A： 輻射強度 I とフラックス F ２００６年１０月２日 単位名 学部 :天体輻射論I 大学院：恒星物理学特論IV 教官名 中田 好一

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1 A： 輻射強度 I とフラックス F ２００６年１０月２日 単位名 学部 :天体輻射論I 大学院：恒星物理学特論IV 教官名 中田 好一
教官名　　　　　中田　好一 授業の最後に出す問題に対し、レポートを提出。 成績は「レポート＋出欠」でつけます。 授業の内容は下のHPに掲載されます。 A:　輻射強度

2 A： 輻射強度とフラックス ２００６年１０月２日 A．１．輻射強度(Intensity)の定義 光の強さをどう表現しようか？
光子（振動数、位置、方向）の分布の２つの表現法　　　　　　　　　　　　　　　　 （１）　光子の分布関数（位置、運動量）　　　　　　　（２）　輻射強度(インテンシティー) 　　　　　　ｆ（ｘ, ｐ） 　　　　　　　　　　　　　　　 I (x, ν, Ω）　　　 　　　　　　物理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　天文　　　　　　

3 （１） ｆ（ｘ, ｐ） ｄN=ｄN´dx ＝f(x,p)dxdp ＝位置ｄｘ、運動量ｄｐの箱内 の光子の数 （２） I (x, ν, Ω）
（１）　ｆ（ｘ, ｐ） 　　ｄN=ｄN´dx 　　　　＝f(x,p)dxdp 　　　　＝位置ｄｘ、運動量ｄｐの箱内 　　　　　　の光子の数　　 （２）　I (x, ν, Ω） 　　　　ｄE＝I (x, ν, Ω）ｄνdΩｄSdt ＝位置ｘ、法線方向Ωの微小面　　　　　　 　　　　　　　ｄSを通り、Ω方向立体角ｄΩ 　　　　　　　に時間ｄｔ内に流れる振動数 　　　　　　　ｄνの光子エネルギー ｆ（ｘ, ｐ）＝位相空間密度 x ｄE ｄΩ dx I (x, ν, Ω） ＝輻射強度 (Intensity) ｄN ｄN dpｙ dpｘ pｙ pｘ ｄN=f(x,p)dxdp ｄＳ ｄE=I (x, ν, Ω）ｄνdΩｄSdt

4 ｄN´=f(x,p)dp=ｆ(x,|p|,Ω)・p2dpdΩ x
f と I をどうつないだらよいか？ (1) 分布関数 ｆ を絶対値・角度表示する。 　　　ｄN´=f(x,p)dp=ｆ(x,|p|,Ω)・p2dpdΩ x (２) ｄΩ方向に垂直な微小面をｄSとする。 　　　ｄｎ＝ｄN´・ｃ・ｄS・ｄｔ 　　　　　＝ｄｔ内にｄΩ方向へｄSを通る光子数 ｄΩ dx ｄN dp （３）　ｄE=ｈν・ｄｎ 　　　　I (x, ν, Ω）ｄν・dΩ・ｄS・dt＝ｈν・ｄN´・ｃ・ｄS・ｄｔ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｈν・f(x,|p|,Ω)・p2dp・ｃ・dΩ・ｄS・dt （４）　光子に対して、ｈν＝ｃ・p だから、dp=(h/c)dν 　　　　I (x, ν, Ω）=（ｈ４ν３/ｃ２）・f(x,p)　　　　　 輻射強度(Intensity)は基本的には 　　　　　　光子の位相密度関数 f を立体角表示したものである。

5 注１：　光子に対しては、ε＝ｈν＝ｃ・p からdp=(h/c)dνなので
　　　　f(x, p）ｄ3p＝f(x,p)・p2dp・dΩ 　　　　　　　　　　　＝（ｈ３ν２/ｃ３）・f(x,p)・dν・ｄΩ 　　　　したがって、　ｇ (x, ν, Ω）＝（ｈ３ν２/ｃ３）・f(x,hν/c) とおくと、 　　　　ｄN´=ｇ (x, ν, Ω）・dν・ｄΩ 　　　　I (x, ν, Ω）＝ε・c・ｇ (x, ν, Ω）　　　　 注２： したがって、輻射強度の変化は光子に対するボルツマン方程式で記述される。 これが輻射輸達方程式である。光子の吸収、放出はボルツマン方程式の衝突 項にあたる。吸収、散乱のない輻射は無衝突ボルツマン方程式に相当する。 その場合に成立する「位相密度ｆ（ｘ、ｐ、ｔ）は軌道に沿って不変である」という Liouvilleの定理は次に述べる輻射強度不変の法則に対応する。

6 A．２． 輻射強度不変の法則 ｄΩ´ Ｒ Ⅰ´ dS´ Ⅰ dS dΩ
dE =Ⅰ´ｄＳ´ｄΩ´＝ⅠｄＳｄΩ ｄＳ＝Ｒ２ｄΩ´　　　　　ｄＳ´＝Ｒ２ｄΩ Ⅰ´Ｒ２ｄΩｄΩ´＝ⅠＲ２ｄΩ´ｄΩ よって、Ⅰ＝Ⅰ´ ｄΩ´ Ｒ Ⅰ´ dS´ Ⅰ dS dΩ 吸収や散乱の無い時、輻射強度Ⅰは距離によって変化しない。

7 この光線の広がりを、光子の位相密度関数の立場で考えてみよう。
Ω Ωo So S X 左から右に進む光子の運動を考える。 位置空間を位置Xとそれに垂直な面 S で表す。運動量空間としては、運動量Pと 運動方向の広がりΩをとる。 面ＳoをΩoで出たN= ｎo・So・Ωo 個の光子の集団が位置Xに達した。その時の 光子の空間的な広がりSはS=Ωo・X2で与えられ、方向の広がりはΩ＝S/X2 で与えられる。 、

8 S1 S S0 X X１ Ω0 Ω1 Ω 実空間（Ｓ）で広がる。 ⇔ 運動量空間（Ω）で絞られる。（ＳΩ＝一定）
実空間（Ｓ）で広がる。　⇔　運動量空間（Ω）で絞られる。（ＳΩ＝一定） 光子の総数N＝ｎ・S・Ωは変わらず、SΩ一定であるから位相密度 ｎ は 不変である。これが光子の運動の最も単純な場合に対するLiouvilleの定理 の一例である。 位相密度ｎは輻射強度Iに比例するから　n=一定　は　I=一定　を意味する。 つまり、光束が広がると角度が絞られ、光束が縮むと角度が広がる結果、 輻射強度 I は一定に保たれるのである。 S1 S S0 X X１ Ω0 Ω1 Ω 位相密度 f(x,p) は経路に沿って不変（Liouvilleの定理）

9 × × A．３． 表面輝度（輻射強度の別名） 等方的に光る壁A-Bを点Xから見る。 I（X,ωA) ＝ I(A,ωA)
斜めに見ると光線が圧縮されるので濃く見える × I(A,ωA) 遠くなると光が弱くなるので壁の輝きが弱まる XからAを見ると、A点はI（X,ωA)＝I(A,ωA)の強さで光って見える。この強さはXによらず、A点固有の量である。そこで、I（A,ωA)を、[　天文では実際に測定するのはI（X,ωA)だが　]　A点でのωA方向の表面輝度と呼ぶ。説明から分かるように表面輝度は輻射強度と同じである。 I(X,ωB) I(B,ωB) X B I（X,ωA)

10 黄色い部分は小さく見えるが、そこの色、明るさは変わらない
壁から離れた点 ｙ、 ｚ での輻射強度は？ 輻射強度＝表面輝度は距離で変わらない。 ｙ ｚ 　　点ｚから見た壁 黄色い部分は小さく見えるが、そこの色、明るさは変わらない 点ｙから見た壁 銀河の表面輝度は距離で変わらない。大きさが変わるだけ。

11 A. ４．フラックス（Flux） ｋ 最初に定義を少し。（見にくいけれど太字はベクトル）
ｄΩ(ｋ) ｄΩ＝ｋｄΩ＝Ω方向の微小立体角　　　　　　（ｋはΩ方向の単位ベクトル） S＝S ｋ＝法線ベクトルｋの微小面　　　 ｋ ｋ＝Ｓの法線ベクトル（長さ１） S=Sｋ θ ｋ´＝ｋと角度θをなす単位ベクトル ｋ ｋ´ （ｋ・ｋ´）＝cosθ　 Ｓ

12 ｋ ｋ′ θ 単位時間にＳを通る光子のエネルギーEを計算してみよう。 Ｓを通る光（Ω´方向）は法線ｋ（Ω方向）に対し角度（θ）を持つ。
ｋ´ cosθＳ Ｓ ｄΩ´＝ｋ´ｄΩ´＝Ω´方向の微小立体角 Ω´方向の光がＳを通過するときは、Ｓを斜めに見るので、その有効面積は 　　　Ｓ・ｃｏｓθ＝ （ｋ・ｋ´） Ｓ＝（Ｓ・ｋ´） Ｓを通り、ｄΩ´方向に流れるエネルギーｄE´は、 　　ｄE´＝I´（Ω´）（Ｓ・ｋ´）ｄΩ´ ＝ I´（Ω´）（S・ｄΩ´） したがって、 　　E＝∫ｄE´＝∫I´（Ω´）（S・ｄΩ´） 　　　　　　　　　＝S・∫I´（Ω´）ｄΩ´ 　　　　　　　　　＝S・F ｋ S=ｋS ｋ′ θ dΩ´＝ｋ´ｄΩ ´

13 θ ｄS=ｋdS Ｆ＝∫I（Ω）dΩ＝輻射流束ベクトル＝フラックスベクトル
　Sを単位面積にしたときの　F＝（ｋ・F）もフラックスというので注意。 Ｉ（ｋ´） F（ｋ）＝（ｋ・F） 　　　 ＝ｋ・ ∫I（Ω´）ｄΩ´ 　 ＝∫I（Ω´）（ｋ・ｄΩ´） 　 ＝∫I（Ω´）（ｋ・ｋ´）ｄΩ´ 　 ＝∫I（Ω´）ｃｏｓθｄΩ´ θ dΩ´＝ｋ´ｄΩ´ ｄS=ｋdS Ｆ(ｋ)=ｋ方向の面を通るフラックス =（ｋ・F） =フラックス（輻射流束）ベクトルＦのｋ方向成分

14 フラックスとインテンシティ 　　　　　　　　　　　　　フラックス　F　　　　　　　インテンシティ　I　　 　　　　周波数表示　　　W/ｍ２/Hz　　　　　　　　　W/ｍ２/Hz/Str. 　　　　波長表示　　　 　W/ｍ２/ｍμ 　　　　　　　W/ｍ２/ｍμ/Str. 全エネルギー表示　　　W/ｍ２　　　　 　　　　　　　W/ｍ２/Str. と、フラックスとインテンシティの単位はStrで割っているかどうかであるが、 立体角の単位ははないので、実際にはフラックスとインテンシティは同じ 単位で表される。 天文では、ジャンスキー（Jansky)=Jyという単位が多用される。 星などの点光源に用いられるときはフラックスの意味である。しかし、 空の背景輻射など広がった天体の話で現れたら、インテンシティの意味で 使われているから注意が必要である。 中途半端な大きさの天体の時が危険。

15 A．5．　体積輻射率ε インテンシティ I のソースはどこか？ １）　壁　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　I2＝I１　　　　　 I1 I２ ２）　途中からの輻射の集積　　　　　　　　　I2　＝∫ｄI　　　　　

16 A点でのインテンシティ　I　への、途中B点での微小区間ｄXからの寄与をもう少し
丁寧に考える。 長さ＝ｄX,断面積＝ｄｓの微小体積ｄV=dsdXを考える。ｄV内で生み出される 光エネルギー率を、４πεｄＶ　とする。４πは後での記述の整理のために入れ た定数。ε＝体積放射係数と呼ぶ。４πεｄＶのエネルギーはB点から四方八方に 放出される。その内でA点でのインテンシティに寄与する割合を考えよう。　　 B点 ｄω A点 ｄｓ＝Ｘ２ｄω ｄＳ＝X2ｄΩ ｄΩ Ｘ ｄＸ A点に微小面積ｄSを立てる。A点からB点のｄｓを見る立体角＝ｄω＝ｄｓ/Ｘ２　 　　　　　　　　　　　　　　　逆に、B点からｄＳを見込む立体角ｄΩ＝ｄＳ/Ｘ２

17 したがって、ｄV内で発生する輻射（４πεｄＶ）のうち、（ｄΩ/４π）がA点でｄＳを通り、ｄΩの方向に流れていく。
ｄｓ＝Ｘ２ｄω ｄＳ ｄΩ ｄＸ Ｘ したがって、ｄＶからｄＳを通ってｄΩに放出されるエネルギー率は、 　　（４πεｄＶ）（ｄΩ/４π）＝（４πεＸ２ｄωｄＸ）（ｄＳ/ ４πＸ２）＝εｄＸｄＳｄΩ。 この式を見ると、ｄX部分からの I への寄与ｄIは　ｄI＝εｄX　であることが分かる。 したがって、２）の場合は　　I=∫ｄI＝∫εｄｘ 注意：　テキストによっては、ｄV内でのエネルギー放出率をεｄＶとしている。 　　　　この場合には　ｄI=（ε/ ４π）ｄｘ　I=∫ｄI＝∫（ε/ ４π）ｄｘ　となる。

18 A．６． 簡単な例 （a) 壁表面でのフラックス F （１） F ＝∫I cosθｄΩ ＝∫∫I（θ、φ）cosθsinθｄθｄφ
　　　F＝２π∫０π/２　I （θ）cosθsinθｄθ 　　　　＝２π∫０１　I （μ）μｄμ　　（μ＝cosθ） （３）　I（θ、φ）が一定　（等方）　I=Io　な場合、 　　　F=２πIo∫0π/2cosθsinθｄθ =2πIo∫01μdμ 　　　　＝πI0 Fを求める際の立体角Ωは壁前面なので２πに渡る。しかし、Fの計算には Iにcosθの重みがかかる（F=∫IcosθｄΩ）ので、＜cosθ＞＝０．５のためF=２πIoでなく、F=πIoになるのである。

19 （ｂ） 望遠鏡のＦ比 D ｆ 星雲を焦点距離 ｆ、口径Dの望遠鏡で撮影する。簡単のため、望遠鏡の収差は無視する。
（ｂ）　望遠鏡のＦ比 星雲を焦点距離 ｆ、口径Dの望遠鏡で撮影する。簡単のため、望遠鏡の収差は無視する。 星雲上の点Aの像が焦点位置Bにできたとする。Bに置いた画像検出器（写真乾板、ＣＣＤなど）が受ける輻射量、すなわち像の明るさを考えよう。　 Ｂ IB IA 2η （tanη＝D/2f）　 A D ｆ A点から輻射強度＝IAで出た光は、Dを通り、輻射強度＝IBでB点にまた集まる。 A.2.でやったようにIA=IBである。B点でのフラックスFは収束光の立体角をωとすると、 F=∫IBcosθｄΩ≒IBω≒πIBη２≒πIA（D/2f)2　

20 前頁の式に出てくる　f/D　を望遠鏡のF比（F-ratio）と呼ぶ。
焦点距離ｆ　大 焦点距離ｆ　小 したがって淡い画像、例えば銀河の周りに広がる薄いエンベロープ、を検出しようとする際には口径の大きさよりもF比を重視しなければいけない。

21 画像の長さ　L＝ｆ・θ 焦点距離　＝　ｆ ｆ θ L 像が大きい 像が小さい F比　＝　F tanη＝D/2f＝1/(２F) D η ｆ 像が明るい 像が暗い

22 いくつかの例 すばる望遠鏡　　　　口径＝８ｍ　主焦点（主鏡の焦点）の焦点距離＝１５ｍ 　　　　　　　　　　　　　F＝15/8＝１．９ 岡山天体物理　　　　口径＝1.88ｍ　主焦点（主鏡の焦点）の焦点距離＝9.15ｍ 　　観測所 F=9.15/1.88=4.9 １．８８ｍ望遠鏡 木曽観測所　　　　　　口径＝1.05ｍ　主焦点（主鏡の焦点）の焦点距離＝3.3ｍ シュミット望遠鏡　　　F=3.3/1.05=3.1 ニコン　　　　　　　　　　口径＝３６ｍｍ　　焦点距離＝５０ｍｍ カメラ標準レンズ　　　F=50/36=1.4

23 （ｃ）　マゼラン雲内の恒星コラム数密度 　　　光度（エネルギー総放出率）Ｌの星が数密度ｎで分布しているとする。 　　　体積ｄV内の星の総数＝ｎｄVだから、　４πεｄV＝ＬｎｄV　 　　　ε＝Ln/４π 　　　マゼラン雲の面輝度Bを測ったところ、B=１０－５W/m2であった。 　　　マゼラン雲内の星の光度を仮に全て太陽の光度Lo＝3.85・1026W とし、途中の光吸収をゼロと仮定すると、 　　　B=∫（Lo・n/4π）ｄｘ＝（Lo/4π）（n・X） 　　　N=（n・X）＝（４π・１０－５/3.85・１０２６）/ｍ２ 　　　　　　　　　＝３．２６・１０－３１/ｍ２ 　　　　　　　　　＝３．２６・１０－３１・（３．０８・１０１６）２/ｐｃ２ 　　　　　　　　　＝３・１０２/ｐｃ２ 　　　次ページに示すのは マゼラン雲バーの中心7.8分角のJHK３色画像で 　　　ある。　マゼラン雲までの距離を５０ｋｐｃとすると、１１３ｐｃ四方となる。 　　　この画像に写っている星は大部分が赤色巨星で１００Loよりは明るい。 　　　星の数は１万程度はある。 　　　初めに星の明るさの平均を太陽程度と考えたのは誤りで、面輝度には 　　　赤色巨星が聞いていると考えるべきであった。赤色巨星の平均明るさ 　　　を３００Lo程度にとると画像中の星の数とよく合う。　　　　

24 大マゼラン雲（LMC）

25

26 （ｄ） オルバースのパラドックス オルバース（１７５８－１８４０）は、星が地球（太陽）の周りにどこまでも存在する宇宙を考えた。
（ｄ）　オルバースのパラドックス オルバース（１７５８－１８４０）は、星が地球（太陽）の周りにどこまでも存在する宇宙を考えた。 星の半径＝Ro、明るさ＝Lo、星の数密度＝ｎ　とする。 ｄR ｄN=４πR2ｄR・ｎ＝球殻中の星の数 S=πRo2＝一つの星の断面積 ω＝S/R2＝π（Ro/R）２ 　　　　　　＝一つの星の立体角 ｄΩ＝ω・ｄN 　　 ＝π（Ro/R）２・４πR2ｄR・ｎ 　　 ＝４π２Ro２・ｎ・ｄR 　　 ＝球殻内の星が空を覆う立体角 Ω(R)=∫０RｄΩ＝４π２Ro２・ｎ・R 　　　　＝地球から距離R以内の星全体 　　　　　　が空を覆う立体角 R 半径＝R、厚み＝ｄRの球殻 オルバースは、「宇宙が一様で無限であるならΩ（R)が４πとなり全天が太陽表面と同じ明るさで輝くはずなのに、なぜ夜空は暗いのか」という問題を提唱した。

27 この問題を輻射強度Iの言葉で表現してみよう。
例（ｃ）で見たように、恒星数密度ｎの時ε＝Lo・ｎ/４π　 だから、地球から距離R以内の恒星による輻射強度は、 I(R)=∫０RεｄR=Lo・ｎ・R/４π I(R)はRに比例するので、Rが無限大になるとI(R)も発散する。 前頁のΩを数値で当ってみると、簡単のためRo=６．９６・１０８ｍ、ｎ＝１/ｐｃ３　として、 Ω(R)＝４π２Ro２・ｎ・R＝４π２（６．９６・１０８/３．０８・１０１６）２R（ｐｃ） 　　　　　　　　　　　　　　　＝４π２・５．１１・１０－１６R(pc) Ω(R)＝４πとなるのは、R=６．２３・１０１４ｐｃ＝２．０３・１０１５光年 R=１００億光年＝１０１０光年とすると、 Ω＝４π（１０１０/２．０３１０１５）＝π・１．９７・１０－５＝π・（４．４３・１０－３）２ １′＝π/１８０＝２．９１・１０－４なので、４．４３・１０－３＝１５．２′ 太陽の視半径＝１６′なので、太陽近傍の恒星密度で宇宙が１００億光年まで一様 であったら、夜空は昼間と同じくらいにまでは明るかっただろう。

28 １．１．ある巨星表面の輝度分布Tを測った結果、
レポート問題１　　　　　提出10月16日 　　　　　　　　　　　　　　　　　レポートには、問題番号、学生証番号、学科、氏名 　　　　　　　　　　　　　　　　　を書くこと。 １．１．ある巨星表面の輝度分布Tを測った結果、 　　　　T(ω)=To [1-0.1(ω/ωo)2] という結果を得た。 　　　　ここにω＝中心から測定点までの見かけの角度。 　　　　この巨星の表面での輻射強度　I(θ)　を求めよ。 To T(ω) I(θ) θ T(θ) θ ωo

29 １．２．A点での輻射強度が図のように ｎ I(θ)＝Io （θ＜θo) ＝０ （otherwise） で与えられる場合、A点でのｎ方向への
　　　　フラックスは、　F=πIo sin2θo 　　　　で与えられることを示せ。 ｎ θo A