早稲田大学大学院商学研究科 ２０１４年１２月１０日 大塚忠義

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1 早稲田大学大学院商学研究科 ２０１４年１２月１０日 大塚忠義
統計基礎（第１０回） 正規分布からの標本 早稲田大学大学院商学研究科 ２０１４年１２月１０日 大塚忠義

2 母平均の検定(1) 正規分布を活用する検定 ：標本の数が１００以上 例：東京のラーメンの価格は５００円より高い？ 帰無仮説 ： μ＝500
帰無仮説　　　：　μ＝500 対立仮説　　　：　μ＞500 有意水準 5％で片側検定を行う 電話帳でランダムに500件のラーメン屋に電話をかけ価格を調査した 2

3 母平均の検定(2) その結果：標本平均520円、 標本標準偏差160円 帰無仮説は棄却される。従って、 東京のラーメンは500円より高い
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　標本数が100を超えているので 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　標本標準偏差を代用する 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　NORMS.DIST(1.77) 帰無仮説は棄却される。従って、　東京のラーメンは500円より高い　　　　　 母平均 500 母分散 unknown 標本数 200 標本平均 520 標本標準偏差 160 Z値 1.77 p値 0.961 1-p値 0.039 3

4 第９回 正規分布からの標本母集団 正規標本論 分布 ｔ 分布 F 分布
Agenda 第９回　正規分布からの標本母集団 正規標本論 　　分布 ｔ 分布 F 分布

5 正規母集団 正規母集団：分布が正規分布であると仮定できる母集団
正規母集団を仮定すると理論も応用もスムーズ 多くの理論、実務、ソフトウェアは正規母集団から抽出した標本の統計量を対象に発達した 統計的推測の理論は正規標本論を中心に発達・構成されている 5

6 正規標本論(1) 正規標本論：正規母集団からの標本 に基づく統計量の分布を活用する
正規標本論：正規母集団からの標本 に基づく統計量の分布を活用する 正規分布：ガウス分布：誤差分布 　ガウスの惑星観測の際の誤差を測定するために作った確率分布 　推定誤差は確率分布である 　観測の精度が高ければ誤差は小さい 　観測の回数を増やせば制度は高まる 6

7 正規標本論(2) 正しい値は未知だが存在する＝平均 観測の回数を増やすと観測値の平均は母集団の平均に近づく 観測の回数を増やすと誤差のばらつき＝標準偏差は減少する 　平均から一定の距離の外にある観測値は誤差の範囲外⇒誤差以外の理由が存在⇒有意である 7

8 正規分布の性格(1) 確率密度関数 １．平均、分散の２つの母数で形状が決定する ２．平均を中心に左右対称のベル型の形状 8

9 正規分布の性格(2) ３．メディアン、モードは平均と一致する ４．我々が対象とする多くの母集団は正規分布を仮定できる（中心極限定理） ５．母集団が正規分布であれば、標本平均も正規分布に従う（再生性） ６．独立な標本からの統計量（例えば平均の差）は正規分布に従う 9

10 正規分布の性格(3) ７．Xが正規分布に従えば、aX+bも正規分布に従い、次のように標準化される 10

11 正規標本の分布 (1) 正規母集団からの統計量が従う確率分布を４種類示す 1. 正規分布 標本平均 の分布（分散が既知） 2. 分布
　　標本平均　　の分布（分散が既知） 分布 　標本分散　　の分布 11

12 正規標本の分布 (2) 3.　ｔ 分布 　　標本平均　　の分布（分散が未知） 4. F分布 　　標本分散 　　 の比の分布 12

13 正規分布 分散が既知の場合の標本平均 は正規分布 に従う とするとZは に従う
　分散が既知の場合の標本平均　　　は正規分布 に従う とするとZは　　　　　に従う 既知でなくても標本数ｎが１００以上あれば正規分布とみなすことができる 13

14 分布(1) 14

15 分布(1) 15

16 ｔ 分布(1) 次の条件を満たすとき、ｔ 統計量は自由度ｔ の ｔ 分布に従う ①Zは標準正規分布N(0.1)に従う
②Yは自由度kの　　分布に従う ③ZとYは独立 16

17 ｔ 分布(2) スチューデントのｔ 統計量は自由度n の ｔ 分布に従う Sは標本分散、未知の母分散の代用品 17

18 F 分布(1) 次の条件を満たすとき、フィッシャーの分散比Fは自由度 の F 分布に従う ①Uは自由度 の 分布に従う
②Vは自由度　 の　　分布に従う ③UとVは独立 18

19 F 分布(2) 19

20 F 分布(3) 20

21 母平均の検定(1) t 分布を活用する検定 ：標本の数が１００未満 例：東京のラーメンの価格は５００円より高い？ 帰無仮説 ： μ＝500
帰無仮説　　　：　μ＝500 対立仮説　　　：　μ＞500 有意水準 5％で片側検定を行う 電話帳でランダムに30件のラーメン屋に電話をかけ価格を調査した 21

22 母平均の検定(2) その結果：標本平均520/560円、 標本標準偏差160円 母平均 500 母分散 unknown 標本数 30
T.DIST(0.68,29,1)(2.05) 母平均 500 母分散 unknown 標本数 30 標本平均 520 560 標本標準偏差 160 t値 0.68 2.05 p値 0.751 0.975 1-p値 0.249 0.025 22

23 Question? お疲れ様でした 次回できたらPCを お持ちください