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動力学(Dynamics) 力と運動方程式 ２００８．６．１０
知能システム論１（８） 動力学(Dynamics) 力と運動方程式 ２００８．６．１０
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練習問題 のとき、マニピュレータ先端部の 加速度ベクトルをもとめよ。 θ3 P3 リンク３ リンク2 θ2 P Z2 P2 Y2 X2
Z0,Z1 リンク1 Y1 X０ P1 θ1 Y0 X1
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姿勢の算出 A1 単位行列 A2 A3
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姿勢の計算 回転速度・加速度の計算
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腕先端Ｐの加速度の計算 1 rad/sec
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講義内容 １．はじめに ２．ベクトルの基礎 ３．運動学(Kinematics) ４．動力学（Dynamics) ５．行列の演算と応用(Matrix) ６．軌道計算(Trajectory) ７．ロボットの制御(Control) ８．応用(Application)
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力のモーメント 大きさ： 方向： 向き： ｎ（ｒ と F を含む面に垂直） 右ねじ ｎ r |r|sinθ θ F
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先端部における力と力のモーメントの効果 第 i 関節にかかる力のモーメント: 第 i 関節の回転力 Ti ： F M P P-Pi Zi
Yi=pi Z0 X０ P1 Y0
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ヤコビアン（係数行列）Jacobian J:ヤコビアン 上式を１つにまとめると次のようになる マニピュレータ先端の並進速度
マニピュレータ先端リンクの回転速度 上式を１つにまとめると次のようになる 自由度変数の 変化速度 先端の速度 J:ヤコビアン 例題のヤコビアン
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例題 z x y
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Ｔ3，⊿θ3 P Fx, Fx, Fx ⊿x, ⊿y, ⊿z Ｔ2，⊿θ2 Ｔ１，⊿θ1 Z0 X０ P1 Y0
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動力学(Dynamics) 逆動力学： リンクの位置、速度、加速度から関節トルクを求める。
逆動力学： リンクの位置、速度、加速度から関節トルクを求める。 順動力学： 関節トルクからリンクの加速度を求める。 ・逆動力学はロボットの制御に用い、順動力学はロボットの シミュレーションに用いる。 ・ここでは、主として逆動力学について述べる。順動力学は 逆動力学に基づき展開することができる。 はじめに例題の３関節(自由度）ロボットを取り上げ、 各リンクの質量が重心に集中している場合を扱い、 一般への展開はその後考える。
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運動方程式(Equation of Motion)
力とモーメント ベクトル リンク重心位置
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各リンク重心の速度と加速度 回転速度ベクトル 回転加速度ベクトル
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各リンクの力とモーメントの釣合い リンク３ リンク２ リンク1 関節トルク：
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各リンクの運動方程式の一般形 ：慣性テンソル 慣性主軸 Ｘ軸周りの慣性モーメント となる軸
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重心周りの角運動量 慣性乗積がゼロのＸ，Ｙ，Ｚ軸を選ぶと、
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オイラー(Euler)方程式（ベクトル表現）
角運動量の時間微分が力のモーメント
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とすると。
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慣性モーメントの計算 Ｚ Ｙ Ｘ
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慣性モーメントの計算 Ｒ Ｘ Ｚ Ｙ
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逆動力学の計算手順 １) 各リンクの姿勢と重心位置(θ:given） ２） 各リンク重心の速度・回転速度（ :given）
４） 各リンクの運動方程式 ５） 各関節に加わる力・モーメントベクトル(Fi,Mi） ６） 各関節のトルク（Ti） １）～３）はベースから手先へ、 ４）～６）は手先からベースの向きに漸化式を立てる
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オイラー(Euler)方程式 慣性主軸座標系でのオイラー方程式 慣性主軸 基準座標系でのオイラー方程式
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オイラー(Euler)方程式
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