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１０．時系列データの解析 time-series data
フィルタリング（filtering） ＊移動平均（moving average） スペクトル解析(spectral analysis) 周波数ごとに分解する。 ＊理論 ＊Blackman-Tukey method ＊Fast Fourie Transform method ＊Maximum Entropy method
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移動平均(running mean) 3 7 9 5 10 4 6.3 7.3 6 (3+7+9)/3 (7+9+5)/3
(9+5+7)/3 (5+7+10)/3 (7+10+4)/3 (10+4+4)/3 6.3 7.3 6
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El Nino, Southern Oscillation （エルニーニョ・南方振動）
SOIはタヒチとダーウィンの海面気圧の差：負がエルニーニョに対応。（T－D）
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移動平均 (running mean, moving average)
Low-pass High-pass Band-pass 重みつき平均 weighted mean
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重みつき平均 １－２－１ 2 grid noise を消せる。 -1, +1, -1, +1, ….. 13ヶ月移動平均の場合： 端を1/2 にするといい。 1, 3, 4, 3, 1 は３の周期も消せる。 （0, 1, -1, 0, 1, -1….)
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重みつき平均はよりスムース 3 -3 単純平均 1 -1 重み平均
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周期Ｔの周期関数 X(t) のフーリエ級数展開
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フーリエ積分・逆フーリエ積分
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パワースペクトル(power spectrum)
エネルギースペクトル Energy spectrum Power（ワット） は単位時間にする仕事（＝エネルギー：ジュール）
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自己相関関数 auto-correlation function
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周期性の検出： 自己相関係数(Auto-correlation)
Detection of periodicity
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Wiener-Khintchine’s relation
自己相関関数 C（τ） パワースペクトル S（ω）、P(f) フーリエ変換 逆フーリエ変換
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実際のデータの長さは有限である。C(τ）のτを無限に大きく出来ない。
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箱型ウィンドウと三角形ウィンドウ 「スペクトル解析」（日野幹雄）
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Hanning & Hamming windows
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Hanning & Hamming windows
「スペクトル解析」（日野幹雄）
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Total data N=５１２ 実践！気候データ解析（松山・谷本）
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実践！気候データ解析（松山・谷本）
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情報量とエントロピー ある事象がＡ，Ｂ2つの状態をとりうるとする。もし、前もって状態Ａが起こることがわかっていれば、すなわちＡの生起確率１、Ｂの生起確率０であれば、未来の不確実さはなく、新しい情報の意味はない。 確率ｐの事象Ａが生起したとすれば、これの与える情報量を ＩＡ＝log2 1/p と定義する。 Pが１に近ければ、情報量は０に近いが、ｐが０に近ければ情報は大きい。 n個のとりうる状態があり、それぞれの確率をpj とすると、事象ｊ が生起したときに与えられる情報量は Ｉｊ＝log 1/pｊ 情報エントロピーは「1回の試行により得られるであろう情報量の期待値」として次のように定義される。 「スペクトル解析」（日野幹雄）
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時系列の情報エントロピーと相関行列 「スペクトル解析」（日野幹雄）
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MEMー最大エントロピースペクトル スペクトルのフーリエ変換が相関係数であるというWiener-Khintchineの関係の制約のもとでエントロピーを増加させないように未知部分の自己相関係数を推定する。 「スペクトル解析」（日野幹雄）
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実践！気候データ解析（松山・谷本）
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環境解析学特論レポート（山崎分） 以下の最低１つを行うこと。 締め切り7月31日
（１） y の x への回帰直線が以下のようになることを示しなさい。 (2) 以下にある北極振動指数と日本の気象官署1点のある月の気象変数（気温とか降水量とか）の相関係数を求め、有意性を議論せよ。時系列図、散布図もつけること。 (3) △波のフリーリエ級数展開を求めよ。
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