線形代数学 ４．行列式 吉村　裕一.

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1 線形代数学 ４．行列式 吉村　裕一

2 4.1 面積、体積(1) 平面 上の二点A,Bをとるとき、座標原点Oと結ぶ線分OA、OBの位置ベクトルを以下のように表す。
4.1　面積、体積(1) 　　平面　　上の二点A,Bをとるとき、座標原点Oと結ぶ線分OA、OBの位置ベクトルを以下のように表す。 今Sの面積を　　　の関数と考え、 と表し、以下のような性質を持つ (ⅰ)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(ⅱ)任意のλに対して (ⅲ)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(ⅳ)

3 4.1　面積、体積(2) 行列式の表し方 任意の に対し であるので よって と求まる。３次の行列式についても同様にして求めることができる。

4 4.2 行列式（1） ・行列式の定義 n次正方行列Aに対する行列式を次のように定義する この行列式は次の性質をみたす関数として定義する
4.2　行列式（1） ・行列式の定義 n次正方行列Aに対する行列式を次のように定義する この行列式は次の性質をみたす関数として定義する １　(交代性)任意のi≠jに対し ２　(多重線形性)任意のiに対し ３　(単位の定義)単位行列Iに対し

5 4.2 行列式（2） 主な定理 (ⅰ) n個の列ベクトルのどれか２つが等しければ、行列式は０である。 (ⅱ) λをスカラーとするとき
4.2　行列式（2） 主な定理 (ⅰ)　n個の列ベクトルのどれか２つが等しければ、行列式は０である。 (ⅱ)　λをスカラーとするとき (ⅲ)　任意のスカラーλと任意のi≠jに対し　　を　　　　　　でおきかえても行列式の値は変わらない。 (ⅳ)ｎ次行列式はAの関数として唯１つ存在しその形は (ⅴ)

6 備考 は(1 2 ･･･ n)を　　　　　　　に並べ替える のに必要なだけ(－１)のべきを作ったもの 例：

7 4.2 行列式（3） (ⅵ) n個のn次元ベクトル の関数 が行列式の定義の条件のうち が成立する。 １ (交代性)任意のI≠jに対し
4.2　行列式（3） (ⅵ)　n個のn次元ベクトル　　　　　　の関数　　　　　　　　が行列式の定義の条件のうち　 １　(交代性)任意のI≠jに対し ２　(多重線形性)任意のIに対し をみたしているとき、 が成立する。

8 4.2　行列式（3） サラスの方法

9 4.3 行列式とその性質(１) 余因子 定義：行列式detAにおいて を交差点とする行ベクトルと列ベクトルを除いて 作る小行列を
4.3　行列式とその性質(１) 余因子 定義：行列式detAにおいて　　を交差点とする行ベクトルと列ベクトルを除いて　　　　　　　　作る小行列を 赤枠部分を除いて作った行列 とし、それに（i,j)に対応する符号　　　　　　をかけたものを とおき、detAの（i,j)-余因子（または余因数）といいこれを用いてdetAを以下のように表せる。

10 4.3 行列式とその性質(2) 余因子を並べて作った行列を とおき、Aの余因子行列という。また、detA≠0ならAは正則であり、
4.3　行列式とその性質(2) 余因子を並べて作った行列を とおき、Aの余因子行列という。また、detA≠0ならAは正則であり、 逆行列　　を次のように表すことができる。 また、連立一次方程式 において、係数行列Aの行列式が0でないならば解xは以下の式より求まる。 ：Aの列ベクトル

11 4.4 行列の積と行列式(1) (1) ２つのn次正方行列A、Bに対し (2) Aが正則ならdetA≠0
4.4　行列の積と行列式(1) 定理 (1)　　２つのn次正方行列A、Bに対し (2)　　Aが正則ならdetA≠0　　 (3)　　Aを(m,n)-行列､Bを(n,m)-行列としたとき(m,m)-行列AB　　　　の行列式は (i) m>nならば　det(AB)=0 (ii) m<nならば　det(AB)=

12 4.4 行列の積と行列式(2) が一次独立であるためにはグラム行列式が0でなければいけない。 グラムの行列式
4.4　行列の積と行列式(2) グラムの行列式 m個のｎ次元ベクトル　　　　　　 にたいして次の行列式をグラムの行列式という。 　　　　　　が一次独立であるためにはグラム行列式が0でなければいけない。

13 宿題 1．次の行列式を計算せよ。 2．次の行列は正則かどうか調べ正則であるならば逆行列を調べよ。 3．行列式を用いて次の方程式を解け