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三角錐の体積（積分学まで待たねばならないか？）
図左が、正三角錐。右が正四角錐。 これもまた、数学成書において証明は「積分法まで待たなければならず、記憶しておくと便利」と解説されている。 しかし、多面体タイルを使えば、角錐の体積 (1/3)(底面積)(高さ) はいとも容易く、文字を用いた計算もピゴラスの定理と無理数の計 算が できれば可能。 これができる前提は、タイルによって、組立てたり分解したりすること。
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橙色の三角錐は直方体の１/３ 下の画像は、直方体を構成する (1/3) a3
左上の画像が多面体タイルで作った直方体。一辺をaとするとその体積は、a×a×a a3 下の画像は、直方体を構成する 多面体が分かるように分解したもの。黄色２つと、橙１つが同じ大きさであり、橙の 三角錐の体積は、直方体の体積の１／３であることが分かる。 (1/3) a3
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三角錐の体積を求める１ 三角錐の底辺１辺を√2aとすると垂線の長さはピタゴラスの定理を用いて h 2 +(√2a/2) 2 =(√2a) 2
これを計算して h 2 = 3a 2/2 h = √3a/√ (h>0) したがって、底面積 (√2a×h)/2 = √3a2/2 これを(1/3) a3に代入すると (1/3)(√3a2/2)(2a/√3) この(2a/√3)は三角錐の高さです。 したがって、 1/3(底面積)(高さ) この計算は、「積分学」を待つ程のことはない。
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三角錐の体積を求める２ 三角錐の一辺を√2aとしたとき、AH2+BH2=(√2a)2 BH=(2/3)BM BM2=BC2-CM2
=(√2a)2--(√2a/2)2 =3a 2 /2 BM=√3a/√2 BH=2√3a/3√2 AH2=(√2a)2 -BH2=2a2 -12a2 /18 =24a2/18=4a2/3 AH=2a/√3 これが三角錐の高さ、これに底面積√3a2/2をかけると （2a/√3)(√3a2/2 ）= a3 一辺aの直方体の体積となる。
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