超幾何分布とポアソン分布 超幾何分布 ポアソン分布.

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1 超幾何分布とポアソン分布 超幾何分布 ポアソン分布

2 超幾何分布(Hypergeometric distribution)
定義：母集団がN個の要素を持ち、ある属性を持つ要素がそのうちM個あるとする。この母集団からn個の要素を取り出したとき（非復元抽出）、その属性を持つ要素がx個含まれている確率が超幾何分布で表される。 N:母集団の要素の数 M:ある属性を要する要素の数 n=標本の大きさ

3 超幾何分布の確率関数 確率関数 範囲： 　　　M/N=pとすれば 期待値：　　　　　　　　分散：

4 超幾何分布と二項分布の関係 P=M/Nを一定に保ちつつ、Nを大きくすれば、超幾何分布は二項分布に近づく。 と書き直すと　

5 超幾何分布と二項分布の関係 ところが したがって

6 練習問題１　(p87) 山にいる猿500匹のうち、100匹に標識をつけてから自然に返されてある。いま山から猿を５匹取ったとき、そのうち標識が付いた猿が0匹である確率はどれくらいか。また、1匹の場合はどれほどか。 [解説]　ここで、N=500,M=100,n=5として計算すると、0匹である確率は

7 練習問題2 20 個の飴が入った箱があるとする。20 個のうち 8 個は赤色で、12 個は黄色である。この箱から 4 個の飴を無作為に抽出するとき、その中の 1 個が赤色である確率を求めよう 解答：

8 ポアソン分布(Poisson distribution)
ｎが大きいが、Pが小さいとき、Xの確率分布を二項分布から求めることは困難である。 定義 パラメータと期待値と分散 二項分布とポアソン分布の比較

9 定義 npが→λとなるように、n→∞のとき、p→０となった極限では、各ｘについて → が成り立つ。
　　　　　　　　→　　　　　　　　　　　　　　が成り立つ。　　　　　　　　　　　　　　　　 この分布をポアソンと呼び、Po(λ）で表す。　 eは自然対数の底で、e＝ ・・・・　　

10 証明：

11 超幾何分布とポアソン分布 P=M/Nが小さく、ｎが大きいとき、超幾何分布は次のようにポアソン分布で近似することができる。

12 ポアソン分布の パラメータ、期待値、分散 パラメータ：λ=np 期待値： 分散：

13 二項分布とポアソン分布の近似（１）

14 二項分布とポアソン分布の近似（２）

15 二項分布と超幾何分布とポアソン分布の関係

16 例題：P103,③ 解説：2時間の間に釣った魚の数Xはλ=np=2×2=4のポアソン分布に従う。 ① ②

17 解説 ③ 参考：