5章　 3次元形状を2次元面に投影する 3次元空間内に定義した形状を，2次元面上(ディスプレイのスクリーン面，プリンタの紙面など)に投影して表示するために必要になる変換について説明する.

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1 5章　 3次元形状を2次元面に投影する 3次元空間内に定義した形状を，2次元面上(ディスプレイのスクリーン面，プリンタの紙面など)に投影して表示するために必要になる変換について説明する.

2 5.1 同次座標と射影変換 1. 同次座標 同次座標(homogeneous coordinate) 直交座標系の座標
5.1　同次座標と射影変換 　　　1.　同次座標 同次座標(homogeneous coordinate) 直交座標系の座標 W=0の場合，(0,X,Y,Z)を[X,Y,Z]方向の 無限遠点を表すものとする．

3 同次座標による変換行列 CGの最も基本概念の１つに同次座標がある． 同次座標が必要な背景
平行移動，回転，スケーリング変換を一貫した方法で実現したい．すべて行列の乗算で実現できれば都合がよい． 平行移動の変換式は行列の乗算ではなく，行列の和となっている． 同次座標を用いれば，変換の処理を数学的に統一できる． 同次座標とは，ｎ次元空間の点を（ｎ＋１）の座標で表す．（ｎ＋１）番目の座標はｗ座標とよぶ． たとえば，３次元空間の点（ｘ，ｙ，ｚ）を（ｘ，ｙ，ｚ，１）で書き直せば，点（ｘ，ｙ，ｚ）の同次座標となる． ３次元空間 同次座標

4 5.1 同次座標と射影変換 2. 射影変換 同次座標(W,X,Y,Z)の空間を，射影空間(projective space)という．
5.1　同次座標と射影変換 　　　2.　射影変換 同次座標(W,X,Y,Z)の空間を，射影空間(projective space)という． この変換のことを，射影変換(projective transformation)という． W’=Wの場合，特に，アフィン変換(affine transformation)という．

5 5.2　投影変換 　　　1．　投影の一般式 x y z 投影面をxy平面とすると，z’=0であるから

6 5.2　投影変換 　　　2．　射影変換による表現 同次座標で考える． 任意の点B 視点E 投影像の点P Z’=0であるから，上式を行列表現すると

7 5.2　投影変換 　　　2．　射影変換による表現 透視投影(perspective projection)と平行投影(parallel projection) 投影面 投影中心 投影線 投影中心が 無限遠 透視投影 平行投影

8 5.3　平行投影 投影方向　ｚ軸方向，投影面　ｘｙ平面 空間内の点B(x,y,z)，平行投影された点P(x’,y’,z’)

9 5.4　透視投影 視点　E(0,0,h)，投影面　xy平面，空間内の点　B(x,y,z)，投影された点　P(x’,y’,z’)