初期宇宙の熱的非平衡過程 χ χ χ χ χ χ χ χ χ 横山順一 χ 東京大学 ビッグバン宇宙国際研究センター χ χ.

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2 初期宇宙の熱的非平衡過程 χ χ χ χ χ χ χ χ χ 横山順一 χ 東京大学 ビッグバン宇宙国際研究センター χ χ

3 the origin of everything!
Scalar fields could be the origin of everything! Large Homogeneous, Isotropic, & Flat Universe Density fluctuations & CMB Anisotropy Radiation Baryon Asymmetry Dark Matter Inflation driven by a scalar field called the Inflaton Quantum fluctuations of the Inflaton field Reheating by Inflaton’s decay Affleck-Dine scalar fields in SUSY？ Q-balls ？

4 INFLATION Reheating V[φ] BEGINNING?? slow rollover END?? Inflaton φ
Slow-roll phase is now probed by astronomical observations. V[φ] BEGINNING?? slow rollover END?? Λ Inflaton　φ Reheating But little is known about the beginning and end of inflation.

5 The Origin of the Hot Big Bang Universe
Reheating Processes After Inflation ＝Entropy Production through the decay of the Inflaton, a scalar field which drives inflation.

6 INFLATION V[φ] V[φ] φ φ Chaotic inflation Hybrid inflation
R2 inflation (conformal tr.) Chaotic inflation φ V[φ] １ Potential energy Slow rollover Exponential expansion Kinetic + potential energy Rapid field oscillation Preheating (parametric resonance) Reheating (perturbative decay) Hybrid inflation φ V Ψ Radiation dominated stage Reheating temperature The maximum temperature after inflation is much higher than the reheating temperature in general. The inflaton decays in a thermal bath. New/Topological inflation

7 超対称性理論： weak scaleの質量を持った多数のスカラー場を含む。 squark, slepton がバリオン数やレプトン数を破る 反応を起こすとバリオン・レプトン非対称の起源を 説明可能＝Affleck-Dine mechanism これらの場はハッブルパラメタがmass scaleまで 下がると振動を開始する。（温度～1010GeVの頃） 非対称はこれらの場が振動し、エネルギーを粒子に 散逸するときに生成する。

8 しかし、中には 悪さをするスカラー場もある Moduli： 他の場と重力の強さ(Planck-suppressed)でしか 相互作用しない。
　　相互作用しない。 ②グラビティーノと同程度の質量を持ち、元素合成後 　　に大量のエントロピーを出して崩壊する。

9 本講演 １ 熱浴（＝有限温度の輻射媒質）中を振動する スカラー場の挙動 ２ インフラトンの崩壊生成物が大きな熱的 質量を持つ場合
　　スカラー場の挙動 ２ インフラトンの崩壊生成物が大きな熱的 　質量を持つ場合 ３ モジュライのコヒーレント振動の早期崩壊 　　の可能性

10 Finite-Temperature Effective Potential
２の熱浴中でのインフラトンの崩壊に関する興味深い指摘 If the would-be decay product of the inflaton acquires a thermal mass which is larger than the inflaton’s mass, its decay is temporarily suspended. thermal mass Finite-Temperature Effective Potential (Linde 1985, Kolb, Notari, & Riotto 2003) other scalar particles or fermions thermal mass The decay rate of the inflaton to two massive particles with mass Decay rate to two massless particles. : the inflaton mass Phase space is closed and the scalar field cannot decay if would-be decay products have a thermal mass larger than !?

11 If so, thermal history after inflation is drastically changed.
Thermal history after preheating in conventional theory with field oscillation radiation φdominant radiation dominant conventional reheating φdecays completely at Reheat temperature

12 If inflaton’s decay rate vanishes at high temperature ,
thermal history is drastically changed. huge discrepancy discrepancy conventional reheating new reheating scenario φ decays gradually, keeping ρφ=ρr This would affect the relic abundances of gravitinos, superheavy particles etc.

13 しかし、 そこでまず、 熱的質量は本来の質量とは違うだろう。 スカラー場のコヒーレント振動はただの粒子とは違うだろう。
Nonequilibrium field theory for the oscillating scalar field The case decay products do not have any thermal masses. The case decay products have a large thermal mass. Assumptions & Conditions: ① Neglect cosmic expansion ② The would-be decay products of the inflaton are in thermal equilibrium at a fixed temperature. ③ The inflaton is in nonequilibrium and oscillating. ④ Parametric resonance ineffective (after the preheating stage, if any).

14 Closed Time Path Integral
１ 熱浴中を振動するスカラー場の挙動 Coherent field oscillation behaves almost classically. But its decay is of course a quantum process. Derive an effective equation of motion for the expectation value of the scalar field φ by calculating its effective action Γ(φ). Closed Time Path Integral Time ordered & anti-ordered product Heisenberg picture time flow cf Quantity calculated in ordinary quantum field theory: Transition Amplitude What fraction of the initial state goes to the final state? time flow Time ordered product

15 Model Lagrangian oscillating scalar field (inflaton) interacting field χ in a thermal state with temperature φ→χχ φ→ψψ

16 Closed Time Path Integral
Generating functional -branch +branch time Closed Time Path Integral Effective Action in terms of the Legendre Transform Field variables also have suffices ±, and + fields interact with – fields, although they should be regarded as the same field in the end.

17 Calculate the Effective action perturbatively.
using finite-temperature propagators in the closed-time path formalism represent interactions between and

18 Since and are identified in the end, it is more convenient to define
and set in the end. f Equation of motion

19 Its real part and imaginary part are mutually related.
From now on, I concentrate on the diagram related with the decay process induced by the interaction Its contribution is complex-valued which is a manifestation of the dissipative nature of this interaction. imaginary part Its real part and imaginary part are mutually related. Effective Action Since φ is a real scalar field, we cannot obtain a sensible equation of motion by the variation of such a complex-valued effective action Γ.

20 instability,dissipation
As we often encounter a complex-valued effective action or effective potential even for a real scalar field, there is a known prescription to obtain a real-valued equation of motion. instability,dissipation (Morikawa 88) ①　Introduce a real-valued random Gaussian auxiliary field 　　　 and rewrite the effective action as including a path integral of ②　　　　 is a probability distribution function defined by Gaussian with a dispersion ：the imaginary part of the effective action

21 （N.B.）　If we performed path integral over using Gaussian integral,
we would recover the original complex-valued effective action.

22 The expectation value of the scalar field evolves according to
③　Here we take variation of the effective action as it is. , Manifestly real-valued equation of motion! Auxiliary field is treated as a random Gaussian noise with a dispersion ④　Equation of motion: a Langevin equation auxiliary stochastic field quantum correction Memory term depending on the past Real part of the effective action: Deterministic terms in EOM Imaginary part of the effective action governs a Stochastic Noise term. The expectation value of the scalar field evolves according to the above Langevin equation.

23 multiplicative noises and dissipation terms.
f (N.B.) If we incorporate other diagrams, the Langevin equation has both additive and multiplicative noises and dissipation terms. multiplicative noise

24 The Langevin eq. can easily be solved via Fourier transform.
spatial Fourier transform temporal Fourier transform pure imaginary real General solution The memory of the initial condition is erased after

25 Inflaton’s dissispation rate is given by evaluated at .
So we calculate using destruction terms creation terms

26 The dissipation rate of the homogeneous mode ( ) has a simple form
This δfunction vanishes if One particle decay rate in the vacuum Induced emission at high temperature This dissipation rate vanishes if Decay rate through Yukawa coupling Pauli blocking Cf The decay rate to fermions is suppressed by Pauli blocking. f

27 ２ インフラトンの崩壊生成物が大きな熱的質量を持つ場合
Does this apply to the large thermal mass as well? Does the dissipation rate vanish if ? In our scheme, thermal mass is included in , if we incorporate the finite-temperature self energy of χ, Σ(T ), in its propagator, because is determined by the pole of the propagator …. Σ ＝　　　　　＋　　　　　　　＋　　　　　　　　　　＋　　　　　　　　　　　　　……　　 Full or ‘dressed’ propagator original Resummation

28 self energy due to χ’s interaction
Full propagator in the Matsubara representation self energy due to χ’s interaction Σ ＝　　　　　＋　　　　　　　＋　　　　　　　　　　＋　　　　　　　　　　　　　……　　 includes a thermal mass term such as which depends on the nature of χ’s interaction. Apparently, high-temperature effect closes the phase space of φ’s decay. 0 ?

29 However, contains an imaginary part as well,
and the full propagator has a complex phase. Then the δ function is replaced by the Breit-Wigner form It is nonvanishing even when

30 Dissipation rate of the zero mode coherent field oscillation of the inflaton φ
for When , the dissipation rate reads It is nonvanishing and proportional to Imaginary part of self energy dissipation rate of the decay product χ, not the inflaton φ. It depends on interaction of χ which thermalizes it.

31 For example, if χ thermalizes through interaction,
we find for the imaginary part of χ’s self energy. (Hosoya & Sakagami 84) As a result, the dissipation rate of the inflaton φ is given by suppression factor depending on the form of coupling constants in general. for dissipation rate to massless particles at high temperature The dissipation rate of the inflaton oscillation is finite even when its decay product, χ, acquires a larger mass than the inflaton in a high temperature plasma.

32 Reheating process is not suspended even when the decay product of
the inflaton has a larger thermal mass. It is even possible to complete reheating in this regime in principle. suppression factor reheat temperature when inflaton decays to massless particles Consistency condition This result, however, strongly depends on the nature of χ’s interaction which controls the imaginary part of its self energy.

33 Thermal History after inflation (after preheating)
actual thermal history suppressed by coupling constants of the decay product conventional in case thermal mass prohibits decay

34 actual thermal history
ここまでのまとめ Reheating process in a high temperature environment proceeds in a nontrivial way. Not only the thermal mass, namely real part of the self energy, but also its imaginary part of the would-be decay product, ,plays an important role. When , the reheat temperature is suppressed by a power of coupling constants which thermalizes the decay product χ. supermassive particles could be created. actual thermal history gravitino abundance depends on the physics of decay products. conventional in case thermal mass prohibits decay

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36 ３ モジュライのコヒーレント振動の早期崩壊の可能性
しかし、中には 悪さをするスカラー場もある

37 Superstring,　Supergravity：
何もしないとポテンシァルを持たず、安定化させるのに 苦労するスカラー場が多数ある。Flat Direction. 　　　　　　　　　　　Dilaton 　Moduli 超対称性の破れた現在の真空では、グラビティーノ程度 の質量を持ってポテンシァルの最小点が決まっていて、 そこに落ち着いている、、、、と思うことにしよう。 しかし宇宙初期、とくにインフレーション中はこれらは 最小点から離れたところにいた。

38 モジュライのポテンシァルの変化 ポテンシァルを持たず、超対称的な真空 φ インフレーション中、通常ハッブルパラメタに
比例した質量を持ち、安定化。 （インフレーション中は大きな真空の エネルギーにより超対称性破れる） φ 超対称性が破れると現在の最小点が 現れる。 一般に、インフレーション中の値と最終的な 値のズレはプランクスケール程度である。 φ

39 モジュライのポテンシァルの変化 ポテンシァルを持たず、超対称的な真空 φ インフレーション中、ハッブルパラメタに比例
した質量を持たない状況では、量子揺らぎ によって大きな振幅を得る。 φ 超対称性が破れると現在の最小点が 現れる。 一般に、インフレーション中の値と最終的な 値のズレはプランクスケール程度である。 φ

40 モジュライの進化 しかし、超対称性が破れた後すぐに最小点に 落ち着くわけではなく、ハッブルパラメタ が
落ち着くわけではなく、ハッブルパラメタ　　が モジュライ質量すなわちグラビティーノ質量　　　 程度になるまでは、ずれた値を持ち続ける。 φ になると、最小点の周りを振動する。 これはインフレーション後の再加熱期のインフ ラトンの振動と同様な、スカラー場のゼロモード のコヒーレントな振動である。 φ

41 モジュライの進化 になると、最小点の周りを振動する。 これはインフレーション後の再加熱期のインフ
ラトンの振動と同様な、スカラー場のゼロモード のコヒーレントな振動である。 φ このようなコヒーレントな場の振動はモジュライ粒子φの崩壊率で散逸する。 しかし、モジュライは他の場と重力の強さでしか結合していないため、グラビ ティーノと同じように長寿命である。 たとえば　　　　　　　　　　で　　　　　として （　は標準模型中のスカラー場） 元素合成後に崩壊してエントロピー 生成を起こしてしまう。 はreduced Planck scale

42 グラビティーノやモノポールは インフレーションによって薄められるが、 モジュライのコヒーレントな振動は インフレーション後に発生するので、 通常のインフレーションは役に立たない。

43 モジュライの進化 になると、最小点の周りを振動する。 これはインフレーション後の再加熱期のインフ
ラトンの振動と同様な、スカラー場のゼロモード のコヒーレントな振動である。 φ 輻射優勢 の頃の宇宙の温度は　　　　　　　　　　　　　　　程度であり、 まだまだ高温である。

44 は真空中で計算した崩壊率である。有限温度では変化する。
たとえば　　　　　　　　　　という相互作用によるボソンχへの崩壊において、 χが熱平衡状態にあったとすると、誘導放出により、 程度に増幅されるが、 なので役に立たない。

45 一般にModuliは運動項とも結合する。
などの相互作用がある。 これまでの考え方では、　　　　　　　　により、運動項との結合も　　　　　　　　　 と同様、　　　　　　程度の崩壊率しか与えないと考えられてきた。 しかし、χは熱浴中で他の場と相互作用し、熱的質量　　　　　　　　　をもつ。 を　　　　で置き換えられるとすると、Moduliとχの結合はずっと強くなる。

46 崩壊生成物が大きな熱的質量を持つことによる
による崩壊率は　　　　　　　　　　　　程度になるはずで、 崩壊生成物が大きな熱的質量を持つことによる 大きく増幅される。 とすると、　　　　　　　　 になる。 がみたされるとModuliは振動を始めた 途端に散逸してしまう。 つまり、熱浴の効果を考えると、Moduli問題ははじめからなかった ということになる、、、、かもしれない？

47 これまで述べた直観的な結論が正しいか 非平衡系場の理論を用いて解析する。
Moduliのゼロモードは、質量mを持ち、最小点の周りを振動している非平衡状態にあるとする。 宇宙はまだ輻射優勢であるとする。 Moduliと結合している場χは、輻射温度Tの 熱平衡状態にあるとする。 散逸率の大きい場合に興味があるので、宇宙膨張は無視する。

48 いま興味のある微分結合のループをEffective actionに取り入れる。
実線はφ 二重線はχ を表す。 Equation of motion

49 散逸系なので、φのEffective actionは複素数になる。
実部と虚部は互いに関係しあっている。 先ほどと同じ処方で運動方程式が求められ、散逸率もC のフーリエ変換で求められる。

50 モジュライの散逸率は に　　　　　　　を代入したものである。
そこで、　　　　　　　　　　　　　　　を計算する。 ただし χが熱的状態にあることを正しく取り入れるためには、propagator として、有限温度でのself energyを取り入れ、resummationした full propagatorを用いなければならない。

51 self energy due to χ’s interaction
Σ ＝　　　　　＋　　　　　　　＋　　　　　　　　　　＋　　　　　　　　　　　　　……　　 Full or ‘dressed’ propagator original Resummation Full propagator in the Matsubara representation Σ ＝　　　　　＋　　　　　　　＋　　　　　　　　　　＋　　　　　　　　　　　　　……　　 self energy due to χ’s interaction

52 今のモデルでは χ は という相互作用によって熱化するので、
χのself energyの虚部は となる。 その結果 直観的には だった。 とすると、 になり、まずまずの値である。

53 ここまでのまとめ 熱浴中の崩壊を真面目に考えることによって モジュライのコヒーレント振動を効率的に散逸 させられそうである。
温度が高いほど効率的である。 しかし、温度が高いとグラビティーノ同様熱的散乱によって生成される ものも出てくる、という問題はある。

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55 全体の結論 初期宇宙は有限温度・有限密度系 であることを忘れてはならない。