線形代数学 谷津 哲平 第１章 ベクトル 1.1 ベクトル空間 1.2 ベクトルの一次独立性 1.3 部分ベクトル空間

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1 線形代数学 谷津 哲平 第１章 ベクトル 1.1 ベクトル空間 1.2 ベクトルの一次独立性 1.3 部分ベクトル空間
第１章　ベクトル 1.1　ベクトル空間 1.2　ベクトルの一次独立性 1.3　部分ベクトル空間 平成16年6月3日（木） 谷津 哲平

2 n次元数ベクトル n次元数ベクトル n個の実数または複素数 a1, a2,…, an 定義1.1 を順序も考えて横に並べた列

3 加法と数乗法 n次元の実数ベクトルの全体の作る集合Rｎの要素の間には次の演算が考えられる 加法 数乗法
(a1, a2, …,an) + (b1, b2, …,bn) = (a1 +b1, a2 +b2, …,an +bn) 数乗法 λ・(a1, a2, …,an) = (λa1, λa2, …, λan) Rｎの任意の要素にこの演算をほどこしても， Rｎから出てしまうことは無い

4 ベクトル空間の公理 1 a + b = b + a 2 (a + b) + c = a + (b + c)
3 a + 0 = a この性質を持つ元 0 が どんな a にも存在する 4 a + x = 0 この性質を持つ元 x が a に応じて存在する 5 1 ・ a = a 6 λ・(μ・a) = (λμ)・a 7 (λ+μ)・a = λ・a +μ・a 8 λ・(a + b) = λ・a + λ・b

5 ベクトルとスカラー ベクトル…ベクトル空間の元 スカラー…数乗法に用いられる数
係数体（スカラー体）…スカラー全体の作る集合 （その中で四則演算ができる集合） ※スカラー体は実数全体 Rか，複素数全体 Cをとることが多い どちらでも通用するときK 例）K上のベクトル空間

6 ベクトルの1次結合 x = c1 a1 + c2 a2 + ……+ck ak (1.3)
ベクトル x を a1, a2,…..,ak の1次結合という （張られている） c1 a1 + c2 a2 + ……+ck ak + (-1)・x = 0 (1.4)

7 ベクトルの1次従属 c1 a1 + c2 a2 + ……+ck ak + (-1)・x = 0 (1.4)
定義1.2 a1, a2,…..,ak が1次従属である すべては 0 でないあるスカラー c1,c2, ….,ckによって次が成り立つ c1 a1 + c2 a2 + ……+ck ak = 0 (1.5)

8 1次従属と1次結合 c1 a1 + c2 a2 + ……+ck ak = 0 (1.5)
a1, a2,…..,ak が1次従属ならばc1,c2, ….,ckのうちどれかは0でない -ci ai = c1 a1 + … +ci-1 ai-1 + ci+1 ai+1 + …+ck ak 0でないスカラー ai = (-1/ ci )（c1 a1 + … +ci-1 ai-1 + ci+1 ai+1 + …+ck ak ) ai は a1,…ai-1, ai+1, … akの1次結合!!

9 ベクトルの1次独立 a1, a2,…..,ak が1次独立である c1 = c2=….=ck = 0 によって次が成り立つ
1次従属 でなければ 1次独立 定義1.3 a1, a2,…..,ak が1次独立である c1 = c2=….=ck = 0 によって次が成り立つ c1 a1 + c2 a2 + ……+ck ak = 0 (1.5)

10 部分ベクトル空間 a１,….,ak-1で張られる部分ベクトル空間といい次のようにかく
Rｎの部分集合Eが，スカラー乗法に関して“閉じて”いるときE を Rｎの部分ベクトル空間という R2では原点を通る直線 R3では原点を通る直線や平面 Eが 部分ベクトル空間 であることをいうには 　　「任意のa, b∈E とλ,μ∈Rに対し，λa +μb∈E 」 　　　 をいえばよい ベクトルa１,….,akから決まる E を a１,….,ak-1で張られる部分ベクトル空間といい次のようにかく E = [a１,….,ak-1]

11 部分空間の基底 a1, a2,…..,ak が1次従属ならば ある一つ例えばakは他のa１,….,ak-1で張られている →Eはa１,….,ak-1で張られている a1, a2,…..,ak が1次独立で，かつ， E=[a１,….,ak-1] ならば a１,….,ak-1をEの基底という．　k は E の次元

12 まとめ c1 a1 + c2 a2 + ……+ck ak = 0 (1.5) 0 でないスカラーc があるなら 1次従属 c がすべて 0 なら 1次独立 a1,…, akが 1次従属 であることと, そのうちのどれか1つが他の 1次結合 であることは同じ概念 ＜基底＞　 　　1．それらは1次独立 　　2．任意のベクトルはそれらの1次結合の形に表せる

13 宿題 1. 次のベクトルは1次独立か否か． (1) a1 = ( 1, 1, -1), a2 = ( 2, 1, 0), a3 = ( 0, -2, 5) (2) a1 = ( 1, 0, 1, 0), a2 = ( 2, 1, 1, 1), a3 = ( 0, 1, 2, 3) 2. 　n次元ベクトルが （n+1） 個以上あればそれらは1次従属であることを示せ． 3. 　次のR3の平面は部分ベクトルである．基底をつくれ． (1) x + 3y – z = 0 (2) 2x – y = 0