物理学Ⅰ － 第 ２ 回 － 前回の復習 運動の表し方 位置と速度（瞬間の速度） 速度と平均速度、スピードはしっかり区別

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1 物理学Ⅰ － 第 ２ 回 － 前回の復習 運動の表し方 位置と速度（瞬間の速度） 速度と平均速度、スピードはしっかり区別
物理学Ⅰ －　第　２　回　－ 前回の復習 運動の表し方 　　位置と速度（瞬間の速度） 　　　　速度と平均速度、スピードはしっかり区別 位置は座標で表す（位置ベクトル） 　　速度は位置の変化率 運動の変化 　　加速度は速度の変化率 変化率は微分係数 位置、速度、加速度はベクトル量

2 ベクトル量：　位置、変位、速度、加速度 風向風速分布 電場分布 スカラー量：　距離、速さ 気圧分布 温度分布 等高線

3 今日の内容 第１章の続き １．グラフの面積による理解 概念的理解に微分・積分を使えるようになる ２．物理量の単位 単位の重要性を理解する
　１．グラフの面積による理解 　　　　概念的理解に微分・積分を使えるようになる 　２．物理量の単位 　　　　単位の重要性を理解する 　　　　次元解析ができるようになる 第２章 　１．二次元以上の運動の表し方 　　　　ベクトルの概念と表現に慣れる 　２．等速円運動　　　運動の例 積分

4 第１章§１ 運動の表し方（追加分） 前回 位置⇒速度＝位置の変化率 接線の傾き＝速度 微分⇒位置の変化率 ☆速度から位置を求めるには？
第１章§１　運動の表し方（追加分） 前回 位置⇒速度＝位置の変化率 接線の傾き＝速度 微分⇒位置の変化率 ☆速度から位置を求めるには？ 一定のスピード（速度）なら 移動距離＝スピード×時間 変位（ベクトル）＝速度×時間

5 一般の場合もグラフの面積 ⇒ 時間-速度グラフの面積 微分は変化率 大学では微分・積分を用いた 概念理解ができるように 積分は面積
変化率の積分が変化 ⇒ 時間-速度グラフの面積 微分は変化率 大学では微分・積分を用いた 概念理解ができるように 積分は面積

6 速さが加速したり減速する時は？ 同じようにグラフで考えてみよう！ Δｔ 毎に細分化してみると、 Δｔ で進む距離は 距離＝速さｘΔｔ
　　距離＝速さｘΔｔ 間隔Δｔ を小さくしたほうが良いので、 　　⇒面積！

7 距離、速さ、加速度の関係 微分や積分を使うと、 運動を表すのが簡単 距離－（微分）→速さ 速さ－（微分）→加速度 加速度－（積分）→速さ
速さ－（積分）→距離 微分や積分を使うと、 　　　　　　　　　運動を表すのが簡単

8 問１ ｔ＝０に原点を出発したあとの速度が次の グラフで与えられているときｔ＝ｔｆにｘが 最大になる運動を選べ
問１　ｔ＝０に原点を出発したあとの速度が次の グラフで与えられているときｔ＝ｔｆにｘが 最大になる運動を選べ １． ２． ３． （４）　分からない 面積の正負も考える

9 ☆加速度の使い道 全く同様 １．加速度から速度を求める 運動の変化率 ⇒ 速度の変化 速度 e.g., 円運動！ 速度（速さと向き）が
運動の変化率　⇒　速度の変化 速度 e.g., 円運動！ 　速度（速さと向き）が 　常に変化 　（加速度運動） 質点 ⇒ 時間-加速度グラフの面積

10 ☆加速度の使い道 ２．加速度から位置を求める　（１－１３） あとは「速度から位置を求める」手続き 時間-速度グラフの面積

11 力学による運動の求め方： 運動方程式 （３章、４章） (F:力、m: 質量) 力を与える ⇒ 加速度が決まる
力を与える　⇒　加速度が決まる ⇒　最初の運動の状態（位置と速度）に 対してその後の運動が決まる が決まる（速度の情報も含む） 運動の変化を与えるには外力が必要！ （運動変化のし易さを与える係数が質量）

12 ☆例　等加速度運動 速度の変化は一定（aが一定） ⇒時間-速度グラフの傾き一定 を　　　と略記 位置の変化はグラフの面積

13 ☆国際単位系（SＩ単位系）(Systeme International d’Unites)
§３　単位　（１－１４） 　　自然界の客観的記述 　　　　　測定して基準量と比較して記述 例　家から大学までの距離 ｍ、ｋｍ　を使わずにどう表現する？ ー　歩数で表すなど ☆国際単位系（SＩ単位系）(Systeme International d’Unites) 基準量について国際的に統一 長さ　 －　メートル　　 [m] 力学分野では　　　　　この３つが基本量 質量　－　キログラム　[kg] 時間　－　秒　　　　　 　[s]

14 例えば、電磁気学では、 電気量 [C（クーロン）]=[s・A] 電位 [V(ボルト)]=[W/A]=[m2・kg・s-3・A-1]
静電容量 [F(ファラッド)]=[C/V]=[m-2・kg-1・s4・A2] 磁束 [Wb(ウェーバー)]=[V・s]=[m2・kg・s-2・A-1] 磁束密度 [T(テスラ)]=[Wb・m-2]=[kg・s-2・A-1] インダクタンス[H（ヘンリー）]=[Wb・A-1]=[m2・kg・s-2・A-1]

15 ☆単位の接頭辞 ベキ 接頭辞 記号 ベキ 接頭辞 記号 1015 peta P 10-15 femto f 1012 tera T
ベキ　接頭辞　 記号　　 ベキ　接頭辞　 記号 1015 　peta 　　 P femto f 1012 　tera 　　　T pico p giga G nano n mega M micro μ kilo k milli m hecto h centi c 例　nm（ナノメートル）、μs（マイクロセカンド）、 hPa（ヘクトパスカル）、kWh（キロワット時）、 MHz（メガヘルツ）、ＧＢ（ギガバイト）

16 ☆単位系の変換 問３　時速７２kmで走る車の速さは秒速何mか？ 2 m/s 10 m/s 12 m/s 20 m/s

17 答　72 km/h を 1km=1000m、1h=3600s を用いて 書き直すと
重要 単位をつけない数字は物理的には無意味 5・・・5m？、5km？、5s？、5個？、5人？？？ →　単位がついていない答えに意味は無い 単位の無い数字：無次元数　（e.g., 規格化した値等）

18 ☆次元解析 物理量の単位は決まっている ⇒ 物理量の間に関係式があるとき 両辺の単位は合致していなければならない 答のチェックにも役立つ
⇒　物理量の間に関係式があるとき 両辺の単位は合致していなければならない 答のチェックにも役立つ 例　気体中の音速　気体の種類と状態で決まるはず 質量　　　　　、圧力　　　　　　　　　、体積　　　 種類 状態 音速　 ⇒ と置いて単位を比較

19 第２章 二次元以上の運動 この章のポイント １．ベクトルによる運動の記述に慣れる 位置、速度、加速度をベクトルで表現 位置→位置ベクトル
第２章　二次元以上の運動 この章のポイント 　１．ベクトルによる運動の記述に慣れる 　　　　位置、速度、加速度をベクトルで表現 　　　　　　位置→位置ベクトル 　２．等速円運動を加速度運動として理解する 　　　　　　速度の方向が変化 ベクトル積（外積）は後の章で使うときに説明するので省略

20 §１ ベクトルとその演算（２－１、２、５、６） ベクトル・・・大きさと方向を持つ量 ☆ベクトルに対する基本的演算 方向を変えずに 定数倍 →
§１　ベクトルとその演算（２－１、２、５、６） ベクトル・・・大きさと方向を持つ量 ☆ベクトルに対する基本的演算 方向を変えずに 定数倍 → 大きさを変える 負だと逆向き 足し算 平行四辺形を作る

21 ベクトル(vector) 　大きさと向きを併せ持つ量 　大きさが次元（単位）を決める。 大きさ 単位ベクトル：　大きさが１のベクトル

22 ベクトル(vector) 大きさと向きを併せ持つ量 大きさが次元（単位）を決める。 x,y,z座標軸方向の 単位ベクトル （基本ベクトル）
　大きさと向きを併せ持つ量 　大きさが次元（単位）を決める。 x,y,z座標軸方向の 単位ベクトル （基本ベクトル） （xy平面内に存在する場合）

23 ベクトルの内積(inner product)
スカラー ベクトルの内積(inner product) ２つのベクトル量から、一つのスカラー量への変換 内積の分配則 内積の交換則 （エードットビー） ある方向に作用する物理量の大きさを示す

24 ベクトルの内積(inner product)
スカラー ベクトルの内積(inner product) ２つのベクトル量から、一つのスカラー量への変換 ⇒ （ia: 単位ベクトル：大きさ１の方向を表すベクトル） ある方向に作用する物理量の大きさを示す

25 内積 特に ☆ベクトルの成分表示 基底ベクトル 大きさ１の互いに直行するベクトル 基底ベクトルの和で表す 成分表示
絶対値でベクトルの大きさを表す 特に ☆ベクトルの成分表示 基底ベクトル 大きさ１の互いに直行するベクトル 基底ベクトルの和で表す 成分表示

26 ☆成分表示で表したベクトルの演算 二つのベクトル に対し 定数倍 足し算 内積 大きさ

27 ☆ベクトルの微分 定義は普通の関数のときと同じ 時間（変数）　　と共に変化するベクトル　　　　に対し ベクトルの変化率 概念理解は図を基にする

28 成分表示 成分ごとに考えれば普通の関数を微分するのと同じ の各成分が　　の関数 基底ベクトルは固定 計算は成分表示が便利

29 ☆内積の微分 ライプニッツ則に従う 証明 成分表示を用いると普通の関数の性質に帰着

30 問４　次のうち正しくない計算はどれか？ １．　 ２．　 ３．　

31 §２ ベクトル表記による運動の記述（２－５、６） 慣れが必要なだけで概念的には同じ 位置 位置ベクトル 変位 Ｏ 速度 位置の変化率
§２　ベクトル表記による運動の記述（２－５、６） 慣れが必要なだけで概念的には同じ 位置 位置ベクトル 変位 Ｏ 速度 位置の変化率 計算は成分表示が便利 加速度 速度の変化率

32 ☆視覚的理解 軌跡 接線方向 速度 瞬間の速度 変位 平均速度 軌跡 加速度 概念理解は図を基にする

33 例題 平面上を運動する物体の時刻 での位置が
例題　平面上を運動する物体の時刻　　　　での位置が で表されるとき、時刻　　　　での速度を求めよ 答　速度（瞬間の速度）は 位置を時間で微分して より

34 §３　（等速）円運動（２－１２～１４）

35 §３ 等速円運動（２－１２～１４） ☆円運動の表し方 スピードは一定だが速度の方向が変化 ⇒ 加速度運動の例 半径 の円上を運動
§３　等速円運動（２－１２～１４） スピードは一定だが速度の方向が変化 ⇒　加速度運動の例 ☆円運動の表し方 半径　　の円上を運動 　　軸から角度　　を測る 位置 ＝（X, Y）=(r, θ) （極座標表示）

36 等速円運動 スピードが一定 円弧の長さ＝移動距離 但し、θはラジアン(rad)表記。度(°)ではない！ i.e., 例えば円周の大きさ　＝　2 π r π [rad] = 180 [°]

37 等速円運動 スピードが一定 円弧の長さ＝移動距離 スピード・・・単位時間当たりの移動距離 半径一定 角速度・・・単位時間当たりの角度の変化
角度の変化率を用いて表される 角速度・・・単位時間当たりの角度の変化 「速度」であり、回転の「向き」を持つ 単位：[rad/s] 等速円運動では角速度一定で

38 ☆等速円運動の加速度 と　　は一定 ＊ベクトルrとrは異なるので注意 の変数分離を使う これより も分かる

39 ☆等速円運動の加速度 と　　は一定 大きさ 円の中心を向く方向 ↓ （　） 角速度（dθ/dt）一定より

40 例題　2-11 地球の自転、公転を円運動とし、それぞれの角速度と速度の大きさを求めよ．但し、地球の半径をr=6.38×106 [m]、公転半径をR=1.50×1011 [m]とする． 自転：１日 公転：１年 速度の大きさ 円運動の続きはバネの運動方程式で

41 例題　2-11 地球の自転、公転を円運動とし、それぞれの角速度と速度の大きさを求めよ．但し、地球の半径をr=6.38×106 [m]、公転半径をR=1.50×1011 [m]とする． 自転：１日 公転：１年 速度の大きさ 円運動の続きはバネの運動方程式で

42 例題　2-11 地球の自転、公転を円運動とし、それぞれの角速度と速度の大きさを求めよ．但し、地球の半径をr=6.38×106 [m]、公転半径をR=1.50×1011 [m]とする． 自転：１日 公転：１年 速度の大きさ 円運動の続きはバネの運動方程式で

43 今日のまとめ グラフの面積 単位を忘れずに 二次元以上の運動のベクトル表記に慣れよう 等速円運動は加速度運動 変化率を積分すると変化が分かる
　　変化率を積分すると変化が分かる 単位を忘れずに 　　数値には必ずつける 　　単位により答をチェックする習慣をつけよう 二次元以上の運動のベクトル表記に慣れよう 　　概念の理解には図を活用 　　計算には成分表示が便利 等速円運動は加速度運動　 　　スピードは一定でも速度の方向が変化 　　成分表示での計算の例としても大事

44 復習内容 必須範囲・・・２－１、２、５、６、８～１０、１２～１４ 講義で省略した部分は自習する ベクトル積は用いるときに説明する
⇒２－３、４は省略してよい 相対運動と単振動も別の機会に説明する （単振動は光を研究したい人にも必須） ⇒２－７、９、１１、１５は省略してもよいが 自習しておくほうが望ましい 必須範囲以外を自習してレポートに含めてくれるのは自由