の重 心に移動させる. (STD-GC-grid と呼ぶ) STD-grid に対して, 微分演算子に対する精度が 向上する. この特性は数学的に証明される. 特に, 局所的な誤差が大幅に改善さ れる. STD-GC-grid の格子点とコントロールボリューム(Tomita et al, 2001 の Fig 3). コントロールボリュームの頂点を, 近傍格子点の重心にとり, さらに格子点をコントロールボリュームの頂点に置き直す.

14 しかし, 依然として格子の三角形端に沿って大 きな微分演算子の数値誤差が発生する.
STD-GC-grid の問題点１ しかし, 依然として格子の三角形端に沿って大 きな微分演算子の数値誤差が発生する. Glevel 1 の境界で主な誤差が発生する. 再帰的な格子生成と関係して, 各 glevel の境界 で誤差が継承されてしまう. この誤差分布（フラクタル構造）は, 時間積分 を行う際に組織的なグリッドノイズを生じさせ る. この誤差の原因は, 格子が一様に分布していな いことに起因する.

15 STD-GC-grid の問題点２(誤差の原因)
格子が一様分布していないために, CV の面積や 形の歪の分布が単調に分布しない. 面積の勾配が大きいところで, 誤差が発生する. STD-GC-grid における非発散場の発散の分布(発散演算子の誤差分布) STD-GC-grid におけるコントロールボリュームの面積分布

16 格子の修正 ２ バネ力学を用いて, 格子の間隔を一様 化した後, コントロールボリュームの 頂点を求める. そして, 修正 １ を施 す. (この格子を SPR-GC-grid と呼ぶ) バネ力学を用いた格子の修正(Tomita et al, 2001 の Fig 5). 各格子をバネを用いて接続する. r0 : P0 の位置ベクトル α : 摩擦係数 k : バネ定数 M : 任意の質量 di : P0Pi の弧の長さ β : チューニングパラメタ

17 修正 ２ による誤差の改善 SPR-GC-grid における格子の修正は, 微分演算子に対す る数値誤差を改善する.
全球上に広がっていた誤差は, 特異点近傍だけに現れるようになった. 誤差分布のフラクタル構造は解消された. SPR-GC-grid における非発散場の発散の分布(発散演算子の誤差分布) SPR-GC-grid におけるコントロールボリュームの面積分布

18 数値誤差の評価方法 以下の ３ 種類の誤差ノルムで評価する. x,x_t : 任意の物理場(スカラー場 or ベクトル場) x : 数値解
I : 全球平均

19 微分演算子の数値誤差の定量的評価 m=3, n=3 に対する各微分演算子の誤差ノルムの収束性を検証 発散 回転 勾配

20 IGModel-SW(全球浅水モデル) における Williamson(1992)の標準テスト のケース 2, 3 の結果
( sample/Williamson_1992/standard_test_Williamson_1992.htm )

21 IGModel-SW (正二十面体格子全球浅水モデル)
支配方程式系 数値モデルの設定 水平離散化 有限体積法（２ 次精度） 時間積分 ３ 次の Adams=Bashforth 法 運動方程式 連続の式 v : 速度ベクトル t : 時刻 ζ : 相対渦度 f: コリオリパラメータ g : 重力加速度 h : 流体の表面高度 h* : 流体層の厚さ hs : 下部境界の地形の高度場 ( h = h* + hs ) k : 球面座標の鉛直方向の単位ベクトル

22 非線形帯状地衡流の全球定常状態の実験 Williamson(1992) のテストケース ２
<計算設定> 格子系 : STD, STD-GC, SPR-GC 水平解像度 : glevel 4,5,6,7 Alpha : 0, 0.05, PI/2-0.05, PI/2 [rad] 時間刻み : glevel の順に 728, 364, 182, 91 [s] <初期場> 速度場 : 剛体回転 高度場 : 速度場に対して, 地衡流平衡を満たす高度場 Glevel 4 : 約 448 km Glevel 5 : 約 224 km Glevel 6 : 約 112 km Glevel 7 : 約 56 km

23 非線形帯状地衡流の全球定常状態の実験 格子系(STD-grid, STD-GC-grid, SPR-GC-grid) に対する数値誤差（ノルム無限大）の依存性 (glevel 5, alpha=0) STD-grid STD-GC-grid SPR-GC-grid

24 非線形帯状地衡流の全球定常状態の実験 数値誤差（ノルム無限大）の水平解像度に対す る依存性 (SPR-GC-grid, alpha=0)
glevel 4 glevel 5 glevel 6 glevel 7

25 コンパクトサポートを持つ非線形帯状地衡流の定常状態の実験
Williamson(1992) のテストケース ３ <計算設定> 格子系 : SPR-GC 水平解像度 : glevel 4,5,6,7 Alpha : 0, PI/3 [rad] 時間刻み : glevel の順に 728, 364, 182, 91 [s] <初期場> 速度場 : コンパクトサポートを持つ剛体回転場 高度場 : 速度場に対して, 地衡流平衡を満たす高度場 Glevel 4 : 約 448 km Glevel 5 : 約 224 km Glevel 6 : 約 112 km Glevel 7 : 約 56 km

26 コンパクトサポートを持つ非線形帯状地衡流の定常状態の実験
SPR-GC-grid に対する解像度向上による誤差ノルムの収束性 (alpha = PI/3, 5 days) 解像度を上げたとき精度が悪化する問題(Stuhne and Peltier, 1999)を解決している. おおむね ２ 次精度で数値誤差は収束している.

27 まとめ IGModel プロジェクトでは, 正二十面体格子大気モデル群を開発 IGModel 数値モデル群の一つ目として, 全球浅水モデル (IGModel-SW)を開発した. Williamson(1992) に習ったテスト計算の実施 STD-grid をバネ力学を用いて改良した SPR-GC-grid を用いる ことで, 微分演算子の数値誤差や数値計算の安定性が改善される ことが分かった. 水平解像度を上げても, 誤差の収束(２ 次精度)が悪化することはない ことが分かった.

28 今後の展望 非静力学コアの開発を本格的にスタートす る ！！
~ 2011 夏 IGModel-SW のテスト計算を続行. Williamson(1992) の残りの テストケースを実施する. IGModel-SW のドキュメントを整備する(したい). 非静力学コア開発のための準備, スキームの再考 CIP マルチモーメント法 MPI / OpenMP hybrid 技術 etc どのような大気現象をシミュレーションしたいのかを, 真剣に 考える. 2011 秋　〜 非静力学コアの開発を本格的にスタートす る ！！

29 参考文献・参考資料 Tomita, H., Tsugawa, M., Satoh, M., Goto, K., 2004: Shallow water model on a modified icosahedral geodesic grid by using spring dynamics. J. Comp. Phys., 174, Williamson, D. L. , Drake, J. B. , Hack, J. J. , Jakob, R., Swarztrauber, P. N. , 1992: A Standard Test Set for Numerical Approximations to the Shallow Water Equation in Spherical Geometry. J. Comput. Phys., 102, Heikes, R., Randall, D. A., 1995: Numerical integration of the shallow-water equations on a twisted icosahediral gird. Part I: A detailed Description of the grid and analysis of numerical accuracy. Mon. Wea. Rev., 123, 1881—1887. SPMODEL 球面浅水モデルを用いた Williamson et al. (1992) のテスト ( 石岡圭一, 2004 : スペクトル法による数値計算入門, 東京大学出版会 GFD Dennou Club gtool project, 2008: GFD Dennou Club.

30 補足スライド

31 IGModel プロジェクトの構造 gphys (and paraview) gtool5
IGModel プロジェクトの sub プロジェクトの階層構造 可視化ツール gphys (and paraview) IGMTool IGModel 数値モデル群 IGMBaseLib IGModel-SW ?? io util core gtool5 NetCDF, 数値計算ライブラリ etc

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