有限要素法の考え方 The idea/thinking behind the Finite Element Method

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1 有限要素法の考え方 The idea/thinking behind the Finite Element Method
The philosophy/concept/perspective of the Finite Element Method

2 1次元モデル 1-dimensional model
次のような簡単な１次元常微分方程式の境界値問題を考える。ただし は未知関数、は既知関数である Consider the following simple 1-dimensional ordinary differential equation, where is an unknown function and is a known function. (1) [Kikuchi 4.1] (2) [Kikuchi 4.2] 常微分[じょうびぶん] ordinary differential equation 境界値問題 [きょうかいちもんだい] boundary value problem 未知関数[みちかんすう] unknown function 既知関数[きちかんすう] known function 両辺[りょうへん] both sides 重み関数[おもみかんすう] weighing function 積分[せきぶん] integration （１）の両辺に重み関数（試験関数） をかけ積分し、また（２）の第２式に をかけ、先の式との和をとる。Both sides of equation 1 are multiplied by a weighing function , and integrated. Then, the middle term of equation 2 is multiplied by and added to the previous one.

3 ここで なる条件を課せば here, if the condition is imposed,
(3) （３）の左辺を部分積分する integration by parts is applied to the left hand side of eqn 3 . (4) ここで なる条件を課せば here, if the condition is imposed, (5) [Kikuchi 4.5] 左辺[さへん] left side 部分積分[ぶぶんせきぶん] integration by parts 条件[じょうけん] condition 課せ[かす-かせば] to impose 対する 弱形式[じゃっけいしき] 導関数[どうかんすう]derivative 階数[かいすう]order, rank, determinant rank （５）を問題（１）、（２）に対する弱形式といい、（１）に比較して 　 の導関数の階数が下がっている。Eqn 5 is the weak form of equation 1 and 2, and compared to eqn 1, the smoothness requirement has been reduced to the first order differential.

4 は（５）から導かれる境界条件であり、自然境界条件と呼ぶ。
いま関数 　　が、条件 　　　　　　の他に、　　　　　　　なる任意の関数　　に対して（５）を満足するならば、（５）ー＞（４）ー＞（３）と逆にたどって、（１）と　　　　　　　　　　　　　を導くことができる。　　　　　　　はあらかじめ要求する境界条件で、基本境界条件と呼び、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　は（５）から導かれる境界条件であり、自然境界条件と呼ぶ。 We set the function with the condition and with being an arbitrary function so that equation (5) is satisfied. Tracing backwards from equations 5 to 4 then 3, we are able to derive (1) and (2) , the initially imposed boundary condition, is called an essential boundary condition, whereas which was derived from (5) is called a natural boundary condition. 有限要素法では弱形式を利用して　　の近似を求める。まず図.1に示すように、区間　　　　を小区間（有限要素または要素）に分割する。We now seek an approximation to by using the weak form and the FEM. First, as shown in Fig 1, the interval is subdivided into intervals (finite elements/elements). 他に[ほかに] in addition, besides 任意[にんい] arbitrary 満足[まんぞく] satisfy 逆[ぎゃく] opposite, reverse たどって track 導く[みちびく]derive あらかじめ in advance 要求[ようきゅう]demand, request 基本境界条件[きほんきょうかいじょうけん] essential B.C. 近似[きんじ]approximate 求める 示す 区間interval 分解 1 2 i i+1 n +1 図.１[Kikuchi図4.1] - 1次元の有限要素分割 1-dimensional FE　devision

5 代表要素 、すなわち区間 で を の１次式で近似しよう。
代表要素　　　、すなわち区間　　　　　　　　で　　を　　の１次式で近似しよう。 With the representative finite elements , i.e. the intervals , we shall denote , a function of by the following equation, as an approximation. (6) [Kikuchi 4.7] ここで　　　　　で　　　　　, 　　　　　　で　　　　　　　とすると、 Here, when 　　　　　,　　　　　, and when　　　　　　 ,　　　　　　　 , so (7) [Kikuchi 4.8] すなわち、 That is, 代表要素[だいひょうようそう] representative finite elements すなわちthat is to say (8) [Kikuchi 4.10]

6 これは の両端のてん（節点）での値を使って１次補間したものに他ならない。これで（５）の の近似式が要素内で決定された。
あるいは、　alternatively, (9) [Kikuchi 4.11] これは の両端のてん（節点）での値を使って１次補間したものに他ならない。これで（５）の の近似式が要素内で決定された。 次に（５）を用いるためには も近似する必要がある。 も（９）と同じ形にする。 The end (nodal) values of are used to form the interpolation function above. This means that the approximation for of eqn 5 has been set within the element. Next, to make use of (5), has to be approximated as well. The form used in eqn 9 is used in the same way for 両端[りょうたん] both ends 節点[せってん] nodes 値[あたい] variable 次式[じしき] following eqn 補間[ほかん] interpolation 他[ほか] other 近似[きんじ]approximate 用いる[もちいる]employ, harness (10) [Kikuchi 4.18]

7 いままでは は要素ごとに考えた。しかし区間　　　　全体で考えると、　　　　　は連続であると都合がよい。　　　を連続にするには、隣りあう要素間の共通節点での　　の値を等しくすればよい。例えば要素　　　　と　　　との間では、　　がどちらの要素から見ても同じ値になればよい。 Up to this point, only elements for were considered. However, when considering the entire space , it is desired to continue/extend For this purpose, the neighboring element that has common nodes should have the same value. For example, elements and should have the same value of (at their common node). 等しく[ひとしく] equally, evenly Up to this point, only elements for uhatvhat were considered. However, when considering the entire space 0L, it is desired to continue/extend uvhat. For this purpose, the neighbouring element that has common nodes should have the same value of u. For example, elements i-1 and I and should have the same value (at their common node).

8 （９）、（１０）を（５）に代入して積分を実行する。このとき要素ごとに積分してから和をとってもよいことに注意すると、まず代表要素　　　からの寄与分を求めればよいことがわかる。　　から（5）の左辺への寄与分は、マトリックスを使って書くと、 Eqns 9 and 10 are substituted into eqn 5 and the integration is carried out. Here, elements are integrated one by one. First, the contribution of a representative element is required. To see the contribution of to the left hand side of eqn 5, a matrix is drawn. (11) すなわち、 (12) 寄与分 [きよぶん] extent of contribution 要素ごとにelements one by one また右辺から寄与分は、 (13) [Kikuchi 4.24]

9 （１２）、（１３）を各 について求め、和をとると、次式が成立するべきである。
Eqns 12 and 13 come together to form the following matrix: (14)

10 （１４）中で に対応する 以外の は任意であるから、
（１４）中で に対応する 以外の は任意であるから、 なるすべての と置いた式が成立するべきである。これを具体的に実行すると、（１４）で のなすベクトルをはずし、さらに（ｎ +１）次正方マトリックスの第1行と のなすベクトルの第1成分をはずした方程式が成立しなければならない。また に対応して、 とすべきである。以上により次のような方程式を得る。 次正方square, tetragonal, 具体的concretely 実行execute (e.g. An action) … the following equation is obtained. (15)

11 以上から分かるように、各要素ごとに（１２）、（１３）中のマトリックス、ベクトルを積分計算し、そのうえで（１４）のように拡大した上でマトリックス、ベクトルをたしあわせ、さらに境界条件も考慮してやると（１５）のような最終的な近似方程式が得られる。要素ごとにバラシで計算し、和をとって組立てるという考え方を直接剛性法と呼んでいる。また（５）の弱形式に基づく近似法をGalerkin法と呼ぶ。As can be understood from the above, individual element informations (12 and 13) are created. Furthermore, after also taking into account the boundary condition, eqn 15, the final approximate equation is obtained. This method, where individual element are computed independently and later combined directly is called the direct stiffness method. The approximation of equation 5 based on the weak form is known as the Galerkin method. 積分 たしあわせ さらに 考慮[こうりょう] consideration, taking into account 組立てる 剛性法[ごうせいほう] stiffness method 基づく[もとづく]to be grounded on, to be based on