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10. 積分 積分・・確率モデルと動学モデルで使われる この章は計算方法の紹介 積分の定義から
不定積分で定義すると「微分積分学の基本定理」が定義になってしまう
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(定)積分の定義 の関数 刻みが細かくなるほど大きくなる 刻みが細かくなるほど小さくなる
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(定)積分の定義 刻みを小さくしたときの極限が等しいとき つまり、上の上限=下の下減のとき積分可能 リーマン積分の定義
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積分の性質
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ルベーグ積分 横軸で切って集めるのがリーマン積分で、縦軸で切ってに集めるのが、ルベーグ積分
刻み幅を細かくすると、上は、小さくなり、下は大きくなる 上の下限=下の上限がルベーグ積分の定義(片方が収束すれば他方も同じ値に収束する)
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ルベーグ積分の特長 行儀のいい関数ならルベーグ積分もリーマン積分も同じ 多くの関数が積分できる 極限を取るときに便利
無理数で0、有理数で1の関数は、リーマン積分不可能だが、ルベーグ積分は0 極限を取るときに便利
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部分積分 積の微分公式 積分する
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部分積分の例 1
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部分積分の注意 使うごとに積の微分の公式を積分すればいいので、覚える必要はない 符号がよく変化するので注意
正の関数を積分して負になる場合は、計算が違っている。
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置換積分 厳密に増加的で微分可能 逆関数
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置換積分の注意 積分の上限と下限に注意 厳密に単調減少でも同様にできるが、上限と下限は、一層注意 公式を覚えるより出てくるごとに考える
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置換積分の例
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2変数関数の積分
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積分領域が長方形でない場合 x y
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2変数の置換積分
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2変数の置換積分の例
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2変数の置換積分の例
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