Scilab で学ぶ 　わかりやすい数値計算法 舞鶴高専 電子制御工学科　川田 昌克.

Presentation on theme: "Scilab で学ぶ 　わかりやすい数値計算法 舞鶴高専 電子制御工学科　川田 昌克."— Presentation transcript:

1 Scilab で学ぶ 　わかりやすい数値計算法 舞鶴高専 電子制御工学科　川田 昌克

2 本書 　で何を学ぶのか？

3 非線形方程式は解けるのか？ 非線形方程式 の解 曲線　　 と 軸が交わる点

4 線形方程式（1 次方程式） 直線　　 と 軸が交わる点 解ける！ 解析的に解ける（解析解） 　　または 厳密に解ける　（厳密解）

5 非線形方程式（2 次方程式） 曲線　　 と 軸が交わる点 解の公式 により 解ける！

6 非線形方程式（3 次方程式） カルダノの公式 により 解ける！

7 非線形方程式（4 次方程式） フェラーリの公式 により 解ける！

8 非線形方程式（5 次方程式） 解けない 残念ながら，5 次以上の場合 解析的 (厳密) には アーベル (19世紀)

9 3 次方程式の解の公式： 2 次方程式の解の公式（虚数解を除く）： 古代バビロニア（数千年前） 最初に見つけたのは，スキピオーネ・
　古代バビロニア（数千年前） 3 次方程式の解の公式： 　最初に見つけたのは，スキピオーネ・ フェロ（イタリア　1465～1526）だった といわれているが，フェロの解法は現在 伝わっていない． 　当時，数学者同士が難問を出し合う一種の試合が流行し ており，数学者は見つけた事実をすぐに発表せず，次の試 合に備えて多くの問題を予め解いて，秘密にしておくのが 普通であった．フェロも，解法を秘密にしているうちに死 んでしまったのだと考えられる．

10 　現在，カルダノの公式と呼ばれている解法は，フォンタナが発見したものである．当時の慣習通り，フォンタナもこの解法を秘密にしていたが，カルダノに懇願され，他には公表しないという約束で，カルダノに解法を教えた．ところが，カルダノは 1545 年に出版した書物の中で，まるで自分の手柄であるかのように，フォンタナの方法を開示してしまったため，以後，カルダノの方法と呼ばれるようになった．フォンタナは抗議したが，後の祭りであった． 二コロ・フォンタナ （イタリア　1506～1557） ジローラモ・カルダノ （イタリア　1501～1576）

11 4 次方程式の解の公式： 5 次以上の方程式の解の公式：
　カルダノの書物に，自分の手柄のように発表されているが，発見したのは，弟子のフェラーリであるといわれている． 5 次以上の方程式の解の公式： 　アーベルにより存在しないことが証明された． ニールス・アーベル （ノルウェー　1802 ～1829 ） ロドヴィーコ・フェラーリ （イタリア　1522～1565）

12 ほとんどの場合，非線形方程式 　は解析的 (厳密) に解くことはできない 計算機（コンピュータ） 　を駆使して，数値的 (近似的) に解こう！

13 本書 で何を学ぶのか？ 解析的 (厳密) には解けない数学の問題 を計算機（コンピュータ）を駆使して， 数値的 (近似的) に解くための
　で何を学ぶのか？ 解析的 (厳密) には解けない数学の問題 　を計算機（コンピュータ）を駆使して， 　　数値的 (近似的) に解くための 　　　手法 (アルゴリズム) を学ぶ

14 本書 　で何を学ぶのか？ 数値解析 数値計算

15 さらに・・・ 　Scilab (サイラボ) を利用した 　プログラミングを行う

16 Scilab とは・・・ 　INRIA (フランス国立コンピュータ科学・制御 　 研究所) で開発された数値計算用ソフトウェア 　フリーウェアでかつ高機能 　市販のソフトウェア MATLAB (圧倒的なシェアを 　 誇るが，高価である) のクローン 　グラフを描くのが容易 　行列の取り扱いが容易 　for, while, if などの制御文も利用可能 　インタプリタであるため，コンパイルの必要がない 　様々な便利な関数があらかじめ用意されている

17 --> plot(x,exp(-x).*sin(10*x));
Scilab とは・・・ --> x = 0:0.01:10; --> plot(x,exp(-x).*sin(10*x));

18 それでは， 　本書で取り扱う 　数学の問題 の概要を説明します

19 取り扱う数学の問題（その１） 非線形方程式を解く問題 　2 分法 　ニュートン法 　ベアストウ法

20 アイザック・ニュートン （イギリス　1642～1727 ） 運動 3 法則 万有引力の法則を確立

21 連立 1 次方程式を解く問題 取り扱う数学の問題（その２） の場合，クラーメルの公式を利用して，
計算機で厳密解を求めと，約3,000年の時間を要する 　ガウスの消去法 　ヤコビ法

22 ヨハン・カール・ フリードリヒ・ガウス （ドイツ　1777～1855 ） カール・グスタフ・ ヤコブ・ヤコビ （ドイツ　1804～1851 ） 最小二乗法 ガウスの定理（電磁気） ヤコビ行列（ヤコビアン）

23 取り扱う数学の問題（その３） データを関数で近似する問題 　ラグランジュ補間 　スプライン補間 　最小二乗法

24 ジョゼフ・ルイ・ラグランジュ （イタリア　1736～1813 ） ラグランジュ力学

25 取り扱う数学の問題（その４） 定積分を求める問題 　台形公式 　シンプソンの公式

26 取り扱う数学の問題（その５） （非線形）微分方程式を解く問題 　オイラー法 　ルンゲ・クッタ法

27 レオンハルト・オイラー （スイス　1707～1783 ） オイラーの公式