数学 －－－＞ 抽象化、一般化 より複雑な関係ー＞解析学 一次関数 ｙ＝ａｘ＋ｂ より多くの要素ー＞線形代数 ｘ ｙ ｆ（ｘ） ｙ1 ｘ1

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1 数学 －－－＞ 抽象化、一般化 より複雑な関係ー＞解析学 一次関数 ｙ＝ａｘ＋ｂ より多くの要素ー＞線形代数 ｘ ｙ ｆ（ｘ） ｙ1 ｘ1
数学　－－－＞　抽象化、一般化 より複雑な関係ー＞解析学 一次関数 ｙ＝ａｘ＋ｂ より多くの要素ー＞線形代数 要素　　　　　　　関係　　　　　　　要素 ｘ ｙ ｆ（ｘ） ｙ1 ｘ1 ｙ2 ｘ2 線形 ・ ・ ・ ・ ｙm ｘn

2 　　　　連立１次方程式 要素　　　　　　　関係　　　　　　　要素 ｘ ｙ ｆ（ｘ） ｙ1 ｘ1 ｙ2 ｘ2 線形 ・ ・ ・ ・ ｙm ｘn ｘ ｂ Ａｘ

3 2x+3y=8 x+2y=5 -y= -2 x+2y=5 -y= -2 x =1 x =1 -y= -2 x =1 y= 2 (Ⅰ)
　　基本変形 2x+3y=8 (Ⅰ) x+2y=5 -y= -2 ①＋②×(-2) (Ⅱ) x+2y=5 -y= -2 (Ⅲ) x　　 =1 ②＋①×2 x　　 =1 (Ⅳ) ①と②を入れ替えた -y= -2 x　　 =1 (Ⅴ) y= 2 ②×(-1)

4 （１）１つの式を何倍か（≠０倍）する。 （２）２つの式を入れ替える。 （３）１つの式に他の式の何倍かを加える。 ・基本変形は可逆的である。
　　　　　　基本変形 　　連立１次方程式の基本変形 （１）１つの式を何倍か（≠０倍）する。 （２）２つの式を入れ替える。 （３）１つの式に他の式の何倍かを加える。 ・基本変形は可逆的である。 ・基本変形を行って得られる連立１次方程式 　は全て同等である。

5 行列の（行）基本変形 （１）１つの行を何倍か（≠０倍）する。 （２）２つの行を入れ替える。 （３）１つの行に他の行の何倍かを加える。
　　掃き出し法 基本変形を行って連立１次方程式を解く方法 係数行列を単純な形（単位行列）にする。 行列の（行）基本変形 （１）１つの行を何倍か（≠０倍）する。 （２）２つの行を入れ替える。 （３）１つの行に他の行の何倍かを加える。

6 2x+3y=8 x+2y=5 -y= -2 x+2y=5 -y= -2 x =1 x =1 -y= -2 x =1 y= 2 2 3 8
(Ⅰ) x+2y=5 -y= -2 ①＋②×(-2) (Ⅱ) x+2y=5 -y= -2 (Ⅲ) x　　 =1 ②＋①×2 x　　 =1 (Ⅳ) ①と②を入れ替えた -y= -2 x　　 =1 (Ⅴ) y= 2 ②×(-1)

7 簡約な行列 簡約な行列 一般的な連立方程式を解くために、拡大係数行列を扱いやすい行列に変形する。
　　　簡約な行列　　　　 　一般的な連立方程式を解くために、拡大係数行列を扱いやすい行列に変形する。 行列の零ベクトルでない行ベクトルの０でない最初の成分－＞その行の主成分 　　簡約な行列 （１）行ベクトルのうち零ベクトルがあれば、それは零ベクトルでないものよりも下にある。 （２）零ベクトルでない行ベクトルの主成分は１である。 （３）第ｉ行の主成分をａiji とすると、ｊ1＜ｊ2＜ｊ3＜・・・となる。 　　　すなわち各行の主成分は、下の行ほど右にある。 （４）各行の主成分を含む列の他の成分は全て０である。すなわち、 　　第ｉ行の主成分がａijiならば、第ｊi 列のａiji以外の成分は全て０である。

8 　簡約な行列の例 主成分：各行の最初の１

9 ③×(1/2) /2 1 ② ①と③を入替 /2 4 ①＋②×3 /2 1 ①×(1/2) /2 4 /2 1 ③×(1/2) ①＋③×(-5/2) ②＋①×(-3) ② ＋③×(-3/2)

10 行列の簡約化 行列の階数 行列Aに基本変形を繰り返して簡約な行列Bを得る ー＞行列Aを簡約化する。 行列B：行列Aの簡約化 定理２.２.１
　　行列の簡約化 行列Aに基本変形を繰り返して簡約な行列Bを得る 　ー＞行列Aを簡約化する。　　行列B：行列Aの簡約化 定理２.２.１ 　任意の行列は、基本変形を繰り返すことにより簡約化できる。また、与えられた行列の簡約化は唯一通り定まる。 　　行列の階数 行列Ａの階数：rank(Ａ) rank(Ａ)＝Ｂの零ベクトルでない行の個数 rank(Ａ)＝Ｂの行の主成分を含む列の個数 Ｂ：行列Aの簡約化 定理２.２.２ 　Ａがｍ×ｎ行列ならば 　　　　rank(Ａ)≦ｍ，　　rank(Ａ)≦ｎ

11 rank［Ａ：ｂ］＝rank(Ａ) または rank(Ａ)＋１
　　　　連立１次方程式を解く rank［Ａ：ｂ］＝rank(Ａ)　または　 rank(Ａ)＋１ rank［Ａ：ｂ］＝rank(Ａ)＋１　の場合 ＊ ・ 0 1 ・ …… ………… ………… ・ ・ ・ ・ ・ ・ ………… 0x1+0x2+ ･････ +0xn = 1 　ー＞ Ａｘ＝ｂ は解をもたない

12 x1 x2 x3 x4 x5 ③＋① ④＋①×(-2) ④＋②×(-1) ①＋④×(-1) ②＋④×2 ③＋④×(-4)

13 x1 x2 x3 x4 x5 x = c１ x = c2 c１ c2 x1ー2x2 + 3x4 = 2 x1= 2 +2c１ー3c2
②＋①×(-1) ③＋①×(-2) ③＋②×(-1) ②＋③×(-1) x = c１ x = c2 とする。 c１ c2 2 4 x1ー2x2 + 3x4 = 2 x1= 2 +2c１ー3c2 x3ー x4 = -1 x3= -1 + c2 x5 = 1 x5 = 1

14 x1 2 +2c1ー3c2 x2 c1 x ＝ ＝ x3 -1 + c2 x c2 x 1 2 +2c1ー3c2 c1
4 x 1 5 2 +2c1ー3c2 c1 x ＝ ＝ c c (c1, c2∈Ｒ) -1 + c2 c2 1

15 連立１次方程式 Ａｘ＝ｂ が解をもつ必要十分条件は
定理２.３.１ 　連立１次方程式 Ａｘ＝ｂ が解をもつ必要十分条件は 　　　　rank［Ａ：ｂ］＝rank(Ａ)　　である。 定理２.３.２ 　ｎ変数の連立１次方程式 　　　　　　　　　　　　　　Ａｘ＝ｂ に解が唯一つ存在する必要十分条件は 　　　　　　　　 rank(Ａ) ＝rank［Ａ：ｂ］＝ｎ．

16 同次形の連立１次方程式 Ａｘ＝ｂ において ｂ＝０ のとき Ａｘ＝０ －＞ 同次形の連立１次方程式 定理２.３.３
　　　　　Ａｘ＝０　　　　－＞　同次形の連立１次方程式 　　　　　　　　ｘ＝０　　　　－＞　自明な解 Ａｘ＝ｂ　　において　　ｂ＝０　のとき 定理２.３.３ （１）同次形の連立１次方程式 　　　　　　　　　Ａｘ＝０　　　　　（Ａ：ｍ×ｎ行列） 　　の解が自明なものに限る必要十分条件は 　　　　　　　　 rank(Ａ) ＝ｎ． （２）ｍ＜ｎ　ならば　Ａｘ＝０　は自明でない解をもつ．

17 ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅn Ａ：ｎ次正方行列 －＞ Ｂ：Ａの逆行列 逆行列 ・Ａが逆行列を持つとき、Aの逆行列はただ１つ決まる．
　　　　　　　　　　正則行列 　　逆行列 ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅn　　　　Ａ：ｎ次正方行列 　　　　－＞ 　　Ｂ：Ａの逆行列 ・Ａが逆行列を持つとき、Aの逆行列はただ１つ決まる． ・正方行列Ａは逆行列をもつとき 正則 であるという． 　　　　Ａ－１：Ａの逆行列 定理２.４.１ 　Ａ，Ｂはｎ次の正方行列で　ＡＢ＝Ｅ　ならば 　　　　　　　ＢはＡの逆行列である．

18 定理２.４.２ 　　Ａがｎ次正方行列のとき、次の（１）～（５）は同値である。 （１）　ｒａｎｋ（Ａ）＝ｎ． （２）　Ａの簡約化はＥnである． （３）　Ａｘ＝ｂ は任意のｎ次の列ベクトルｂ に対し 　　　唯一つの解を持つ． （４）　Ａｘ＝０　の解は自明な解 ｘ＝０ に限る． （５）　Ａは正則行列である．

19 1 0 ･･･ 0 0 1 ･･･ 0 0 0 ･･･ 1 e1 = , e2 = , ・・・ , en = Ax = e1 , Ax = e2 , ・・・ , Ax = en 　　解を各々 ci　とする Ac1 = e1 , Ac2 = e2 , ・・・ , Acn = en C = [c1 c2 ・・・ cn ] とする AC = A [c1 c2 ・・・ cn ] = [Ac1 Ac2 ・・・ Acn ] = [e1 e2 ・・・ en ] = En C はAの逆行列である：Ａ-1 = C [ A E ] ー> [ E A -1 ] （簡約化）