ディジタル信号処理 Digital Signal Processing

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1 ディジタル信号処理 Digital Signal Processing
補講 周波数領域表現

2 周波数領域表現 交流信号をベクトルを用いて表現
ｖ（ｔ）=ａ･cos（ωｔ+θ） 単位回転ベクトル；exp（ｊωｔ） ｖ（ωｔ）=ａ･exp｛ｊ（ωｔ+θ）｝ 　　　　　=ａ･exp｛ｊθ｝･ exp｛ｊωｔ｝ 　　　　　=Ａ･ exp｛ｊωｔ｝ オイラーの公式 Ａ=ａ･（cosθ+ ｊsinθ） exp｛ｊωｔ｝= cos ωｔ+ ｊsin ωｔ

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4 だから ａ･cos（nωｔ+θ） =1/2[ａ･exp｛ｊ（nωｔ+θ）｝+ａ･exp｛-ｊ（nωｔ+θ）｝] ａ･sin （nωｔ+θ）
　=1/2j [ａ･exp｛ｊ（nωｔ+θ）｝-ａ･exp｛-ｊ（nωｔ+θ）｝] 正弦波を離散信号化すると正の周波数成分と負の周波数成分が対（共役）になって現れる 解析には回転ベクトル表記を用いる

5 離散時間信号の周波数領域表現 フーリエ級数展開
周期Ｔの周期信号ｆ（ｔ）を展開すると（2．4）式 ｆ（ｔ）=Σ Δ(k) eｘｐ｛ｊｋωｔ｝････k=-∞～+∞ 　　　　　　　　　　　　　　ω=2π/Ｔ Δ(k)は角周波数ｋωにおける複素振幅・・・・スペクトラム スペクトラムを式で表すと（2．5）式 Δ(k)=1/T∫ｆ（ｔ） eｘｐ｛-ｊｋωｔ｝dt

6 脱線 用語は何国語 スペクトル・・・仏語 スペクトラム・・・英語 脱線終わり

7 仮定 離散時間信号が周期信号とする サンプリング時刻 ｔ=０，Ｔ，２Ｔ，･･･（N-1）Tのｎ個のデータで１周期・・・周期NＴ

8 離散時間信号のスペクトラム Ｘ*（ｋ）=1/ＮＴ∫0NT x*(t)exp{-jkωｔ/N} ｄｔ
=1/ＮＴ∫0NT x(t)δ（t-nT）exp{-jkωｔ/N} ｄｔ =1/ＮＴ∫0NT x(nT)δ（t-nT）exp{-jkωT/N} ｄｔ =　・・・・・・ =1/ＮＴΣ∫nT-0nT+0 x(nT)δ（t-nT）exp{-jkωnT/N} ｄｔ =1/ＮＴΣx(nT)exp{-j2πkn/N}

9 離散時間信号のスペクトラムを用いて離散時間信号を書き改めると
ｘ*（ｔ）=ΣＸ*（ｋ）eｘｐ｛jkωt/N｝ 周波数　0（直流）の成分，±ω/N（基本波：正弦波）の成分，　±２ω/N（第2高調波）の成分，±3ω/N（第3高調波）の成分，±4ω/N （第４高調波）の成分，・・・・が含まれる たとえば、横軸角周波数，縦軸成分の大きさ（スペクトラムの絶対値｜x*｜）として図示すると，０を中心に左右に対称に現れる

10 簡単にいうと 正弦波・・・・ ±ω/N のふたつの（角）周波数成分（ 直流が乗っていれば０の成分もある ）
矩形波、鋸歯状波、三角波などの顕著な繰り返し波形・・・・高調波はリズミカルに低減する 普通（？）の繰り返し波形・・・・高調波成分の大きさは増えたり減ったり 繰り返しとはいいにくいけどという場合は・・・・フーリエ変換を使わずにウエーブレット変換

11 脱線 ケプストラム（Cepstrum ） 信号のスペクトラムを信号と見なしてフーリエ変換 (FT) した結果である。“spectrum” の最初の4文字をひっくり返した造語。 （信号の）ケプストラムとは、（信号の）フーリエ変換の対数（位相アンラッピングを施したもの）をフーリエ変換したものである。スペクトルのスペクトルとも呼ばれる。

12 脱線 ウェーブレット変換 周波数解析の手法の一つ。
基本的には、小さい波（ウェーブレット）を拡大縮小、平行移動して足し合わせることで、与えられた入力の波形を表現しようとする手法。 ある信号が与えられた時に、時間的に局在した周波数成分を知りたい場合でも、フーリエ解析においては、サイン波、コサイン波を拡大縮小して足し合わせることで入力を表現しようとしていたが、波が局在化していないため、時系列の情報が失われていた。

13 ウェーブレット変換（脱線続き） 基底関数として、ウェーブレット関数を用いる。
フーリエ変換によって周波数特性を求める際に失われる時間領域の情報を、この変換においては残すことが可能である。 フーリエ変換でも窓関数を用いる窓フーリエ変換で時間領域の情報は残せたが、窓幅を周波数に合わせて固定する必要があるため、広い周波数領域の解析には向かなかった。

14 フーリエ級数の例 矩形波 周期２π 振幅１ デューティ50%

15 矩形波 周期　　２π 振幅　　0.5 直流分　0.5 デューティ　a/π×100%

16 矩形波 周期　　２π 振幅　　１ 直流分　０ デューティ　　50%

17 矩形波 周期　　Ｔ 振幅　　１ 直流分　０ デューティ　　50%

18 鋸歯状波 周期　２π 振幅　１ 直流分　０

19 三角波 周期　２π 振幅　　π 直流分　０

20 WEB検索 繰り返し波形の級数展開について調べてみよう

21 脱線 ことばあそび（回文） 「予想（よそう）」がはずれて「嘘よ（うそよ）」 「薬（くすり）」をまちがえると「リスク」
一文字言葉は・・・・ 蚊は蚊，新聞紙 このみくんさんねんさんくみのこ 「予想（よそう）」がはずれて「嘘よ（うそよ）」 「薬（くすり）」をまちがえると「リスク」 「白雪（しらゆき）」もいずれ「消ゆらし」 「Peach」の航空券は「cheap」

22 おもしろかった

23 ここまで ごきげんよう