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Lorenz modelにおける 挙動とそのカオス性
H Lorenz modelにおける 挙動とそのカオス性 広島大学総合科学部総合科学科 数理情報科学コース 中山研究室 J 有馬 和彦
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Lorenz model 対流現象のモデルを簡単化 非線形常微分方程式 低次元で起こる“カオス的”現象 (Lorenz Attractor)
目的 パラメータの変化による構造 及び挙動の変化の解析 カオス性の解析
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Lorenz model 非線形項
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Lorenz modelの構造 平衡点（不動点）に着目 パラメータの変化による Lorenz modelの構造の変化 時間経過に依存しない点
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平衡点 の安定性 各平衡点の安定性 平衡点周辺の解軌道を解析 安定多様体 不安定多様体 Stable(安定) Saddle(鞍点)
平衡点 の安定性 Stable(安定) Saddle(鞍点) Unstable(不安定) 不安定多様体 安定多様体 周辺の軌道を吸引 安定方向に吸引 不安定方向に遠ざける 周辺の軌道を遠ざける 各平衡点の安定性 平衡点周辺の解軌道を解析
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分岐図 （ 固定） 平衡点：原点のみ（Stable） 全ての解軌道は原点に収束 :Stable :不安定周期軌道 :Saddle-point
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分岐図 （ 固定） 平衡点：原点（Saddle） （Stable） 解軌道は に収束 :Stable :Saddle-point
（ 固定） 平衡点：原点（Saddle） （Stable） 解軌道は に収束 :Stable :不安定周期軌道 :Saddle-point
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分岐図 （ 固定） 平衡点：原点（Saddle） （Stable） 原点のホモクリニック軌道 :Stable :Saddle-point
（ 固定） 平衡点：原点（Saddle） （Stable） 原点のホモクリニック軌道 :Stable :不安定周期軌道 :Saddle-point
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分岐図 （ 固定） 平衡点：原点（Saddle） （Stable） :Stable :不安定周期軌道 :Saddle-point
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分岐図 （ 固定） 平衡点：原点（Saddle） （Saddle） :Stable :不安定周期軌道 :Saddle-point
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Lorenz Attractor 有 界 Saddle 収束しない ＋ 発散しない Lorenz Attractor
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Lorenz Attractorの軌道の様子
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ポアンカレ切断面 得られたポアンカレ切断面を解析し Lorenz Attractorの 軌道の様子を明らかにしたい
ある平面を軌道が通るようすを観察 規則性を見出す Lorenz Attractor 得られたポアンカレ切断面を解析し Lorenz Attractorの 軌道の様子を明らかにしたい Geometric model
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Geometric model O 安定多様体 安定方向に潰される O Geometric model
原点周辺 （Saddle-point） Lorenz Attractorの ポアンカレ切断面 初期値
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軸方向の力学系 Parry map Geometric model William’s map
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Lorenz Attractorの切断面 a=2,c=0.5
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Lorenz Attractorの切断面 a=2,c=0.5
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Lorenz Attractorの切断面 a=2,c=0.5
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:Lorenz Attractorの切断面
Cantor set :Lorenz Attractorの切断面 常に 方向全域に存在 どこで切ってもCantor setを形成 a=2,c=0.5
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Lorenz Attractorの切断面 a=1.5,c=0.5
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Lorenz Attractorの切断面 a=1.5,c=0.5
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Lorenz Attractorの切断面 切る場所（ｘ座標）によっては Cantor setを形成しない a=1.5,c=0.5
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William’s map William’s mapにおいて ★初期条件鋭敏性 ★位相推移性（l.e.o経由） を証明
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初期条件鋭敏性
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初期条件鋭敏性
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初期条件鋭敏性
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初期条件鋭敏性
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William’s map Baker map 位相共役とは 限らない
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Lorenz Attractorのポアンカレ切断面上に
方向に初期条件鋭敏性、位相推移性 Lorenz Attractorのポアンカレ切断面上に 初期条件鋭敏性 Lorenz Attractor は初期条件に鋭敏に 依存することが示せた
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まとめ Lorenz Attractor形成のメカニズム解明 ポアンカレ切断面上にCantor setを確認
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以降 隠しファイル
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非周期点
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周期点の調査法
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周期点の稠密性 周期 の周期点：
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周期点の稠密性 周期 の周期点：
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周期点の稠密性 周期 の周期点：
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周期点の稠密性 周期 の周期点：
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周期点の稠密性～parry map
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数値シミュレーションによる初期条件鋭敏性
微小な距離間隔をもつ二つの初期値をとり、その軌道を観測 二点間の距離 微小な初期値の違いが時間経過と共に増大（初期値鋭敏性） 一定の距離以上離れることはない（有界性）
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★初期条件鋭敏性とは（数学） は初期条件に鋭敏である
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★初期条件鋭敏性とは 上のどの２点（ ）も、 必ずある より離れるような が存在する 初期値のどんな小さな差異も、
上のどの２点（ ）も、 必ずある より離れるような が存在する 初期値のどんな小さな差異も、 変換を繰り返すとその差は一定以上に広がる
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★初期条件鋭敏性とは 上のどの２点（ ）も、 必ずある より離れるような が存在する 初期値のどんな小さな差異も、
上のどの２点（ ）も、 必ずある より離れるような が存在する 初期値のどんな小さな差異も、 変換を繰り返すとその差は一定以上に広がる
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★初期条件鋭敏性とは 上のどの２点（ ）も、 必ずある より離れるような が存在する 初期値のどんな小さな差異も、
上のどの２点（ ）も、 必ずある より離れるような が存在する 初期値のどんな小さな差異も、 変換を繰り返すとその差は一定以上に広がる
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★初期条件鋭敏性とは 上のどの２点（ ）も、 必ずある より離れるような が存在する 初期値のどんな小さな差異も、
上のどの２点（ ）も、 必ずある より離れるような が存在する 初期値のどんな小さな差異も、 変換を繰り返すとその差は一定以上に広がる
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★位相推移性とは（数学） は位相推移的である
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★位相推移性とは 任意の集合 を繰り返し変換すると、 やがては 全体を動きまわる （ 中に重ならない集合はない）
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★位相推移性とは 任意の集合 を繰り返し変換すると、 やがては 全体を動きまわる （ 中に重ならない集合はない）
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★位相推移性とは 任意の集合 を繰り返し変換すると、 やがては 全体を動きまわる （ 中に重ならない集合はない）
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★位相推移性とは 任意の集合 を繰り返し変換すると、 やがては 全体を動きまわる （ 中に重ならない集合はない）
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★周期点が稠密とは（数学） ：集合（特に は周期点） （ただし、 の閉包） は稠密である
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★初期条件鋭敏性とは(old) 上のどの２点（ ）も、 必ずある より離れるような が存在する 初期値のどんな小さな差異も、
上のどの２点（ ）も、 必ずある より離れるような が存在する 初期値のどんな小さな差異も、 変換を繰り返すとその差は一定以上に広がる
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★位相推移性とは(old) 任意の集合 を繰り返し変換すると、 やがては 全体を動きまわる （ 中に重ならない集合はない）
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Cantor setとは
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カオス 初期条件鋭敏性 位相推移性 周期点の稠密性
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以降 back up
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線形化解析 平衡点 平衡点周辺に限り線形化解析が可能 時間 に依存せず、変化量0 Lorenz modelの平衡点 平衡点 線形化
時間 に依存せず、変化量0 Lorenz modelの平衡点 （原点） 平衡点周辺に限り線形化解析が可能 （Hartmanの定理） 平衡点 線形化 元のモデル 線形モデル
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分岐図 :Stable :Saddle-point :不安定周期軌道 初期値 原点の不安定多様体の 周期軌道が存在 Stable
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分岐図 :Stable :Saddle-point :不安定周期軌道 初期値 原点の不安定多様体上 原点の不安定多様体の 周期軌道が存在
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分岐図 :Stable :Saddle-point :不安定周期軌道 ホモクリニック軌道 原点を通る不安定周期軌道 初期値
原点の不安定多様体の 周期軌道が存在 Stable Saddle-point 原点を通る不安定周期軌道 増加 減少 :Stable :不安定周期軌道 :Saddle-point ホモクリニック軌道 初期値 原点の不安定多様体上
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分岐図 :Stable :Saddle-point :不安定周期軌道 不安定周期軌道 初期値 原点の不安定多様体上 原点の不安定多様体の
周期軌道が存在 Stable Saddle-point 不安定周期軌道 :Stable :不安定周期軌道 :Saddle-point 初期値 原点の不安定多様体上
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分岐図 時系列データ 不安定周期軌道 :Stable :不安定周期軌道 :Saddle-point
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分岐図 :Stable :Saddle-point :不安定周期軌道 初期値 原点の不安定多様体の 周期軌道が存在 Stable
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一次元リターンプロット L n l L ポアンカレ切断面 ポアンカレ切断面の一次元リターンプロット と の相関関係
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有界性 楕円体 内積 楕円体 上でモデルのベクトルは全て内側を指向 有界( :十分大)
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初期条件鋭敏性
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初期条件鋭敏性
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初期条件鋭敏性
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初期条件鋭敏性
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初期条件鋭敏性
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William’s mapの解析
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