C： 等級 ２００６年１０月２３日 単位名 学部 :天体輻射論I 大学院：恒星物理学特論IV 教官名 中田 好一

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1 C： 等級 ２００６年１０月２３日 単位名 学部 :天体輻射論I 大学院：恒星物理学特論IV 教官名 中田 好一
教官名　　　　　中田　好一 授業の最後に出す問題に対し、レポートを提出。 成績は「レポート＋出欠」でつけます。 授業の内容は下のHPに掲載されます。 Ｃ:　等級

2 Ｃ．１．　ハーシェルの等級　 紀元前２世紀にギリシアのヒッパルコスが目で見える星の明るさを１等から６等までの６グループに分けた。（と、プトレマイオスのアルマゲストに書いてあるらしい。）　その後、１８３０年にジョンハーシェル、１８５６年ポグソンが定式化した。 ハーシェルの方法 口径Ｄａの望遠鏡で明るさAの星を、Ｄｂの望遠鏡で明るさBの星を見たら 同じ明るさに見えた。　これは、 　　　　Ａ×Ｄａ２　＝　Ｂ×Ｄｂ２　　したがって、　Ａ / Ｂ =Ｄｂ２ /Ｄａ２ を意味する。 こうして、等級が１等上がると明るさは約　（１/２．５）倍に落ちることを見出した。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 = Ｃ:　等級

3 ちょっと、ハーシェルの真似をして、１等差が明るさで何倍かを推定して見よう。
1等が明るさ（１/Ａ）倍に対応し、星の本当の明るさは皆同じと仮定する。見かけの 明るさは距離Ｄと１/Ｄ２の関係だから、明るさが１/Ａ倍になると距離は（√Ａ）倍、 体積はＡ３/２倍になる。太陽の周りの星の密度を一定とすると、体積はその等級 までの数に比例するから、１等増える毎に星の数が何倍になるかを調べればＡ が決まるはずである。 N2 N1 N2/N1=V2/V1 　　　　＝（R2/R1)３ 　　　　＝A3/2 log(N2/N1）＝(3/2)logA ２等 1等 Ｃ:　等級

4 ヒッパルコスの等級の表はしらないので、ややいんちきだが、理科年表から、 実視等級(M) －１ ０ １ ２ ３ ４ ５ ６
個数　　　　　 　２　　 ７　　１２　　６７　 １９０　 ７１０　　２０００　　５６００ 累積（N) 　　　 ２　 　９　 　２１ 　８８　 ２７８　 ９８８　　２９８８　　８５８８　 log N ４ log N 右のグラフから、 log N ＝０．９５＋０．５*M ３ ２ １等暗くなる（Mが１上がる）と、logNが0.5増加する。 前頁の式から、 ０．５＝（３/２）log A ｌog A=1/3　　　　A=2.2 １ ０ ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ －１ M Ｃ:　等級

5 Ｃ．２． みかけ等級 （ａｐｐａｒｅｎｔ ｍａｇｎｉｔｕｄｅ）
Ｃ．２．　みかけ等級　（ａｐｐａｒｅｎｔ　ｍａｇｎｉｔｕｄｅ） 見かけ等級 ｍ の定義　 　　ｍ＝ー２．５ ｌｏｇ１０（ Ｆ / Ｆｏ ） 　　　Ｆ＝対象天体のフラックス 　　　Ｆｏ＝基準天体のフラックス　　　　　　 Ｆ（λ） λ log Fo(λ) logF(λ) ｍ(λ) 　　　　＝見かけ等級 ０ のフラックス ＝αＬｙｒａｅ（ベガ）のフラックス（に近い） 注意 二つの星があり、　等級はｍ１とｍ２、フラックスはＦ１とＦ２とする。 ｍ１－ｍ２＝Δｍ＝－２．５log(Ｆ１/Ｆ２) F1/F2＝10-0.4Δｍ であるから、等級差が１等、Δｍ＝１のとき F1/F2＝10－０.4＝1/2.512　　　　　　１等差はフラックスでは約２．５倍に相当 この２．５（２．５１２） は最初の行、等級の定義、に出てくる２．５とは違う。 Ｃ:　等級

6 ０等フラックス Ｆｏ （１） 単純には、αＬｙｒ (A0型） のフラックス ＝ ０等
０等フラックス Ｆｏ （１） 単純には、αＬｙｒ　(A0型）　のフラックス　＝　０等　 ０等がＩＡＵ(International Astronomical Union)１９２２年総会で定義された時代は 写真等級で、光電管、ＣＣＤは存在しなかった。 ーー＞　同じバンドでも、研究者によって、有効波長、　０等フラックスが異なる。 ここで、フラックスは「星の方向に垂直な単位面積を単位時間に流れるエネルギー」 である。エネルギーとして、 （１）　総エネルギーならフラックスは１種類のF。 （２）　単位波長当たりのエネルギーだと、Fλ　 （３）　単位周波数当たりだと　Fν　　を考える。　 Fλ Fν Fλ Fν ν λ Ｃ:　等級

7 ０等フラックス（２） このように、フラックスは表示方式を指定する必要がある。
しかし、等級ｍは周波数表示の等級ｍνや波長表示のｍλは必要ない。 ｍλ＝－２．５log10[F(λ)/Fo（λ）] 　　　＝－２．５log10[λF(λ)/λFo（λ）] 　　　＝－２．５log10[νF(ν)/νFo（ν）] 　　　＝－２．５log10[F(ν)/Fo（ν）]＝ｍν だからである。　　 ｄF=F(λ)ｄλ＝[λF(λ)]ｄλ/λ ｄF=F(ν）ｄν＝[νF(ν）]ｄν/ν だが、λν＝ｃなので ｄλ/λ＝ｄν/ν よって、λF(λ)＝νF(ν) 現在ではゼロ等のフラックスFoは、多数の標準星のセット＋精密な大気モデルから決められる。下のシステムではＶ（ベガ）＝０．０３、Ａ０Ｖ星のカラー＝０ 下の表は、波長λに対してＦｏ（ν）が示されているので注意。１Jy=１０－２６W/ｍ２/Hz　 Ｆ(mag=０,ν) バ ンド U B V Rc Ic J H K L M N Q λ(μ) Fo(Jy) Bessell, Castelli,Plez 1998 Rieke,Lebofski,Low 1985 Ｃ:　等級

8 ０等フラックス（３） αＬｙｒ αＬｙｒ（Ｖｅｇａ） のスペクトルは１００００Ｋの黒体輻射に近い。
０等フラックス（３） αＬｙｒ αＬｙｒ（Ｖｅｇａ）　のスペクトルは１００００Ｋの黒体輻射に近い。 ＩＲＡＳ(InfraRed Astronomical Satellite 1983)では、 温度T=10,000K, 立体角Ω＝１．５７・１０－１６の黒体円盤からの フラックスを０等として採用した。 A0V星の半径Ｒは太陽の2.5倍＝１．７４×１０９ｍ αＬｙｒの距離Ｄは７．７ｐｃ＝2.37×１０１7ｍ したがって、視角θ＝Ｒ／Ｄ＝7.34×10－９　　 　　　　　　　αＬｙｒの立体角＝πθ２＝１．６９×１０－１６　　 上の１．５７と少し違う（８％）のはＡ０Ｖ星の有効温度Ｔｅｆｆ＝９８００Ｋとの２％の 温度差による総フラックス差（８％）を補うためらしい。 Ｃ:　等級

9 １） ＵＢＶバンドでずれが大きい。後の課で説明する。 ２） 下に示すように遠赤外でフラックス超過が見られる。ダスト円盤がついていた。
αＬｙｒは黒体輻射を比べると、 １）　ＵＢＶバンドでずれが大きい。後の課で説明する。 ２）　下に示すように遠赤外でフラックス超過が見られる。ダスト円盤がついていた。 バ ンド U B V Rc Ic λ(μ) 　　　 Fo(Jy) Vega 　　　 ＦＩＲＡＳ 　　　 Ｃ:　等級

10 B B V R I J U H K L αＬｙｒ(Vega)と黒体輻射と比べると、 Fo(Vega) F(IRAS) 青い波長帯で
4 log F(ν) (Jy) 3 2　 B B V αＬｙｒ(Vega)と黒体輻射と比べると、 R I J Fo(Vega) U H F(IRAS) K L 青い波長帯で 黒体輻射からずれ 遠赤外超過 1 　　　 1.5 　　　　log λ(μ) Ｃ:　等級

11 等級とフラックス ｍ＝ー２．５ ｌｏｇ１０（ Ｆ / Ｆｏ ）を書き直すと、
　ｍ＝ー２．５ ｌｏｇ１０（ Ｆ / Ｆｏ ）を書き直すと、 　等級 ｍ（λ）の星のフラックス　Ｆ（λ）＝ １０ーｍ（λ）/２．５ F０（λ） 例１．　ｍ＝－１　　　　Ｆ（ｍ＝－１）＝ Ｆo×１０１/ ２．５＝２．５１２ Ｆo 　　　　 ｍ＝＋５　　　　Ｆ（ｍ＝５）＝ Ｆo×１０－5 / 2.5＝０．０１ Ｆo 　Δｍ＜＜１ のとき、 　Ｆ（ｍ＋Δm）／Ｆ（ｍ）＝１０－Δｍ/２．５＝exp (－Δｍ×ln10 / 2.5 ） ＝ exp(－Δｍ×２.３０２/２.５）＝exp(－0.921Δm) ≒（１－Δm ） 上の関係は概算の際に便利。 例えば、等級が０．１大きい星は、フラックスで約１割小さい。 Ｃ:　等級

12 Ｃ．３． 絶対等級 （ａｂsolute ｍａｇｎｉｔｕｄｅ）
絶対等級＝ 天体を距離１０ｐｃに置いたときの等級 　　　　記号は、見かけ等級：　Ｖ、　Ｋ　または、　ｍＶ、ｍＫ 　　　　　　　　　　　絶対等級：　Ｍｖ，ＭＫ　　 距離Ｄの星を１０ｐｃに置いたときの等級を計算しよう。 Ｆ＝Ｌ／４πＤ２　　 Ｆ１０ｐｃ＝Ｌ／４π（１０ｐｃ）２ 　 ｍ＝－２．５log (F/Fo) M＝－２．５log (F１０ｐｃ/Fo) m-M=－２．５log (F/Fo)＋２．５log (F１０/Fo) 　　　= 2.5 log(D/10pc)2 = 5 log(D/10pc) ｍ = Ｍ + ５ log(D/10pc)　　　　 距離指数（ Distance Modulus ）＝ (m－M)o ＝5 log(D/10pc) 途中で光が吸収されると、見かけ等級ｍはＡ等大きくなるので、 　　　　　　　ｍ＝M+５log(D/10pc)＋Ａ Ｃ:　等級

13 等級と距離 フラックス＝Ｆ２ Ｆ２＝Ｌ／（４πＤ２２） Ｆ１＝Ｌ／（４πＤ１２） 等級＝ｍ２ Ｄ２ ｍ２ ーｍ１
＝ー２．５log（Ｆ２ /Ｆｏ）＋ ２．５log（Ｆ１ /Ｆｏ） 　 ＝５log（Ｄ２ /Ｄ１） フラックス＝Ｆ１ 等級＝ｍ１ Ｄ１ 注意：　２つの天体の等級差は、距離の比を表わす。距離の絶対値ではない。 　　　　　ｍａーｍｂ＝１０　だと、5 log(Da/Db)=10 より、Ｄａ/Ｄｂ＝１００　は正しい。 　　　　　しかし、Ｄａ－Ｄｂ＝１０ｍ　とか、Ｄａ－Ｄｂ＝１００ｐｃ　と考えてはいけない。 Ｃ:　等級

14 距離指数の例 天体 距離 距離指数 αＣｅｎ 1.4 pc -4.3 αＬｙｒ 7.7 pc -0.57
天体 　　　　　　　　　　　　距離　　　　　　　　　　距離指数 αＣｅｎ　　　　　　　　　　　　　　　1.4 pc αＬｙｒ pc α UMi (北極星)　　　　　　　　 120 pc オリオン大星雲 pc 銀河中心 kpc 7.0 kpc 大マゼラン雲　　　　　　　　　　　５０　ｋｐｃ　　　　　　　　　18.5 Ｍ３１（アンドロメダ銀河） Mpc Ｖｉｒｇｏ銀河団 Mpc Ｃ:　等級

15 Ｃ．４．輻射等級 見かけ輻射等級 Apparent Bolometric Magnitude ：
ｍBOL=－2.5 log [∫F(λ)dλ / FoBOL]＝－2.5 log (Ｆ / FoBOL) FoBOL ： ｍＶ＝０のＦ３Ｖの星の全フラックス 　　　　　　　＝２．５ １０－８　Ｗ／ｍ２ 通常の等級はＡ０Ｖ星で決めるが、ここだけＦ３Ｖ星が登場する。 全波長でｍλ=0等となるA0V星の全フラックスは輻射等級のゼロ点でない。 その理由は次の輻射補正で考える。 絶対輻射等級 Absolute Bolometric Magnitude ＭＢＯＬは１０ｐｃから見た輻射等級。 Ｃ:　等級

16 波長により、αLyrとのフラックスの比は変わるから、波長の指定が必要。
見かけ等級 見かけ等級 絶対等級 αLyr αLyr １０ｐｃ 距離はそのまま。 等級の基準はαLyrのフラックス。 波長により、αLyrとのフラックスの比は変わるから、波長の指定が必要。 U,B,V,...または、ｍU,ｍB,... １０ｐｃに置いたときの見かけ等級 等級の基準はαLyrの地球上でのフラックスであり、αLyrを１０ｐｃに置いたときのフラックスではない。 波長により、αLyrとのフラックスの比は変わるから、波長の指定が必要。 MU,MB,MV,... Ｃ:　等級

17 総フラックス F=∫Fλｄλ と基準フラックス Fo との比を等級にする。 基準星はV（０．５５μ）＝０のF3V型星。
見かけ輻射等級 絶対輻射等級 総フラックス　F=∫Fλｄλ　と基準フラックス Fo　との比を等級にする。 基準星はV（０．５５μ）＝０のF3V型星。 この星はB（０．４４μ）=0.38, 　　　　　 R（０．７１μ）=-0.36　である。 全波長で見かけ等級＝０（αLyr）のスペクトルとの比較を下に示す。 距離＝１０ｐｃに置いたときの見かけ輻射等級。 Fλ ０ １ ２ V λ（μ） Ｃ:　等級

18 写真システム 北極星の周りの９６星（周極星）のセットが標準星。 (IAU1922)
Ｃ.　５．　ＵＢＶシステム 眼視等級　　　　　Hipparcos catalogue 前２世紀 　　　　　　　　　　　　　　１等＝最も明るい星。　　　６等＝目で見える最も暗い星。 　　　　　　　　　　　Ｐｏｇｓｏｎ　　１８５６　　　ｍａ－ｍｂ＝－２．５ｌｏｇ（Ｅａ／Ｅｂ） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｍ＝等級　　　Ｅ＝入射エネルギー 口径　Ｄ ｍ　の望遠鏡を覗いた時、何等まで見えるか？ 　　　暗い晩の人間の瞳孔径＝７ｍｍ　　ｍｂ＝６等 　　Ｄ ｍ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｅｂ×（ ７ｍｍ）２ ＝Ｅａ ×（Ｄ ｍ）２ 　ｍａ ＝ ｍｂ－２．５ｌｏｇ（７ｍｍ/Ｄ ｍ）２ ＝６＋２．５ｌｏｇ（Ｄ２１０６/４９） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝１６．８＋ ５ｌｏｇＤ 写真システム　北極星の周りの９６星（周極星）のセットが標準星。 (IAU1922) 　　　　　　Pg : photographic magnitude　　0.43 μｍ Pv : photovisual magnitude　　　0.54 μｍ Ｃ:　等級

19 UBV Response CurveとA0型星のスペクトル （ ）
ＵＢＶシステム＝最も広く使われていた。 　　　　　H.L.Johnson and W.W.Morgan, 1953, Ap.J. 117, Ｕ Corning 3384　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３５０　ｎｍ Ｂ Corrning Schott GG P21 フォトマル　４３０　ｎｍ　 Ｖ Corning 9863　　　　　　　　　　　（ＲＣＡ）　　　５５０　ｎｍ UBV Response CurveとA0型星のスペクトル （　　　　　） 　3, , , ,000 λ(A) Ｕ B V A0星 透過率 Ｃ:　等級

20 UBV Primary Standard Stars (次ページの ）
ＵＢＶシステムの標準星 ゼロ等の決定 (次ページの　　　） V B-V Sp V B-V Sp. 　　　　　αLyr A0V 　　　 γUMa 　0.00 A0V 109 Vir A0V 　　 α CrB A0V γ Oph A0V HR A0V Ｂ－Ｖ＝-2.5 log (B出力/Ｖ出力）+1.040、 Ｕ－Ｂ＝-2.5 log (Ｕ出力/Ｂ出力） A0V ６星のカラーの平均値＝Ｕ－Ｂ＝Ｂ－Ｖ＝０ UBV Primary Standard Stars　　 (次ページの　　　） V B-V Sp V B-V Sp. α Ari K2III HR A1V β Cnc K4III η Hya B3V β Lib B8V α Ser K2III ε CrB K3III τ Her B5IV 10 Lac O9V HR8832　 K3V Ｃ:　等級

21 UBV 標準星 Ｈ．Ｊｏｈｎｓｏｎ in Basic Astronomical Data 1963
０ V １ ２ K2III K2III B8V ３ K4III B5IV ４ K3III B3V O9V ５ A1V K5V ６ ０ １ －０．４ B-V １．６ Ｃ:　等級

22 標準星と色補正（１） Ａ Ｂ 二つの観測システム Ａ：標準 （例えばＪｏｈｎｓｏｎ） Ｂ：例えばハワイ があった時
標準星と色補正（１）　 二つの観測システム 　Ａ：標準　（例えばＪｏｈｎｓｏｎ） 　Ｂ：例えばハワイ　　があった時 ＡとＢでは同じバンドでも感度曲線が異なる。 Ａ Ｂ 感度 赤い星　（長波長側が強い） 青い星　（短波長側が強い） λ λＡ λＢ 図の赤い星と青い星は、Ａシステムでは同じ等級だが、Ｂシステムでは異なる等級となる。 Ｂシステムの観測値をＡ（標準）システムでの値に直す必要がある。 Ｃ:　等級

23 標準星と色補正（２） Ａ Ｂ ｍＡ－ｍＢ 感度 星１ 星１ 星１ 星２ β 星２ λ ０ １ カラー（Ｂ－Ｖ）Ａ λＡ λＢ
標準星と色補正（２）　 ｍＡ－ｍＢ Ａ Ｂ 感度 星１ 星１ 星１ 星２ β 星２ λ ０ １ カラー（Ｂ－Ｖ）Ａ λＡ λＢ ｍＡ＝ｍＢ＋α（Ｂ－Ｖ）Ａ＋β　　普通、１次式を仮定して補正する。 　　　αを決めるためには、 （Ｂ－Ｖ）Ａが青（≒０）と赤（≒１．５）の両方欲しい。 ーー＞　標準星がＯ，Ｂ，Ａ型（青星）とＫ型（赤星）から選ばれている。 Ｃ:　等級

24 Ｃ．６．UBVシステムの拡大 RIJKLMN Johnson/Mitchell 1962 Comm.Lunar Plantary Lab.1,73 Johnson et al Comm.Lunar Plantary Lab.4,99 　 バンド R I J K L M N Q 　 　 λc Cousins 1976, Mem.RAS 81, 25 バンド Rc Ic λc H (1.63μ) Glass MNAS SA,33, 53 　注意　　　λ（Ｒ）＝0.7μ、λ（Ⅰ）＝0.9μ、　 　　　　　　　λ（Ｒｃ）＝0.66μ、　λ（Ⅰｃ）＝0.81μ 実際の観測にはもっと大きな標準星表を使う。 ＵＢＶＲｃＩｃ　　Ｌａｎｄｏｌｔ　１９９２、Astron.J.　１０４，３４０　 JHK Ｅｌｉａｓ et al.　１９８２、AJ, 87, 1029. Ｃ:　等級

25 Stromgren 4-color system uvby Ｕ B V
その他のシステム（１） Stromgren 4-color system uvby 　　 Ｕ B V バルマー不連続、金属量、温度をより正確に測る。Ａ－Ｆ型星向き 透過率 A0星 u: 完全にバルマージャンプ 　　　より短波長側。　 b：　メタル吸収の影響をＢ 　　　ほどは受けない。 y: 基本的にはＶと同じで、 　　巾が狭い。 ｕ ｂ ｖ ｙ 　 λ(μ) ｍ１＝（ｖ－ｂ）－（ｂ－ｙ）　：　　金属量 ｃ１＝（ｕ－ｖ）－（ｖ－ｙ）　：　バルマー不連続 ｂ―ｙ　：　温度 Ｃ:　等級

26 その他のシステム（２） ＤＤＯ ｓｙｓｔｅｍ ＭｃＣｌｕｒｅ １９７６ ＡＪ ８１、１８２ Ｕ B V A0星
その他のシステム（２）　　 ＤＤＯ　ｓｙｓｔｅｍ　　　　　　　　　　ＭｃＣｌｕｒｅ　１９７６　ＡＪ　８１、１８２ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｇ，Ｋ型星 ３５フィルター 　４－ｃｏｌｏｒのｕ ３８フィルター 　ｖより金属吸収によい ４１フィルター 　ＣＮバンド測定 ４２，４５，４８ 　連続光 Ｕ B V 透過率 A0星 48 45 38 41 35 42 　 λ(μ) （３５－３８）カラー：　バルマージャンプ （３８－４２）カラー：　金属量 （４２－４５）カラーと（４５－４８）カラー：　重力と温度　 Ｃ:　等級

27 その他のシステム（３）　　　 Thuan-Gunn システム　　　　　Ｔｈｕａｎ／Ｇｕｎｎ１９７６ PASP 88, 543 市街地の水銀線と夜光の[OI]線　を避ける。 基準星は。 ＣＤ＋１７４７０８ （Ｇ型矮星） で、この星の g=9.50 g-r=u-v=v-g=0 と独特の定義。 Ｕ B V 透過率 A0星 u v g r 　 λ(μ)0.7 Ｃ:　等級

28 その他のシステム（４） ＡＢ等級 Fν(０等)＝３６３１Jy SDSSで採用
その他のシステム（４）　　 ＡＢ等級 Fν(０等)＝３６３１Jy SDSSで採用 ＡＢ＝－2.5 log [fν/3631Jy]= 8.900－2.5 log [fν(Jy)] 旧来のゼロ等がＡＢで何等になるか？ Ｆ(mag=０,ν) バ ンド U B V Rc Ic J H K L M N Q λ(μ) Fo(Jy) 　AB – Ｃ:　等級

29 Ｃ．７．カラー フラックス⇒等級 フラックスの勾配⇒カラー 約束 Ｆ 勾配を指定する方法は幾つも考えられる：
　フラックス⇒等級 Ｆ フラックスの勾配⇒カラー 勾配を指定する方法は幾つも考えられる： 単純にはｄＦ（ λ ）/ｄλ、ｄＦ（ ν ）/ｄν 近接した２波長λ1 、λ2でのフラックスの比、 Ｆ（ λ1 ）/ Ｆ（ λ2 ）を用いてもよい。 λ１ λ２ 天文では等級の差、すなわちフラックス比の対数表示（カラー）を採用している。 カラー（ λ1 、λ2 ）＝ｍ（λ１）－ｍ（λ２） 　　　　　　　　　　 ＝－２．５ log[Ｆ（ λ1 ）/ Ｆ（ λ2 ）]+２．５ log[Ｆo（ λ1 ）/ Ｆo（ λ2 ）] 約束 カラー　ｍ（λ１）－ｍ（λ２）　では、λ１＜λ２　 Ｃ:　等級

30 [Ｂ－Ｖ]BB=-0.8３+ 2.5 log{[exp(3.270/T4)- 1] / [exp(2.616/T4)- 1]}
黒体輻射のカラーと温度 このBはBバンドのB 黒体輻射のカラー [Ｂ－Ｖ]BB=-0.8３+ 2.5 log{[exp(3.270/T4)- 1] / [exp(2.616/T4)- 1]} このBは黒体の輻射強度（プランク関数） Ｆo，Ｂ（Ｔ,ν）　は、　Ｆo（ν＝B ）＝４０６３Ｊｙ，Ｆo（ν＝Ｖ）＝３６３６Ｊｙ Ｃ:　等級

31 同様にＵバンド（λ＝０.３6μｍ）では、Ｆo（Ｕ ）＝１７９０Ｊｙ、 ＸＵ＝14388/ ０.３6 /T
（レーリージーンズ領域のカラー Ｔ→∞では、 Ｂ（Ｔ，ν）２ｋＴ（ν/ｃ）２＝２ｋＴ/λ２　なので、（レーリージーンズ近似） このように、高温極限ではカラーはー∞ではなく、有限の値でとまる。 Ｃ:　等級

32 T→０では、 Ｂν (2hν３/ｃ２)exp(-hν/ｋT) なので、（ウイーン近似）
ウイーン領域のカラー T→０では、 Ｂν (2hν３/ｃ２)exp(-hν/ｋT)　なので、（ウイーン近似） [B-V]BBも[U-B]BBも∞に発散する。 Ｃ:　等級

33 カラーの表現 天文でよく使われるバンド： Ｂ＝ｍ（0.44μｍ） Ｖ＝ｍ（0.55、μｍ）
天文でよく使われるバンド：　　Ｂ＝ｍ（0.44μｍ）　　　　Ｖ＝ｍ（0.55、μｍ）　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｆｏ（Ｂ）＝４０６３Ｊｙ　　　Ｆｏ（Ｖ）＝３６３６Ｊｙ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１Ｊｙ＝１０-２６W／ｍ２／Ｈｚ 　　　　　　　　　　　　　　フラックス　 天体　　　　　　　　F(B　　)　　　　F(V)　 　　　　　　　　　　　　（Ｊｙ）　　　 　（Ｊｙ） 　シリウス　　　１.４９３ ×１０４ 　１.３５６ ×１０４ 　太陽　　 　　　１.１０２×１０１４　１.８０４×１０１４ ベテルギウス　　６６３　　　　　　　２３８０ 　　　　　　バンド　　　 カラー Ｂ　　　 Ｖ　 　 Ｂ－Ｖ 　 温度 　 色 －１.４３　 －１.４４　　０.０１　 ９４００　白 －２６.１０　－２６.７５　 ０.６５ 　５７８０　黄 １.９５ 　　０.４５ １.５０　 ３３７０　赤　　　　　　 一般に、天体の温度が高いと 　　（１）　短波長側のフラックスが大きい。 　　（２）　短波長の等級が小さい。　　 　　（３）　カラーが小さい Ｃ:　等級

34 Ｃ．１．銀河座標銀経 l=180°、銀緯 b=0°の方向を観測したところ、Ｇ型矮星
レポート問題Ｃ　　　　　出題１０月２３日　　　　提出1０月３０日 　　　　　　　　レポートには、問題番号、学生証番号、学科、学年、氏名を書くこと。 　　　　　　　　少し難しいので、どこで分からなくなったかを書いて提出も可。 Ｃ．１．銀河座標銀経 l=180°、銀緯 b=0°の方向を観測したところ、Ｇ型矮星 　　　　　の等級分布（光度関数 luminosity function）として次のような式を得た。 ここに、Ｖ＝みかけＶ等級　 　　　　　ｄＮ＝Ｖ等級の巾ｄＶ、立体角ｄωの中に見える星の数 簡単のためＧ型矮星の絶対等級を太陽と同じ、Ｍｖ＝4.8３ とする。星間吸収がないとして、観測方向に沿ってのＧ型矮星の数密度 ｎ（星/ｐｃ３）を太陽からの距離Ｒ（ｐｃ）の関数として表し、R=0-3000pcの範囲で図示せよ。 Ｃ．２．Ｇ型矮星の太陽周辺の数密度は n ＝3.3・１０－３星/ｐｃ３である。仮にＧ型 　　　　　矮星がこの数密度で太陽のまわりに一様に散らばっていたとして、 　　　　　星間吸収がないときの光度関数Ｆ（Ｖ）を求めよ。 Ｃ:　等級