6. エネルギーとその保存則 6．１ 仕事 6．２ 仕事の一般的定義 6．３ 仕事率 6．４ 保存力と位置エネルギー

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1 6. エネルギーとその保存則 6．１ 仕事 6．２ 仕事の一般的定義 6．３ 仕事率 6．４ 保存力と位置エネルギー
6．１　仕事 6．２　仕事の一般的定義 6．３　仕事率 6．４　保存力と位置エネルギー 6．５　運動方程式のエネルギー積分

2 6．１ 仕事 質量ｍの静止していた物体が力Ｆを受けてΔｔ秒間にΔｒだけ移動したとしよう。 物体が受ける仕事はＷ＝ＦΔｒである。
6．１　仕事 質量ｍの静止していた物体が力Ｆを受けてΔｔ秒間にΔｒだけ移動したとしよう。 物体が受ける仕事はＷ＝ＦΔｒである。 Δｔ秒間にΔｒだけ移動したのだから その間の平均速度は 　　である。 しかし最初はv＝０であった。ということは、 Δｔ秒後は　　　　　　　になる。 Δｒ Δｔ

3 6．１ 仕事 仕事mechanical workは、 と書くことができる。
6．１　仕事 仕事mechanical workは、 と書くことができる。 力積(impact)はＦΔｔであり、これは運動量の変化量である。静止していた物体は、力を及ぼされたことにより運動量を獲得する。 仕事によって物体は力学的運動エネルギーを獲得する。 Δｒ Δｔ

4 6．２ 仕事の一般的定義 力を及ぼして物体が位置ｒ１からｒnまで移動したとき、
6．２　仕事の一般的定義 力を及ぼして物体が位置ｒ１からｒnまで移動したとき、 物体に与えた（損した）総仕事量は以下のように力と変位の内積の集合として与えられる。 物体が獲得した仕事はエネルギーが保存するときは当然、 となる。

5 6．３　仕事率 単位時間当たりの仕事を仕事率という。　　 仕事　 仕事率　　　　

6 6．４ 保存力と位置エネルギー 仕事 が のように書けると仮定しよう。このとき、
6．４　保存力と位置エネルギー 仕事　　　　　　　　　　　　　　 が のように書けると仮定しよう。このとき、 は位置積分可能な関数でなければならない。U(r)をrにおける位置のエネルギー、あるいはポテンシャルエネルギーという。このとき以下の関係がある。

7 6．４ 保存力と位置エネルギー 物体がU(r)の下をrAからrBまで移動したとする。 位置エネルギーは から
6．４　保存力と位置エネルギー 物体がU(r)の下をrAからrBまで移動したとする。 位置エネルギーは　　　　　から となる。物体は　　　　　　　　　　の運動エネルギーを得る。 位置エネルギーの変化量と物体が獲得する運動エネルギー量は等しい。　　 この性質は のときのみ成り立つ。このときＦを保存力という。

8 6．４ 保存力と位置エネルギー 力が のような位置の関数で表 されるとき、この力を保存力 Conservative force という。
6．４　保存力と位置エネルギー 力が　　　　　　　　　　　　　　　　　のような位置の関数で表 されるとき、この力を保存力　Conservative force　という。 このとき、 位置ポテンシャルエネルギーと運動エネルギーの和 はいつも一定である。

9 6．５ 運動方程式のエネルギー積分 力が場所積分可能な場合に僕らの運動の式はどうなるのだろうか試してみよう。 0からxまで積分しよう。
6．５　運動方程式のエネルギー積分 力が場所積分可能な場合に僕らの運動の式はどうなるのだろうか試してみよう。 0からxまで積分しよう。 位置エネルギー差と同じ量の運動エネルギーが発生する。

10 6．４ 保存力と位置エネルギー 力が のような位置の関数で表 されるとき、この力を保存力 Conservative force という。
6．４　保存力と位置エネルギー 力が　　　　　　　　　　　　　　　　　のような位置の関数で表 されるとき、この力を保存力　Conservative force　という。 このとき、 位置ポテンシャルエネルギーと運動エネルギーの和 はいつも一定である。

11 6．４　保存力と位置エネルギー もし、物体が保存力の力によりある地点から移動して、再び元に戻ったとする。このときポテンシャルエネルギーは出発時点ともとに戻った時点では変わらない。よって運動エネルギーも元に戻る。仕事ゼロ。エネルギーはもちろん保存する。

12 6．４　保存力と位置エネルギー 問：　以下の力は保存力か？ １）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　保存力 ２）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　保存力 ３）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　保存力ではない

13 6．４　保存力と位置エネルギー 問　スカラー関数Ａは　　　　　　　　　　が常に成り立つことを示せ。

14 6．４　保存力と位置エネルギー １）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　は保存力か？ もし　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ならば、 　　　　　　　　　　　　　　　ならば、Fは保存力である。 保存力＆一回りで仕事ゼロ

15 6．４　保存力と位置エネルギー ２）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 保存力＆仕事ゼロ

16 6．４ 保存力と位置エネルギー ３） C(0,b) B(a,b) O A(a,0) 保存力ではない。一周した場合 仕事あり。
6．４　保存力と位置エネルギー ３）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 O A(a,0) B(a,b) C(0,b) 保存力ではない。一周した場合 仕事あり。 もし、　　　　　　　　　　　　　なら保存力だった。だから、余るのは kyである。OA,BCについて力kyの仕事が、一周したときの仕事。 仕事は-kba

17 簡単な問題 重力がなく、空気抵抗もない空間で、図のように バネにつながれた質量ｍの物体を、自然長を
原点として、原点からx0だけ引き伸ばし、時刻 ゼロで手を離した。 １）時刻tでの物体の位置x(t)を求めよ。 ２）物体に働く力、F(t)を求めよ。 ３） 力のF(t)のポテンシャルエネルギーを求めよ。 ４） x0から0まで移動する時に物体がもらう仕事を求めよ。 ５） 0から-x0まで移動する時に物体がもらう仕事を求めよ。 ６） -x0から0まで移動する時に物体がもらう仕事を求めよ。 ７） 0からx0まで移動する時に物体がもらう仕事を求めよ。 m k x

18 簡単な問題 １）時刻tでの物体の位置x(t)を求めよ。 ２）物体に働く力、F(t)を求めよ。
m k x

19 簡単な問題 ５） 0から-x0まで移動する時に物体がもらう仕事を求めよ。 ６） -x0から0まで移動する時に物体がもらう 仕事を求めよ。
m k x

20 簡単な問題 以下の力は保存力か？ １．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　保存力 ２．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　保存力ではない ３．　　　万有引力　　　　　　　　　　　　　保存力 ４．　　　粘性抵抗力　　　　　　　　　　　保存力ではない

21 簡単な問題 力 は保存力であり、力の方向を右図の上に書くと放射状の矢印になる。以下の力は保存力か否か、を答え、力の方向を右図にならって描け。
X Y O 力　　　　　　　　　は保存力であり、力の方向を右図の上に書くと放射状の矢印になる。以下の力は保存力か否か、を答え、力の方向を右図にならって描け。 １） ２）

22 簡単な問題 力 は保存力であり、力の方向を右図の上に書くと放射状の矢印になる。以下の力は保存力か否か、を答え、力の方向を右図にならって描け。
X Y O 力　　　　　　　　　は保存力であり、力の方向を右図の上に書くと放射状の矢印になる。以下の力は保存力か否か、を答え、力の方向を右図にならって描け。 １）　　　　　　　　　　　　　　２） X Y O X Y O

23 簡単な問題 問：平面内で運動する質点に働く力　ｆ　の直角座標成分がfx=axy, fy=ax2/2(aは定数）と書けたとする。fが保存力であるかどうか調べよ。もし保存力ならポテンシャルエネルギーを求めよ。 問：平面内で運動する質点に働く力　ｆ　の直角座標成分が fx=axy, fy=by2 (a,bは定数）と書けたとする。fが保存力であるかどうか調べよ。 X軸上の点A(r,0)からy軸上の点C(0,r)まで、半径rの円周に沿って動く場合と、弦ACに沿って動く場合のfのする仕事を求めよ

24 簡単な問題 問：平面内で運動する質点に働く力　ｆ　の直角座標成分がfx=axy, fy=ax2/2(aは定数）と書けたとする。fが保存力であるかどうか調べよ。もし保存力ならポテンシャルエネルギーを求めよ。 問：X軸上の点A(r,0)からy軸上の点C(0,r)まで、半径rの円周に沿って動く場合と、弦ACに沿って動く場合のfのする仕事を求めよ。 　　円周： 　　弦：

25 6．４ 保存力と位置エネルギー 重力は と書けるとき保存力であり、位置エネルギー がmghのような関数で表現できる。
6．４　保存力と位置エネルギー 重力は と書けるとき保存力であり、位置エネルギー がmghのような関数で表現できる。 摩擦などがないときの重力下の運動は 保存力下の運動である。 これまで学んだ振り子の運動を保存力と 位置エネルギー観点から調べよう。 θ mg

26 6．４ 保存力と位置エネルギー TA1君:重力は保存力ですね。 TA2君:そうです。 TA3君:右図の振り子を考えましょう
6．４　保存力と位置エネルギー TA1君:重力は保存力ですね。 TA2君:そうです。 TA3君:右図の振り子を考えましょう TA4君：考えます。 TA5君:運動方向の力は　　　　　　　　　　です。 TA1君:そうです。 TA2君:保存力なら力学的ポテンシャルUがある はずです。そして 　　にならなければなりません。 TA3君:そうです。当たり前です。 TA4君:振り子を動かしているのは一定の重力だから、 　　ポテンシャルエネルギーはU=mgh 　　のような形にならなければなりません。 θ mg

27 6．４ 保存力と位置エネルギー TA5君:そうです、別にいいじゃないか。 TA1君:良くありません、なんで
6．４　保存力と位置エネルギー TA5君:そうです、別にいいじゃないか。 TA1君:良くありません、なんで 　　が　U=mghから出てくるか問題です。 TA2君:そうです。問題です。 TA3君:考えて下さい。 TA4君:考えましょう。 　　横軸をｘ、縦軸をｙとしましょう。 　　そして最下点x=0,y=0のポテンシャル エネルギーをゼロとしましょう。 TA5君:そうしましょう。 TA1君:振り子の円弧の運動の方向はθ方向です。 TA2君:そうです。 TA3君:よって運動の位置の変数はlθです。 Y θ Ｘ O mg

28 6．４ 保存力と位置エネルギー TA4君:そうなんですか？ TA5君:そうなんです、lが大きければ移動距離が 大きくなります。
6．４　保存力と位置エネルギー TA4君:そうなんですか？ TA5君:そうなんです、lが大きければ移動距離が 　　大きくなります。　　 TA1君:つまり、　　　　　　　　　の微分変数を 　　 lθ　にせよと言いたいんですか？ TA2君:そうです。 TA3君:ふ～ん、まあいいや、そうしましょう。 TA4君:積分しましょう。 TA5君:積分しましょう。 TA1君:Fを積分します。 TA2君:よくできました。でもCが分かりません。 TA3君:最下点のUはゼロです。 Y θ Ｘ O mg

29 6．４ 保存力と位置エネルギー TA4君:なるほど、そう決めました。 になります。それで？ TA5君: です。
6．４　保存力と位置エネルギー TA4君:なるほど、そう決めました。 　になります。それで？ TA5君:　　　　　　　　　　　　　　です。 TA1君:え、ああ、そうね、それで？ TA2君:だから、 TA3君:だから？ TA4君: 　　です。これはmghの形です。 TA5君:なるほど、よくできました。 Y θ Ｘ O mg

30 6．４ 保存力と位置エネルギー TA1君:でも異議あり、 と勉強しました。だからｘ、ｙ微分積分を使いたいです。 TA2君: です。 だから、
6．４　保存力と位置エネルギー TA1君:でも異議あり、 　と勉強しました。だからｘ、ｙ微分積分を使いたいです。 TA2君: 　です。 　だから、 　あれ？いや違う。変だ、待てよ・・・・ TA3君:どうしたの？これでいいじゃん。 TA4君:いや、ちょっと待って、ええっと・・・・ 　　ｘ、ｙ積分を使うときは、 　　力もｘ、ｙ成分を使わなければなりませんでした。 Y θ Ｘ O mg

31 6．４ 保存力と位置エネルギー TA5君:そうなんですか？ TA1君:そうなんです。だから、 です。 TA2君:そうですね・・・
6．４　保存力と位置エネルギー TA5君:そうなんですか？ TA1君:そうなんです。だから、 　　です。 TA2君:そうですね・・・ TA3君:積分しましょう。 TA4君:積分しましょう。 TA5君:Fを積分します。 TA1君:よくできました。でもCが分かりません。 TA2君:最下点のUはゼロです。 Y θ Ｘ O mg

32 6．４ 保存力と位置エネルギー TA3君:なるほど、そう決めました。 それで？ TA4君: です。これはmghの形です。
6．４　保存力と位置エネルギー TA3君:なるほど、そう決めました。 　　それで？ TA4君: 　　です。これはmghの形です。 TA5君:なるほど、よくできました。 　変数によって力の成分を使い分けなければ 　　ならないんですね。 TA1君:そうみたいですね。 　　面白いですね。 TA2君:面白いですね。 Y θ Ｘ O mg

33 6．４ 保存力と位置エネルギー 重力は である。振り子の場合は運動は自由 ではなく の条件で束縛されている。即ち、ｘ、ｙ
6．４　保存力と位置エネルギー 重力は である。振り子の場合は運動は自由 ではなく の条件で束縛されている。即ち、ｘ、ｙ 成分は自由ではない。 運動は円弧の内に限られている。 円弧接線方向の力成分は、 である。 Y θ Ｘ O mg

34 6．４ 保存力と位置エネルギー そして運動はθ方向だから運動の式は、 となる。 ポテンシャルエネルギーは、運動の方向の
6．４　保存力と位置エネルギー そして運動はθ方向だから運動の式は、 となる。 ポテンシャルエネルギーは、運動の方向の 変数lθで力を積分して求める必要がある。 から、最下点０とすると となる。　　　　　　　　　　　　　だから、 Y θ Ｘ O mg

35 6．４ 保存力と位置エネルギー Ｕは、 である。 重力 をｙ方向に積分して求めた場合、 と一致する。 それでは、よく近似的に用いられる、
6．４　保存力と位置エネルギー Ｕは、　　　　　　　　　　　である。 重力 をｙ方向に積分して求めた場合、 　　　　　　　　　と一致する。 それでは、よく近似的に用いられる、 θが小さいときの式 の場合のポテンシャルエネルギーはどうなるのだろう？ Y θ Ｘ O mg

36 6．４ 保存力と位置エネルギー この場合、力は だから、 である。もともと であった。θが小さいときはマクローリン 展開的近似ができる。
6．４　保存力と位置エネルギー この場合、力は だから、 である。もともと であった。θが小さいときはマクローリン 展開的近似ができる。 近似的運動の式も保存力とポテンシャルエネルギーの 理論に矛盾はない。 Y θ Ｘ O mg

37 6．４ 保存力と位置エネルギー 次にバネの運動を調べよう。 バネを引っ張り、時刻ゼロで手を離した m 場合を考えよう。
6．４　保存力と位置エネルギー 次にバネの運動を調べよう。 バネを引っ張り、時刻ゼロで手を離した 場合を考えよう。 バネ常数k, 粘性抵抗係数α、 自然長の位置をゼロとする、 時刻ゼロではバネの速度は当然ゼロ。 m k

38 ５．２　減衰振動のまとめ 運動の式 ｔ=0でv=0のとき、 ①減衰振動 ②臨界制動 ③過減衰

39 6．４ 保存力と位置エネルギー 代表例として減衰振動を調べよう。 ①減衰振動 変位xのときバネのもつエネルギーは である。
6．４　保存力と位置エネルギー 代表例として減衰振動を調べよう。 ①減衰振動 変位xのときバネのもつエネルギーは である。 おもりmがバネから貰う運動エネルギーを考えよう。

40 6．４　保存力と位置エネルギー 抵抗が無いときの運動エネルギーとバネのエネルギー時間変化はグラフのように相互に入れ換わり二つの合計は常に一定である。 バネのエネルギー 二つの合計 運動エネルギーK

41 6．４　保存力と位置エネルギー 運動エネルギーとバネのエネルギーの位置による変化はグラフのようになる。運動エネルギーは位置を決めれば必ず決まる。バネのエネルギーはポテンシャルエネルギーとなる。保存力。 運動エネルギーK バネのエネルギー

42 6．４　保存力と位置エネルギー 粘性抵抗が少し発生しβ=0.5のとき、運動エネルギーとバネのエネルギーは振動しながら時間とともに減衰する。二つの合計も減衰する。バネのエネルギーは抵抗による熱などの運動エネルギーで はないエネルギー 変換される。 二つの合計 運動エネルギーK バネのエネルギー

43 6．４ 保存力と位置エネルギー β=0.5のとき、位置に対して運動エネルギーはいくつもの値をとる。保存力ではない抵抗が働く運動である。
6．４　保存力と位置エネルギー β=0.5のとき、位置に対して運動エネルギーはいくつもの値をとる。保存力ではない抵抗が働く運動である。 バネのエネルギー 運動エネルギーK

44 6．４　保存力と位置エネルギー β=１のとき、運動エネルギーとバネのエネルギーは振動しながら時間とともにより速やかに減衰する。二つの合計も減衰する。 二つの合計 バネのエネルギー 運動エネルギーK

45 6．４ 保存力と位置エネルギー β=１のとき、運動エネルギーは位置に対して極めて非対象になり、且ついくつもの値をとる。 バネのエネルギー
6．４　保存力と位置エネルギー β=１のとき、運動エネルギーは位置に対して極めて非対象になり、且ついくつもの値をとる。 バネのエネルギー 運動エネルギーK

46 6．４　保存力と位置エネルギー β=２と大きくなると、運動エネルギーとバネのエネルギーは振動しながら時間とともによりさらに速やかに減衰する。二つの合計も減衰する。 二つの合計 バネのエネルギー 運動エネルギーK

47 6．４ 保存力と位置エネルギー β=２のとき、運動エネルギー、位置エネルギーとも非対象になり、負の位置の振幅は非常に小さい。
6．４　保存力と位置エネルギー β=２のとき、運動エネルギー、位置エネルギーとも非対象になり、負の位置の振幅は非常に小さい。 バネのエネルギー 運動エネルギーK

48 6．４　保存力と位置エネルギー β=５の臨界制動のとき、バネのエネルギーは振動せず減衰する。運動エネルギーはピークを1つ持ちその後減衰する。二つの合計エネルギーは振動せず減衰する。 5 二つの合計 バネのエネルギー 運動エネルギーK

49 6．４ 保存力と位置エネルギー β=５の臨界制動のとき、運動エネルギーとバネのエネルギーは正の位置のみ。 バネの エネルギー 運動エネル
6．４　保存力と位置エネルギー β=５の臨界制動のとき、運動エネルギーとバネのエネルギーは正の位置のみ。 5 バネの エネルギー 運動エネル ギーK

50 6．４ 保存力と位置エネルギー このような力を中心力という。 万有引力は中心力である。 そして保存力である。→ TA1君チェックせよ。
6．４　保存力と位置エネルギー このような力を中心力という。 万有引力は中心力である。 そして保存力である。→ TA1君チェックせよ。 → TA2君無限遠方をゼロとして ポテンシャルエネルギーを求めよ。

51 中間試験 １．日時： 12月１１日(木) ４，５限 ２．場所： 1331番教室 ３．試験範囲：講義・演習・宿題・教科書の8章までに学んだ範囲
期末1月22日 １．日時：　12月１１日(木)　４，５限　 ２．場所：　1331番教室 ３．試験範囲：講義・演習・宿題・教科書の8章までに学んだ範囲 ４．試験時間：90分程度 ５．注意： 　　・集合時刻厳守のこと 　　・途中退出は認めない 　　・全員受験必須 　　・資料持込不可 ６．期末テストは１月２２日予定、全範囲

52 取り組んでみよう 宿題６の応用：t=0で原点を通り、速度 で質量mの物体がx軸上を移動するときの、 ポテンシャルエネルギーを求めよ。 TA1

53 力からポテンシャルエネルギーを求める練習
TA2 TA3 TA4 TA5 TA1

54 力からポテンシャルエネルギーを求める練習
TA2 TA3 TA4 TA5

55 中間試験 １．日時： 12月１１日(木) ４，５限 ２．場所： 1331番教室 ３．試験範囲：講義・演習・宿題・教科書の8章までに学んだ範囲
期末1月22日 １．日時：　12月１１日(木)　４，５限　 ２．場所：　1331番教室 ３．試験範囲：講義・演習・宿題・教科書の8章までに学んだ範囲 ４．試験時間：90分程度 ５．注意： 　　・集合時刻厳守のこと 　　・途中退出は認めない 　　・全員受験必須 　　・資料持込不可 ６．期末テストは１月２２日予定、全範囲

56 7. 角運動量とその保存則 7．１ ベクトルのベクトル積 7．２ 力のモーメント 7．３ 角運動量 7．４ 運動方程式の角運動量積分
7．１　ベクトルのベクトル積 7．２　力のモーメント 7．３　角運動量 7．４　運動方程式の角運動量積分 7．５　惑星の運動ケプラーの法則

57 7. 角運動量とその保存則 このような力を中心力という。 万有引力は中心力である。 そして保存力である。 ポテンシャルエネルギーは
運動を調べよう。

58 7. 角運動量とその保存則 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　とおく。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　だから、 　　　　　　　　　　　であり、　　　　

59 7. 角運動量とその保存則 これを角運動量保存則という 中心力の場合、常に角運動量は一定であり保存する。 角運動量ベクトルの定義は である。
よって、 　　　　これを角運動量保存則という 中心力の場合、常に角運動量は一定であり保存する。 角運動量ベクトルの定義は　 である。

60 7. 角運動量とその保存則 のときを調べよう。 運動量ベクトル成分はｘ－ｙ平面内にあり 角運動量ベクトル成分はｚ軸上にある。 もし、 なら
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　のときを調べよう。 運動量ベクトル成分はｘ－ｙ平面内にあり 角運動量ベクトル成分はｚ軸上にある。 もし、　　　　　　　　　　　なら 角運動量は常に一定である。

61 7. 角運動量とその保存則 TA1:万有引力は中心力と勉強しました。 TA2 :勉強しました。 TA3 :中心力下の運動では角運動量は
保存すると勉強しました。 TA4 :勉強しました。 TA5 :重力も万有引力です。 TA1 :そうです。 TA2:ならば、右図の振り子の角運動量も 保存するの？ TA3 :うん？角運動量って？ TA4:　　　　　　　　　よ。 TA5:う～ん、振り子は折り返しのところで一旦止まるから必ずp=0がある。しかし、最下点では勢いよく動く。 θ mg

62 7．３ 角運動量 TA1 ：だからｐは大きい。 保存しないんじゃないかな・・・ TA2：不思議です・・・
7．３　角運動量 TA1 ：だからｐは大きい。 　　保存しないんじゃないかな・・・ TA2：不思議です・・・ TA3：振り子の運動を勉強したので調べて みよう。 θ mg

63 7．３　角運動量 惑星の公転に倣ってこの度は原点Ｏを 振り子の支点に取る。 θ mg Ｘ Y O

64 7．３ 角運動量 ・角運動量はｚ成分のみである。 ・振り子は往復振動するから、 は時間変化する。 だから振り子の角運動量は保存しない。 Y
7．３　角運動量 θ mg Ｘ Y O ・角運動量はｚ成分のみである。 ・振り子は往復振動するから、 　　　　は時間変化する。 だから振り子の角運動量は保存しない。

65 7．２ 力のモーメント 角運動量の保存条件を調べよう。 保存条件： を力のモーメントという。 のときに力のモーメントはゼロになる。
7．２　力のモーメント 角運動量の保存条件を調べよう。 保存条件： を力のモーメントという。 　　　　　　　　のときに力のモーメントはゼロになる。 このとき、角運動量は時間変化せず保存する。

66 7．２ 力のモーメント 力のモーメントは回転的運動を誘発する。 角運動量を増減させる。 rがあり、Ｆがある。
7．２　力のモーメント 力のモーメントは回転的運動を誘発する。 角運動量を増減させる。 rがあり、Ｆがある。 これらが平行か逆平行のとき回転は 誘発されない。 これらが直交関係のとき力はもっとも 有効に回転運動に寄与する。 　　　　　　　の力を中心力という。 中心力のとき、力のモーメントはゼロである。 力のモーメントがゼロの時角運動量は保存する。 θ mg Ｘ Y O

67 7．２　力のモーメント 確認しよう。 だから振り子の力のモーメントは 角運動量の時間変化は 両者は確かに一致する。 θ mg Ｘ Y O

68 7．２ 力のモーメント 振り子を振る力は鉛直下方向き。 支点から質点までの位置ベクトルとは 一致しない。
7．２　力のモーメント 振り子を振る力は鉛直下方向き。 支点から質点までの位置ベクトルとは 一致しない。 よって振り子にとって重力は中心力ではない。 力のモーメントが発生し、 角運動量は変化する。 θ mg Ｘ Y O

69 7．３　角運動量 から振り子を振り出すとしよう。 初期角度は さらにm=1, g=9.8, l=1としよう。 θ mg Ｘ Y O

70 7．３　角運動量 m=1, g=9.8, l=1 θ mg Ｘ Y O N L

71 7．３　角運動量 m=1, g=9.8, l=1 θ mg Ｘ Y O N L θ

72 7．５ 惑星の運動ケプラーの法則 再び万有引力に戻ろう。 このような力を中心力という。 万有引力は中心力である。 そして保存力である。
7．５　惑星の運動ケプラーの法則 再び万有引力に戻ろう。 　　　　　　　　　　　　　このような力を中心力という。 万有引力は中心力である。 そして保存力である。 ポテンシャルエネルギーは 運動を調べよう。

73 7．５　惑星の運動ケプラーの法則 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　とおく。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　だから、 　　　　　　　　　　　であり、　　　　

74 7．５ 惑星の運動ケプラーの法則 これを角運動量保存則という 中心力の場合、常に角運動量は一定であり保存する。 角運動量ベクトルの定義は
7．５　惑星の運動ケプラーの法則 よって、 　　　　これを角運動量保存則という 中心力の場合、常に角運動量は一定であり保存する。 角運動量ベクトルの定義は　 である。

75 7．５ 惑星の運動ケプラーの法則 のときを調べよう。 運動量ベクトル成分はｘ－ｙ平面内にあり 角運動量ベクトル成分はｚ軸上にある。
7．５　惑星の運動ケプラーの法則 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　のときを調べよう。 運動量ベクトル成分はｘ－ｙ平面内にあり 角運動量ベクトル成分はｚ軸上にある。 もし、　　　　　　　　　　　なら 角運動量は常に一定である。

76 7．５ 惑星の運動ケプラーの法則 ケプラーの第二法則 は角速度であり、 は線速度である。 よって、 は惑星軌道が掃引する面積速度である。
7．５　惑星の運動ケプラーの法則 　　　は角速度であり、　　　　は線速度である。 よって、　　　　　は惑星軌道が掃引する面積速度である。 は面積速度一定を意味する。 ケプラーの第二法則

77 7．５　惑星の運動ケプラーの法則 再び、 だから、大きさを比較して 角運動量の大きさ　　　　　　　　　　を使うと、

78 7．５ 惑星の運動ケプラーの法則 よって、中心力 から、 角運動量一定が得られ、 rの運動について の微分式が得られる。
7．５　惑星の運動ケプラーの法則 よって、中心力 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　から、 　　　　　　　　　　　　　　　　角運動量一定が得られ、 rの運動について の微分式が得られる。 この式は難問です・・・・・・

79 7．５　惑星の運動ケプラーの法則 問　　　　　　　　　　　　　　　　は 　　　　　　　　　　　　　　　　　　を満たす関数である。 　 TA4→ＤをL,m,M,Gで表せ。

80 7．５　惑星の運動ケプラーの法則 両辺をtで微分 さらに両辺をtで微分

81 7．５　惑星の運動ケプラーの法則 両式を比較

82 7．５　惑星の運動ケプラーの法則 ｒの軌道の絵を書いてみよう 　　ε＝0のとき　　　 　　ε ＜１のとき　　　 　　ε ＞１のとき

83 7．５ 惑星の運動ケプラーの法則 ケプラーの第一法則 は を満たす。 ε＝0のとき円軌道 ε ＜１のとき楕円軌道 ε ＞１のとき双曲線軌道
7．５　惑星の運動ケプラーの法則 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　は 　　　　　　　　　　　　　　　　　　を満たす。 ε＝0のとき円軌道 ε ＜１のとき楕円軌道　　　 ε ＞１のとき双曲線軌道 軌道の形は運動エネルギー（速度）によって決まる。 ケプラーの第一法則

84 7．５　惑星の運動ケプラーの法則

85 7．５　惑星の運動ケプラーの法則 運動エネルギーを考えよう。　　　

86 7．５　惑星の運動ケプラーの法則 ε＝0のとき運動エネルギー最少 ε が大きくなると運動エネルギー大きくなる。　

87 7．５　惑星の運動ケプラーの法則 Kとε の関係をもっと調べよう　

88 7．５ 惑星の運動ケプラーの法則 ε＝0のとき運動エネルギー最少 もともとポテンシャルエネルギーは だから、 （最小値）
7．５　惑星の運動ケプラーの法則 ε＝0のとき運動エネルギー最少 もともとポテンシャルエネルギーは だから、 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（最小値） ε が大きくなると運動エネルギー大きくなる。 　　　　　　　　　　になる条件は

89 7．５ 惑星の運動ケプラーの法則 になるチャンスは、 のとき。 楕円、円運動ではK＋Ｕ<0であり、無限遠方には行くことができない。
7．５　惑星の運動ケプラーの法則 になるチャンスは、　　　　　　のとき。 楕円、円運動ではK＋Ｕ<0であり、無限遠方には行くことができない。 　　　　　　のときはじめて、重力ポテンシャルに打ち勝って無限の彼方に行くことができる。その時の運動エネルギーは、 地球上の臨界速度は 　　　　　　　　　　から、　　　　

90 7．５ 惑星の運動ケプラーの法則 を第二宇宙速度という。 を第一宇宙速度という。 問：第一宇宙速度と第二宇宙速度の意味を考えよ。 TA5
7．５　惑星の運動ケプラーの法則 　　　　　　　　　　　を第二宇宙速度という。 　　　　　　　　　　　を第一宇宙速度という。 問：第一宇宙速度と第二宇宙速度の意味を考えよ。 TA5 問：双曲線軌道をとり地球に近づいた小惑星は、地球をの近くを通り過ぎた後、再び地球に近づくのはいつか？ TA1 　

91 7．５ 惑星の運動ケプラーの法則 ケプラーの第三法則 楕円の面積Sは長径をaとすると である。 から となる。
7．５　惑星の運動ケプラーの法則 楕円の面積Sは長径をaとすると　　　　　　　　　である。 　　　　　　　　　　から　　　　　　　となる。 角運動量L一定＝面積速度一定なのだから 周期をTとすれば　　　　　　　になる。 　　　　　　　　　だった。Tとaに注目すれば、 周期は長径（短径）の3/2乗に比例する。 ケプラーの第三法則

92 問　題 地球は太陽の周りをほぼ円周軌道で公転回転している。しかしこれまで学んだことに基づけば、厳密には「両者の重心周りをお互いに回りあっている。」と表現すべきである。地球の質量は5.9x1024kgであり、回転半径は 1.5x1011mである。太陽の質量は 2.0x1030kgである。太陽の 回転半径は何kmか。 TA2 Ｙ Ｘ θ m M ｒ O

93 復習 Ｘ-Ｙ平面において半径ｒを一定角速度ωで回転している質量ｍの角運動量をX軸上の地点 から観測しよう。
原点から見た時のmの位置ベクトルは 運動量ベクトルは である。 Rから見た時のｍの位置ベクトルは となり角運動量は、 Ｙ Ｘ θ m R

94 復習 よって地点Rから見た時、mには見掛け上の力のモーメント が働き角運動量が刻々と変化する。 当然であるけれども、中心力により
運動する物体の角運動量は、 運動の中心（焦点）から測定した時に のみ保存する。 Ｙ Ｘ θ m R

95 復習 地 球 ｍ 地球の重力により、図の矢印の方向に運動する２つのシャトルを考えよう。シャトルAは北極から南極に貫くトンネルを通る。シャトルBは地表すれすれを一定速度で周回する。地球は真球であり、半径R、密度は均質な質量Mである。シャトルは質量ｍであり、十分小さい。 トンネルも十分小さい。地球中心を原点Oにとる。トンネルを貫く軸をY軸にとり、図のようなX-Y平面をシャトルは運動する。Z軸は紙面鉛直上向きが正である。空気の抵抗は考えないとする。 地球は自転していないとする。 時間ゼロでシャトルは北極点におり、 右回りとする。 北極点 Ｙ Ｙ (0,R,0) B (x,y,0) A A θ Ｘ O O

96 復習 地球とシャトルの間に働く力は、 だから、 である。 M= 5.974x1024 kg R= 6.37x106 m
　　　　　　だから、　　　　　　　　　である。 M=　5.974x1024 kg　　R= 6.37x106 m 計算すると　　ｇ　=9.81 m/s2 　である。 重力加速度は地表いたるところで一定であり、地球の中心方向を 向いているから、X-Y平面上では の形をしている。 加速度の大きさ 角速度は 周期は ケプラーの第三法則 =5060 s !

97 復習 速度の大きさは =7.9x103 m/s ! 運動量の大きさは 運動エネルギーは
もしシャトルの重さが１０トンだとすると、　E=3.1x1010 J ! 最後にシャトルの位置は、時刻ゼロで北極点、右回りだから =7.9x103 m/s !

98 復習 地球トンネルを動くシャトルの場合を考えよう。
(0,y,0)にいるシャトルに働くY方向の力は、(x,y,0)にいる周回シャトルが受ける力のy成分に等しい。 だから、運動の式は 　　　　　加速度は となる。これはバネの問題と同じである。

99 復習 式を解くまでもなく答えは求められて、 シャトルの位置は（y軸上） 速度は 運動量は 運動エネルギーは 周期は　

100 復習 地球トンネルを動くシャトルの運動のまとめ １．北極にいるときの 速度はゼロ、加速度の大きさは
　　速度はゼロ、加速度の大きさは ２．地球の中心で速度最大＝7.9x103m/s,これは周回シャトルの速度と同じ。加速度はゼロ。 ３．運動エネルギーは北極でゼロ、地球中心で最大 これは周回シャトルの運動エネルギーと同じ。 ４．北極から南極まで行って帰ってくるのに5060秒かかる。 これは周回シャトルの１周期と同じ。 ５．運動は往復周期振動運動。バネの運動と同じ。

101 復習 万有引力を見直してみよう。 地球の密度をρとすれば、 だから 地表での重力加速度は 地球トンネルのシャトルが感じる加速度の大きさは、
このことは、地球の中心から距離ｙにあるシャトルが受ける重力的力は地球と同じ密度を持つ半径ｙの球状物体から受ける力と同じであることを示している。

102 復習 問： 前ページの議論を参考にして、あなたが地球から受ける重力の大きさを中心からの距離の関数として下のグラフに描け。 TA3
問：　前ページの議論を参考にして、あなたが地球から受ける重力の大きさを中心からの距離の関数として下のグラフに描け。 TA3 R ０ 距離 重力の大きさ （半径）

103 復習 問：　半径Rの球が一様に帯電している場合を考える。 電荷総量はQである。球の中心からrの距離の電界強度Eを求めよ。 TA4

104 復習 問 質量mの小さな固い物質が等速度vで ｘ軸に平行に走っている。時刻ｔ＝0でＹ軸上 r0の地点に達したとき、青い固い巨大な壁に
ぶつかり、非常に小さい△ｔ秒間を要して反 射し、向きをＹ軸方向に変えて同じ速度vで 運動を続けたとする。 １）ｔ＜0のとき、物質の位置と運動量の ｘ、ｙ成分を書け。 TA5 ２）ｔ＞0のとき、物質の位置と運動量の ｘ、ｙ成分を書け。 TA1 ３）壁との衝突により物質ｍが受ける力積のｘ、ｙ成分を書け。 TA2 ４）ｔ＜0のとき、物質の角運動量の大きさと向きを書け。 TA3 ５）ｔ＞0のとき、物質の角運動量の大きさと向きを書け。 TA4 ６）壁との衝突により物質ｍが受ける力のモーメントの 衝突している時間の合計の大きさと向きを書け。 TA5

105 復習 問 質量mの小さな固い物質が等速度vで ｘ軸に平行に走っている。時刻ｔ＝0でＹ軸上 r0の地点に達したとき、青い固い巨大な壁に
ぶつかり、非常に小さい△ｔ秒間を要して反 射し、向きをＹ軸方向に変えて同じ速度vで 運動を続けたとする。 １）ｔ＜0のとき、物質の位置と運動量 ２）ｔ＞0のとき、物質の位置と運動量の ３）壁との衝突により物質ｍが受ける力積のｘ、ｙ成分を書け。 ４）ｔ＜0のとき、物質の角運動量の大きさと向きを書け。 　　　　　　紙面上向き

106 復習 問 質量mの小さな固い物質が等速度vで ｘ軸に平行に走っている。時刻ｔ＝0でＹ軸上 r0の地点に達したとき、青い固い巨大な壁に
ぶつかり、非常に小さい△ｔ秒間を要して反 射し、向きをＹ軸方向に変えて同じ速度vで 運動を続けたとする。 ５）ｔ＞0のとき、物質の角運動量の大きさと向きを書け。 ゼロ ６）壁との衝突により物質ｍが受ける力のモーメントの 衝突している時間の合計の大きさ（時間積分）と向きを書け。

107 中間テスト問題　2009年12月17日(木) ６．イギリスの天文学者エドモンド・ハレーが研究したハレー彗星は、公転周期75.3年、太陽への最近接距離8.8x1010 m、最遠方距離5.2x1012 mの長楕円軌道運動をする。ハレー彗星の感じる太陽重力は⑦であるから角運動量は⑧である。しかし回転半径は変化するから、ハレー彗星はコリオリ力を感じて軌道の線速度を変化させる。最近接距離にあるときの線速度は最遠方距離にあるときの線速度の⑨倍の5.5x104 m/sである。これは第二宇宙速度より大きいが、ハレー彗星は太陽系の外に飛び去る事はない。それは太陽がハレー彗星に及ぼす重力ポテンシャルエネルギーUの絶対値が大きくU+Kが⑩であるからである。

108 中間試験 １．日時： 12月１１日(木) ４，５限 ２．場所： 1331番教室 ３．試験範囲：講義・演習・宿題・教科書の8章までに学んだ範囲
期末1月22日 １．日時：　12月１１日(木)　４，５限　 ２．場所：　1331番教室 ３．試験範囲：講義・演習・宿題・教科書の8章までに学んだ範囲 ４．試験時間：90分程度 ５．注意： 　　・集合時刻厳守のこと 　　・途中退出は認めない 　　・全員受験必須 　　・資料持込不可 ６．期末テストは１月２２日予定、全範囲

109 ８．非慣性系 8．１　並進運動座標系 8．２　回転座標系

110 8－2回転座標系 角運動量保存則 中心力の場合、常に角運動量は一定であり保存する。 角度方向の速度を変化させる見かけ上の力が働く

111 8－2回転座標系 右図のように紐に質量ｍの物体をつけて回転運動をさせる。始め紐の長さは２bである。角速度はω0である。
１．物体ｍに働く力の大きさと向きを書け。 TA1 ２．物体ｍの速度の大きさと向きを書け。TA2 ３．物体ｍの運動量の大きさと向きを書け。TA3 ４．物体ｍの運動エネルギーの大きさを書け。 TA4 ５．物体ｍの角運動量の大きさと向きを書け。TA5 ６．紐を引っ張る力Ｔの大きさと向きを書け。 TA1 ω0 m 2b Ｔ

112 8－2回転座標系 次に中心方向に紐を引っ張って半径を半分のbにしたところ、角速度はωになった。 ω0 ７． ωを求めよ。 m 2b
８．物体ｍの速度の大きさは何倍になったか？ ９．物体ｍの運動エネルギーは何倍になったか？ １０．紐を引っ張る力Ｔの大きさは何倍になったか？ １１．運動エネルギーの変化を議論せよ。 ω0 m 2b Ｔ ω m b

113 8－2回転座標系 ７． 中心力は角運動量を変えないから、 ８．速度は から に2倍になった。 ω0 ９．運動エネルギーは４倍になった。 m
８．速度は　　　　　から　　　　に2倍になった。 ９．運動エネルギーは４倍になった。 １０．紐を引っ張る力Ｔの大きさは 　　　　　　　　　から　　　　　　　　へ8倍になった。 １１．運動エネルギーの変化： 半径をｒとすると、 張力は N 運動エネルギーはＷ仕事分だけ増加した。 ω0 m 2b Ｔ ω m b

114 8－2回転座標系 右図のように紐に質量ｍの物体をつけて角速度 ω0 ω0の回転運動をさせる。始め紐の長さは２bで m
ある。そして中心方向に紐を引っ張って半径 を半分のbにしたところ、角速度ωは4倍の、 4ω0になった。そして、線速度vは2倍の4bω0に なった。 あなたが、物体ｍの中に居るとしよう。 紐で引っ張られて中心方向に移動すると、上述の ように物体の移動速度が大きくなる。あなたは物理 を良く勉強しているので、物体ｍが進行方向に押さ れて速度が速くなったと思うだろう。しかし、実際は 物体ｍは中心方向にしか引っ張られていない。 不思議ではないか！ ω0 m 2b Ｔ ω m b

115 8－2回転座標系 時刻ｔにおいて物体は中心から位置ｒのところ にいるとする。そして一定速度-ｖで中心方向に 引っ張られているとしよう。 ω0
物体の角運動量が時間にたいして一定である特徴をつかって解析してみよう。 　　　　　　　　　　である。Ｌは時間に対して一定だから ω0 m r Ｔ ω m b

116 8－2回転座標系 は物体の回転方向の運動量の時間微分なので 回転方向に働く力である。 とは、回転方向に の力が働くことを意味している。
　　　　　　　は物体の回転方向の運動量の時間微分なので 回転方向に働く力である。 とは、回転方向に　　　　　　　　の力が働くことを意味している。 これを 　　　　　　　　　　　　　　　コリオリ　力 という。 コリオリ力によって回転方向の速度がどのように変化するかを調べよう。

117 8－2回転座標系 角運動量保存とは、 だから、 回転線速度の変化率は、 である。 上の関係式を用いると、
回転線速度の変化率は、　　　　　　　　　　　　　　　　である。 上の関係式を用いると、 となる。よって、紐が2bからbまでの線速度の変化分△（rω)は、

118 8－2回転座標系 だから、 であり、線速度の変化分△（rω)は、 紐が2bのとき、線速度は だったから、

119 8－2回転座標系 問 台風は地球規模の気象現象である。 低気圧に向かって風が猛烈に吹き込む。 台風の雲の渦巻きは左巻きである。
問　台風は地球規模の気象現象である。 低気圧に向かって風が猛烈に吹き込む。 台風の雲の渦巻きは左巻きである。 これはコリオリ力の効果だろうか考察 せよ。 TA2

120 8－2回転座標系 自転している地球の北極に棒を立てて 振り子を振らせる。じっと観察する。 重力は働く。摩擦はない。 振り子はどうなる？
TA3 θ mg Ｘ Y O 地 球

121 非慣性系：8－1並進運動座標系 一定の加速度aで水平に直線状に伸びたレールの上を+X方向に走行する電車の中で重さm長さlの振り子を振らせてみた。運動を解析しよう。 力は、 位置は 力のモーメントは 角運動量は、 θ mg Ｘ Y O

122 非慣性系：8－1並進運動座標系 だから、 よって運動の式は、 教科書の解説の式とずいぶん違う。 θ mg Ｘ Y O

123 非慣性系：8－1並進運動座標系 平衡条件は 振り子はθ0を中心に振動運動をする。 θ mg Ｘ Y O

124 非慣性系：8－1並進運動座標系 θ mg Ｘ Y O ついにこうなるので、目出度く教科書と一致する。 aが加わることにより、角速度大きくなる

125 電気電子工学科E2 物理学基礎・物理学基礎演習 中間テスト問題
問1　太陽の周りを真円軌道で回っている惑星Aがある。面倒くさい神様がトナカイにのって現れ、惑星Aを動径方向外側に惑星Aを押して太陽から遠ざけてしまった。そして神様は次のお客さんの所に去っていった。哀れ惑星Aは辛うじて太陽の周りを回ってはいるが軌道はどうなったのだろうか。 ① 以下の選択からあなたの候補一つを選んで丸を付けよ。 イ）真円　ロ）楕円　ハ）双曲線 ② そして選んだ理由を100字以内で書け。 真円を保って半径が大きくなると角運動量は大きくなる。力のモーメントが働かない場合角運動量は変化しない。太陽周りを回る条件と合わせると軌道は楕円になる。

126 電気電子工学科E2 物理学基礎・物理学基礎演習 中間テスト問題
問2　 　　　　　　　　　　　　と の二つの力がある。 あなたの好きな力を選んで解答欄に記入せよ。 ③ あなたが選んだ力が保存力か否かを答えよ。否 あなたの力を受け質量1の質点がx-y平面内の原点周り半径1の円周上を運動する場合を考えよう。時刻0で質点を に静かに置いた。 ④ 質点が円周上 にあるとき原点から見た質点に働く力のモーメント を求めよ。 ⑤ 質点が再び元の場所に戻ってきたときの角運動量 を求めよ。

127 電気電子工学科E2 物理学基礎・物理学基礎演習 中間テスト問題
問3　Nさん：赤道上から真上に10トンのロケットS号をドカンと打ち上げましょう。打ち上げ後すぐに速さが1 km/sになったときS号が感じるコリオリ力はどのくらいでどちら向きかしら？ F君：それは簡単、約 ⑥（750, 1500, 3000, 5000 [N] ）で ⑦（東　西　南　北　）向きです。Nさん：その後燃料は尽きたけれどS号は無事高度3万5786kmの静止軌道に達したわ。もしこのときの速さがどれくらい以上なら、ロケットは地球重力から永遠におさらばできるのかしら？F君：それは簡単だけど、地球の半径を教えて。Nさん：そんなことも知らないの。赤道半径は6378km、極半径は6357kmよ。F君：さすが、Nさん。それなら、約 ⑧（11000, 7500, 4500, 3500 [m/s] ）以上です。

128 電気電子工学科E2 物理学基礎・物理学基礎演習 中間テスト問題
問4　y軸下方に働く重力 によって長さlの紐につながれた質量mがx-y面内で振り子運動するとき、支点からみた角度θについての運動の式は 　　　　　　　　　である。振り子に働く力は中心力ではないから角運動量は時間変化する。最初 から静かに手を離したとき、 ⑨ 質点が　　　 に達したときの角運動量の大きさを書け。 ⑩ 粘性抵抗係数Cがあるとき、運動の式はどうなるか、上記微分式形式で書け。

129 電気電子工学科E2 物理学基礎・物理学基礎演習 中間テスト問題
問4　⑪ Cが臨界制動条件の値だとする。振り子の運動はどうなるか100字以内で説明せよ。尚、初期は、中期は、終期は、の言葉を必ず用いよ。 初期は振り子の速さが小さいのであたかも粘性抵抗力がないかのように振れ、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 中期は振り子を振る力と粘性抵抗力がつりあうところで速さが最大になり、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 終期は振り子の速さが時間単調減衰しながら振り子はθ=0の最下点に向かう。