ボース・アインシュタイン凝縮体(BEC) における粒子生成： 曲った時空上の場の量子論とのアナロジー

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1 ボース・アインシュタイン凝縮体(BEC) における粒子生成： 曲った時空上の場の量子論とのアナロジー
栗田泰生（関学理工） 共同研究者 小林未知数（東大理） 石原秀樹（阪市理) 森成隆夫（京大基研） 坪田誠（阪市理） 市大コロキウム　2008年5月23日

2 目次 曲がった時空上の場の量子論（粒子生成） 時空のアナロジーとは何か？ ボース・アインシュタイン凝縮体（BEC) BECを用いたアナロジー
実験による検証を目指して まとめ

3 1. Introduction

4 曲った時空上の場の量子論 特徴： 時空がダイナミカルに変化 ⇒ 粒子生成 曲がった時空上の場の理論が検証されたことは一度もない。
研究背景 曲った時空上の場の量子論 特徴：　時空がダイナミカルに変化 ⇒ 粒子生成 WMAPによるＣＭＢ 例１ ・インフレーションなどの宇宙膨張 　　　　⇒ 量子ゆらぎの生成 例２ ・星の重力崩壊でブラックホール形成 　　　　⇒　Hawking 輻射 曲がった時空上の場の理論が検証されたことは一度もない。

5 Hawking 輻射 古典的にはブラックホールからは外へは何も出てこない。
Introduction Hawking 輻射 古典的にはブラックホールからは外へは何も出てこない。 量子論的には、熱輻射が出てくることがある。（Hawking 輻射） 輻射の温度は、 (Hawking 温度) （　　はブラックホール表面での重力加速度） で与えられる。 重力崩壊などのダイナミカルな過程で静的なブラックホールが形成されたとすると、 そのブラックホールは熱的なスペクトルの輻射（Hawking 輻射）を放出します。 So, what is Hawking radiation? This is one of main topics in this talk and I would like to talk about some basic facts. Let’s consider a dynamically formed black hole. Classically, it can not emit anything. This is nothing but a definition of black hole. However, if we consider quantum theory of matter field on BH spacetime background, BH can emit quantum radiation of the matter field. Furthermore, if, initially, the quantum state of the field is in vacuum, then the spectrum of the radiation will be completely thermal. This is Hawking radiation. Actually, BH can absorbs light with any wavelength and is a complete black body. So it is natural that if BH emits radiation, the spectrum is thermal. The temperature of the Hawking radiation is determined, like this. This temperature is called Hawking temperature. Here, kappa is surface gravity, or equivalently, gravitational acceleration at the surface of the black hole. c is the speed of light and k-B is the Boltzmann constant.

6 Hawking 温度 曲がった時空上の場の理論が検証されたことは一度もない。 典型的な Hawking 温度 太陽質量 ブラックホール質量
Introduction Hawking 温度 天文学的ブラックホールからの Hawking 輻射を見ることは絶望的 典型的な Hawking 温度 太陽質量 ブラックホール質量 実際に宇宙にあると考えられているブラックホールはもっと重い。 CMBの温度よりもずっと低い! Let’s estimate temperature of the Hawking radiation emitted from a black hole having one solar mass. The temperature will be 6.2 times 10 to the minus eight Kelvin. Extremely low temperature ! This denotes the one Solar mass. Then, as you see, higher mass means lower temperature so if you want to consider hotter BH, you should imagine smaller mass BH. However, astronomical black holes will be much more heavier than the solar mass, so this will be upper bound. Note that this temperature is lower than the temperature of CMB! Therefore, it seems to be impossible to detect Hawking radiation from astronomical black holes. 曲がった時空上の場の理論が検証されたことは一度もない。

7 アナロジー Unruh PRL (1981) 曲った時空上の場は、流体上の励起場（音波）と似ている。 調べてみると、従う方程式も同様である。
Introduction アナロジー Unruh PRL (1981) 曲った時空上の場は、流体上の励起場（音波）と似ている。 調べてみると、従う方程式も同様である。 したがって、曲った時空上の場の理論の予言は、流体上の音波にも当てはまると期待される。 　　　　⇒　流体を用いて、曲った時空上の場の量子論を検証しよう！

8 ブラックホール熱力学 一般相対論を用いて調べると、ブラックホールは熱力学法則に類似した性質を持つ．
Classical 一般相対論を用いて調べると、ブラックホールは熱力学法則に類似した性質を持つ． (0): ブラックホールの表面重力加速度　　は、horizon上で一定． (1): (2): ブラックホールhorizonの面積 は減少しない． 曲った時空上の場の量子論 　　　Hawking 輻射 Quantum Surprisingly, black hole is a thermodynamic object. In classical theory, or in general relativity, it can be shown that black hole obeys analogous thermodynamic laws. These are analogous zero-th law, first law and second law, Let’s begin with second law. The area of black hole horizon does not decrease. So, the horizon area is similar to entropy. The above relation is analogous to thermodynamic first law. M is mass of black hole, kappa is surface gravity, that is, gravitational acceleration at the horizon, A is area of the horizon and G is gravitational constant. Phi is electric potential and Q is electric charge, Omega is angular velocity at the horizon and J is angular momentum. From analogous second law, A seems to be entropy and so, kappa may be temperature. Kappa is constant over the horizon. This corresponds to thermodynamic zero-th law, that is, in thermal equilibrium, temperature is constant. These analogous relations are consequences of classical theory of gravity, but if we consider quantum theory of matter field, these analogous thermodynamic relation becomes actual ones. Hawking shows that, by considering quantum effect of matter field, black hole emits thermal radiation. And its temperature is given like this! So, from the analogous first law, we can see the black hole entropy is given like this. Anyway, Hawking theoretically predicted that black hole is thermal object. : ブラックホールエントロピー ブラックホールは熱的！

9 粒子生成について：１ スカラー場 の運動方程式： 時空の情報が必要 方程式の解の中で
スカラー場　　の運動方程式： 時空の情報が必要 方程式の解の中で Klein-Gordon 内積に関して正規直交となる関数系　　　　を用意する。 Klein-Gordon 内積： Now, I would like to explain some feature of quantum field theory on curved spacetime. Quantum field on curved spacetime is expanded in terms of mode functions like this, because, these mode functions make up a complete set. Equivalently, these are orthonormal basis for some inner product defined on some time constant surface. These mode functions are usually obtained by solving field equation, that is equation of motion for the field Phi. Here, the differential operator includes spacetime information and mode functions depends on spacetime. 量子場をモード関数　　　で展開 展開係数が生成・消滅演算子

10 粒子生成について：２ 初期の真空状態： 初期の時空 時空がダイナミカルに時間発展 最終的な時空 時間発展により時空計量は変化する
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 初期の時空 時空がダイナミカルに時間発展 最終的な時空 時間発展により時空計量は変化する 初期の真空状態： 一般に終状態での number op.の期待値は ゼロではない。 Let’s consider quantum field phi defined on a spacetime. And the quantum state is set to be in the vacuum for the initial spacetime. f-n-1 is the complete set in the initial spacetime and a-n-1 and a-n-1-dagger are the initial annihilation and creation operators. If the spacetime evolves dynamically, the final spacetime is different from the initial one. Please note that the equation depends on spacetime metric. So, in the evolution, then the complete sets will change. After the evolution, the field should be expanded using the new complete set f-n-2! Then, the new annihilation and creation operators are coefficient of this expansion, and generally, these operators are different from the initial operators. In the Heisenberg picture, quantum state does not change and only operators evolve dynamically. So, the expectation value of the final number operator will not be zero. So, quantum particles are generated in the evolution of the spacetime. This is a basic idea of particle creation. ⇒ 解の自然な完全系も変わる。

11 Bogoliubov coefficients
粒子生成について：３ 終時刻での完全系で初期の完全系を展開： Bogoliubov coefficients 初期真空状態： In general, a set of mode function is not unique. So, Let u-bar be another complete set. Then, u-bar can be expanded in terms of mode functions u because the set of u is a complete set. These coefficients are called Bogolubov coefficients. With the same reason, the field Phi can be expanded by u-bar, and using this relation, it can be expanded in terms of u like this. Thus, annihilation operator can be expanded by a-bar. Of cause, these a-bar are annihilation operators in u-bar mode, and let zero-bar be the vacuum of u-bar mode. Then, the expectation value of number operator of u-mode in this vacuum computed like this. So, if this quantities is not zero, it means that the vacuum of u-bar mode contains these particle in the u-mode. Number op. このように終状態では粒子が生成される！

12 ２．アナロジー

13 完全流体でのアナロジー Unruh PRL (1981) 完全流体の式(渦なし)： 摂動場が従う方程式：
analogy 完全流体でのアナロジー Unruh PRL (1981) 完全流体の式(渦なし)： 摂動場が従う方程式： 摂動場 背景流体 音速 Spacetime analogy was originally considered by Unruh. He thought analogy of Hawking radiation in perfect fluids without vortex. These are equations for perfect fluids without vortex. The first equation means no vortex, and so there is velocity potential phi. The second equation is Euler equation. Rho is density of the fluid and p is pressure. The third equation is equation of continuity. Let’s consider perturbation or fluctuation on some background fluid and separate the velocity potential like this and linearize these equations. Then the perturved field of velocity potential obeys this equation. Where c_s is local velocity of sound. This equation can be rewritten using second rank tensor g like this. Then this equation can be seen as field equation on spacetime with metric g_munu. Field theory for this field is equivalent with field theory on curved spacetime with this metric. 音波（摂動場）は、曲った時空上の波動方程式に従うと見ることができる。

14 流体を用いたアナロジー 曲がった時空上の場は、流体上を伝わる励起場（音波）と類似．
analogy 流体を用いたアナロジー 曲がった時空上の場は、流体上を伝わる励起場（音波）と類似． 流体上の音波（励起） と 時空上の場 は同様の方程式に従う． 時空（重力場） 流体 物質場（光など） 励起場（音波など） 流体上の音波は、曲がった時空上の場とみなせる。 曲がった時空上の場の理論的効果は、 流体上の励起場でも起こると期待される

15 超音速面がある場合 Sonic horizon アナロジー時空計量 : analogy 亜音速と超音速が共にあるような 流れを考えます。
　　流れを考えます。 音波は、超音速面を超えて 　　上流に伝わることが出来ません。 この音波の因果構造は 　　ブラックホールに似ています。 このとき、超音速面は時空の意味での horizon に対応します。 Sonic horizon Let’s consider a transonic flow, like fluid flow in a Laval nozzle. Here, at down reaches, sound velocity is greater than fluid velocity. This is usual. On the other hand, at upper reaches, the fluid velocity is greater than sound velocity. At this surface, the sound velocity equals the fluid velocity. So, this is sonic horizon. And at this surface, time-time component of the effective metric vanishes. In this situation, sound can not propagate upstream passing through the sonic horizon. So, the sonic horizon is the boundary of the supersonic region. In other word, the sonic horizon is the boundary of the causal region for sound waves. This is quite analogous to black hole horizon. Actually, in the effective spacetime, the sonic horizon corresponds to horizon in terms of sound velocity. アナロジー時空計量 :

16 Assumption for the state
analogy Unruh (1981) Assumption for the state 超音速面がある流体で、流体と共に超音速面に流れ落ちる観測者が場の状態を真空状態とみるような量子状態が実現したとすると、超音速面から熱輻射が放出される. 期待される輻射の温度; 超低温! However, Unruh said that, if an observer traveling with the fluid as it flows through the sonic horizon sees the state of the field phi as being vacuum state, the horizon will emit the Hawking radiation. So, by quantum effect, sound waves will emit from the horizon. For perfect fluid, expected temperature of the Hawking radiation is evaluated as 3 times 10 to the -7 Kelvin., where I set sound velocity as 3 hundred meters per second and typical length scale as one mili-meter. This is too low to observe it in classical fluid. Basically, in order to observe quantum effect, classical fluid is not suitable. 系の典型的なスケール 古典流体では観測不可能 と思われる。 BECを考えよう！

17 ３. Bose-Einstein 凝縮体（BEC）

18 冷却原子 Bose-Einstein 凝縮体
BEC 冷却原子 Bose-Einstein 凝縮体 複数のボース粒子は同じ状態を占めることができる。 閉じ込めポテンシャルを用意して、束縛状態を作ると低温では多くのボース粒子が、基底状態に入る。　⇒　凝縮 1995年頃から、希ガス原子を冷却して凝縮体を実験的に作る技術が開発・進展し続けている。 今では、百万個単位の原子を 凝縮可能。 また温度も 1nK以下まで 到達できそう。 Let’s consider Dilute gas Bose-Einstein condensates as a quantum fluid. What is Bose-Einstein condensate? By definition, Bose particles can occupy the same quantum state. Therefore, at low temperature, many bosons occupy the same ground state and described by the same wave function. This condensation of bosons is called Bose-Einstein condensate. Using cold atoms, Bose-Einstein condensates are successfully realized in the actual experiments. Its temperature is extremely low and its about a few or several dozen nano-Kelvin. We know that, it obeys the Gross-Pitaevslii equation which is non-linear Schrodinger equation like this. Capital Psi is condensates wave function, V-external is trapping potential in which cold atoms are confined. The last term is the non-linear term and represents atomic interaction between cold atoms. Solving the GP equation, we know the dynamical evolution of the condensates. 400nK, 200nK, 50nK

19 Gross-Pitaevskii 方程式 ボース場を凝縮体部分とその他に分解： 凝縮体のダイナミクスを記述する方程式： とすると ここで
BEC Gross-Pitaevskii 方程式 ボース粒子の 消滅演算子 ボース場を凝縮体部分とその他に分解： 凝縮体のダイナミクスを記述する方程式： Trapping potential Atomic interaction とすると 連続の式 オイラー型の式 ここで 凝縮体の位相が速度ポテンシャル

20 Gross-Pitaevskii 方程式 ボース場を凝縮体部分とその他に分解： 凝縮体のダイナミクスを記述する方程式： とすると ここで
BEC Gross-Pitaevskii 方程式 ボース粒子の 消滅演算子 ボース場を凝縮体部分とその他に分解： 凝縮体のダイナミクスを記述する方程式： Trapping potential Atomic interaction とすると 連続の式 オイラー型の式 ここで 凝縮体の位相が速度ポテンシャル 凝縮が起こったとき、 が満たされて、完全流体と同様になることがわかる。

21 BEC上の励起場 BEC上の励起場は、Bogoliubov-de Gennes (BdG) 方程式に従う． BdG方程式： BEC
の解で完全性 を満たす完全系で場を展開 In order to consider analogy using BEC, we have to consider a field propagating on BEC. The excitation field on BEC can be described by so-called Bogoliubov-de Gennes equations. In these equations, the differential operators having matrix form requires the information about the condensates like the condensate number density and its atomic interaction and the condensate wave function. Solving this equation and obtaining the spectrum of the excitation, it is found that the low energy excitation behaves as phonons propagating on BEC. より 凝縮体上に励起する場の量子論が構成される。

22 Bogoliubov準粒子のスペクトル 凝縮体が定常なときに励起場のスペクトルを調べると、 低エネルギー励起は、フォノン的！
小さなスケールで分散関係が変更 されるような理論になっている。 Bogoliubov 準粒子

23 4. Analogy in BEC

24 Bogoliubov準粒子の場の理論 流体上に生成・消滅する Bogoliubov 準粒子の場の理論を、
Analogy in BEC Bogoliubov準粒子の場の理論 流体上に生成・消滅する Bogoliubov 準粒子の場の理論を、 　　曲った時空上のスカラー場の理論のように書き換えることができる。 凝縮体波動関数： Gross-Pitaevskii 方程式 励起場： 場の再定義： Bogoliubov-de Gennes (BdG) 方程式 流速： 有効時空の計量 音速： 凝縮体の情報で決まっている！

25 Bogoliubov 準粒子の場の理論２ 注目する場をBogoliubov 準粒子の生成消滅演算子を respect して展開
Analogy in BEC Bogoliubov 準粒子の場の理論２ 注目する場をBogoliubov 準粒子の生成消滅演算子を respect して展開 このとき展開関数は、Klein-Gordon 内積に関して正規直交になる！ の完全性と対応 Bogoliubov 準粒子は、曲った時空上の量子とみなすことが出来る。 （生成・消滅演算子レベルで対応）

26 Bogoliubov 準粒子の場の理論２ 「BEC上のフォノン」 ～ 「アナロジー時空上の量子」 （生成消滅演算子を対応させることが出来る）
Analogy in BEC Bogoliubov 準粒子の場の理論２ 注目する場をBogoliubov 準粒子の生成消滅演算子を respect して展開 「BEC上のフォノン」　～　「アナロジー時空上の量子」 （生成消滅演算子を対応させることが出来る） それぞれの理論がほぼ同じ． 　(BdG方程式 ⇔ 曲った時空上の場の運動方程式) 曲がった時空上QFTで知られている粒子生成の計算が可能 　　　　　（粒子生成が実際に起こると期待） このとき展開関数は、Klein-Gordon 内積に関して正規直交になる！ Bogoliubov 準粒子は、曲った時空上の量子とみなすことが出来る。 （生成・消滅演算子レベルで対応）

27 ＢＥＣでの粒子生成 注目する量子場を時間発展の前後で展開： initial 相対論的な内積の下で完全系： final
Analogy in BEC ＢＥＣでの粒子生成 注目する量子場を時間発展の前後で展開： 相対論的な内積の下で完全系： Bogoliubov 変換 initial final

28 終時刻で と の内積を計算 ⇒ 粒子生成 Analogy in BEC 最後のハミルトニアン対角化 B-dGを解くと時間発展がわかる。
終状態 B-dGを解くと時間発展がわかる。 dynamical evolution 初期状態 初期のハミルトニアン対角化 終時刻で　　　と　　　の内積を計算　⇒　粒子生成 ここで 終時刻での Klein-Gordon 内積

29 ５．実験による検証に向けて

30 我々の戦略 冷却原子ＢＥＣを膨張 ⇒ 超音速面(ホライズン)が形成． 超音速面から熱的なスペクトルのフォノンが生成と予想．
冷却原子ＢＥＣを膨張 　 　　⇒　超音速面(ホライズン)が形成． 超音速面から熱的なスペクトルのフォノンが生成と予想． この熱輻射を冷却原子ＢＥＣを用いて検証するという実験提案 　　をしたい。 膨張BEC中で生成されるフォノンのスペクトルを求めよう！. Kurita, Morinari PRA 76 (2007)

31 シミュレーションパラメーター：87Rb原子気体BEC
数値計算のセットアップ 簡単のため擬一次元系を考える (ディスク型BEC) (1)　who = whoi にて定常状態を用意 (2) t = 0 において whof = whoi としてBECを膨張・収縮 シミュレーションパラメーター：87Rb原子気体BEC 物理量のユニット

32 膨張BECでの超音速面の形成 凝縮体の大きさ （１）振動数who = whoi の 閉込めポテンシャルで 定常状態を用意
Kurita, Morinari PRA 76 (2007) 膨張BECでの超音速面の形成 凝縮体の大きさ （１）振動数who = whoi の 　　閉込めポテンシャルで 　　定常状態を用意 （２） t = 0 において 　whof = whoi として 　BECを膨張・収縮 超音速面の位置 音速

33 粒子生成（数値計算結果） 初期状態には励起（フォノン）はなかった。 時間発展後、フォノンが生成される の時 プランク分布でフィットすると
preliminary の時 プランク分布でフィットすると 1.4 nK の輻射

34 Hawking 温度 Hawking輻射の温度（アナロジー時空での公式） BEC上フォノンにとっての有効計量の言葉では
超音速面の位置 アナロジー時空（凝縮体）が準静的な場合の近似式

35 粒子生成のスペクトル再び preliminary

36 粒子生成のスペクトル再び Hawking 温度と一致 preliminary

37 まとめ１ 曲った時空の場の量子論の検証という目的で、流体を用いたアナロジーを考えることができる。
量子効果に興味がある場合、量子流体　⇒　ＢＥＣは有望 ＢＥＣは実験技術的にも進歩が目覚しく、実際に実験できそう。（ＢＥＣ中のフォノンは観測できる！）

38 まとめ２ ＢＥＣを膨張 ⇒ 超音速面(ホライズン)が形成． 曲がった時空上QFTとのアナロジーにより準静的な
ＢＥＣを膨張　⇒　超音速面(ホライズン)が形成． 曲がった時空上QFTとのアナロジーにより準静的な 　 　超音速面から熱的な輻射が放出されると期待． 「曲がった時空上の量子」と「Bogoliubov準粒子」の対応関係を明確に定式化． 　　⇒ BdG方程式を解くことで粒子生成の計算が可能に. 数値シミュレーションにより粒子生成を計算している段階 今のところ、プランク分布でフィットしたときの温度が、Hawking温度と一致している． 研究の現状

39 今後 膨張ＢＥＣは、膨張宇宙のモデルにもなるので、膨張宇宙での粒子生成を議論できる。
BECの言葉で、Hawking 輻射とはどのような現象であるのか？について基礎研究ができないか？ （微視的な理論がわかっている。） 関連したエントロピーの起源は？

40 数値計算法 １次元シミュレーション： 全格子点数：1024 空間刻み： Dx = 0.0625時間刻み： Dt = 1×10-8
数値計算法： 空間：エリアジング完全除去の元でのチェビシェフ－ガラーキン法　　　　　（境界条件：ディリクレ境界条件）　　　時間：４次のルンゲ－クッタ法 １次元シミュレーション： 全格子点数：1024　　　 空間刻み： Dx = 時間刻み： Dt = 1×10-8 チェビシェフ多項式波動関数の基底とし、２０４８個のチェビシェフ多項式で波動関数を展開する。そのうち１０２４個を実際の計算に用い、残り１０２４個をエリアジング除去に用いる。ハミルトニアンを対角化する際にも２０４８個の基底を用いる 境界条件を満たすチェビシェフ多項式

41 Case 1: 流速がない場合 ） ） 部屋の空気を流体と して考えましょう。 音波（速度ポテンシャル）が 従う式：
analogy Case 1: 流速がない場合 部屋の空気を流体と 　して考えましょう。 ） ） ） 音波（速度ポテンシャル）が 従う式： 計量（　　　）で表される時空上の波動方程式 ：sound velocity 2階対称テンソル Then, the wave equation satisfied by my voice has a form of a relativistic wave equation on the spacetime with this metric. Therefore, the field phi can be considered as field on effective spacetime with this metric, and theoretically equivalent. In this way, from the wave equation, we can read off an effective spacetime metric like this. Now, the sound velocity is approximately a constant, and this effective spacetime is flat! アナロジー時空は平坦時空 アナロジー時空計量

42 Case 2: 流速がある場合 ） ） 風（流速）がある状況を考えます。 音波（速度ポテンシャル）が従う式： analogy
　　　　　　　 　：horizon Furthermore, I would like to note here. This component is time-time component of the metric, and vanishes when ] the sound velocity equals the determinant of the fluid! It may imply existence of a horizon in the effective spacetime! It is easily understood to see in fluid system. アナロジー時空計量

43 初期状態について BEC をダイナミカルにするために 系のハミルトニアンを少し変更した。 曲った時空上の場合、理論を 変更しない。
preliminary BEC をダイナミカルにするために 　　系のハミルトニアンを少し変更した。 曲った時空上の場合、理論を 　　変更しない。 ところで膨張・収縮 BECの場合、 系はほぼ周期的で一周期後の状態は 　　ポテンシャルを変更する前の状態に 　　非常に近い。 初期に用意した真空と一周期後の 　　の状態はほぼ同じ。 初期状態として一周期後の状態を選べば、 真空に近い状態から出発して、理論を変えずに議論できる。

44 膨張・収縮するBEC 凝縮体の大きさ （１）振動数who = whoi の 閉込めポテンシャルで 定常状態を用意
　　閉込めポテンシャルで 　　定常状態を用意 （２） t = 0 において 、 　　閉じ込めポテンシャルの 　　振動数を 　　　whof = whoi 　　　と変更