速度依存変動エディントン因子を用いた 相対論的鉛直＆球対称輻射流 Velocity-Dependent Eddington Factor in　Relativistic Photohydrodynamics 福江　純、秋月千鶴＠大阪教育大学.

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1 速度依存変動エディントン因子を用いた 相対論的鉛直＆球対称輻射流 Velocity-Dependent Eddington Factor in　Relativistic Photohydrodynamics 福江　純、秋月千鶴＠大阪教育大学

2 目次 ０ 現象：宇宙ジェット １ 準備：相対論的輻射流体力学 ２ 動機：モーメント定式化の病的特異性 ３ 物理：速度依存変動エディントン因子
０　現象：宇宙ジェット １　準備：相対論的輻射流体力学 ２　動機：モーメント定式化の病的特異性 ３　物理：速度依存変動エディントン因子 ４　修正と結果 平行平板：重力なし 平行平板：重力あり 球対称：重力なし 球対称：重力あり ５　影響 Tsukuba Colloquim 06/08/30

3 ０　宇宙ジェット現象 Astrophysical Jets

4 亜光速ジェット 中心の天体から双方向に吹き出す、細く絞られたプラズマの流れが｢宇宙ジェット｣ ジェットの噴出速度はしばしば光速の数割！
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5 SS433 特異連星SS433 ジェットの速度は光速の26％！ Tsukuba Colloquim 06/08/30

6 マイクロクェーサー マイクロクェーサーGRS1915+105 ジェット速度は光速の92％！！
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7 活動銀河 活動銀河のジェット：　電波銀河M87ジェット Tsukuba Colloquim 06/08/30

8 クェーサー クェーサー3C273のジェット 電波・光・X線 Tsukuba Colloquim 06/08/30

9 系内ジェット＆系外ジェット 系内ジェット（microquasar） SS433 ＞LE ep cont/blob 0.26c
　　1E1740　 　　　　　　ee?　 　　　　　　　　0.26c 　　GRS1915　～LE　 ee? bloby　　　　0.92c 　　GROJ ee? bloby c 系外ジェット 　　3C ＞LE　　？ ？　　　　　 c？ 　　M ＜＜LE ？　 ？　　　　　　？ Tsukuba Colloquim 06/08/30

10 放射圧加速ジェット 光度 L＞LE 成分 ep通常プラズマ ｖｓ ee対プラズマ
形態 continuous / periodic / intermittent 速度 　mildly relativistic β=0.26、γ=1.04 　　　　　　highly relativistic β=0.92、γ=2.55 　　　　　　ultra relativistic β=0.99、γ=10 　　　　　　extremely relativistic γ=100 GRB Tsukuba Colloquim 06/08/30

11 Relativistic Radiation Hydrodynamics
１　準備 相対論的輻射流体力学 Relativistic Radiation Hydrodynamics

12 １．準備 平均自由行程１ “光（光線）は直進する”と習うが、これはウソである。
１．準備　平均自由行程１ “光（光線）は直進する”と習うが、これはウソである。 晴れた日には数km先まで見えるが靄が濃いときには1m先ぐらいまでしか見えないこともある。星間空間では何万光年も彼方の星が見えるが、太陽内部では0.5cm先ぐらいまでしか見えない。 粒子（物質）と光子からなる世の中では、 　　“光線は平均自由行程だけ直進する” Tsukuba Colloquim 06/08/30

13 １．準備 平均自由行程２ 光の平均自由行程λは、ガス密度ρと（他の全部の要素を含む）不透明度κの積に反比例する： λ＝1／（κρ） （１）
１．準備　平均自由行程２ 光の平均自由行程λは、ガス密度ρと（他の全部の要素を含む）不透明度κの積に反比例する： 　　　λ＝1／（κρ）　　　　　　　　（１） 平均自由行程λはもちろん[cm]の単位をもつ。 たとえば、太陽内部では、密度は平均的に1g/cm3程度で、不透明度は1cm2/g程度なので、平均自由行程は1cmのオーダーになる。 Tsukuba Colloquim 06/08/30

14 １．準備 光学的深さ１ 光子の輸送という観点から、光が感じる“距離”として、実距離の代わりに「光学的深さ」を使う。
１．準備　光学的深さ１ 光子の輸送という観点から、光が感じる“距離”として、実距離の代わりに「光学的深さ」を使う。 光が通過した実距離dsと物質密度ρと不透明度κを用いると、光学的深さdτは、 　　　dτ＝κρds　　　　　　　　　　　 （２） 　 で定義される。 光学的深さの単位は無次元である。 平均自由行程との関連で言えば、 　　　光学的深さが１になる距離が平均自由行程 　 に他ならない。 Tsukuba Colloquim 06/08/30

15 １．準備　光学的深さ２ 太陽半径70万kmは太陽内部の平均自由行程0.5cmの約1011倍なので、太陽表面から中心までの光学的深さも1011ほどになる。 N回のランダムウォークで進む距離は、平均自由行程の√N倍程度なので、太陽半径進むには、N＝(1011)2＝1022となり、道のりにして、1022cmぐらいになるので、光速で104年かかる。 Tsukuba Colloquim 06/08/30

16 １．準備 吸収と散乱 ｊ κ σ 平均自由行程進むと、物質粒子によって吸収や散乱を受ける。
１．準備　吸収と散乱 平均自由行程進むと、物質粒子によって吸収や散乱を受ける。 ｊ κ σ Tsukuba Colloquim 06/08/30

17 １．準備　拡散近似と自由流領域１ 光子を吸収した原子がふたたび光子を放出するときや、光子が散乱されて向きを変えるとき、光子の新しい進行方向は、吸収・散乱前の光子の進行方向とはおおむね無関係なので、“局所的”には、光子は千鳥足で任意の方向に散らばっていく。近似的には、 　光学的に厚い領域では 　　等方的に拡散する。 Tsukuba Colloquim 06/08/30

18 １．準備　拡散近似と自由流領域２ 一方、“大局的”には、熱伝導や粒子拡散と同様、光子の密度が高い領域から低い領域へ向けて（たとえば太陽の中心部から表面へ）、光子はじわじわと拡がっていく。すなわち、より正確には、 光子密度の勾配の 　 負方向へ拡散する。 Tsukuba Colloquim 06/08/30

19 １．準備 拡散近似と自由流領域３ 光学的に薄い場合、たとえば、太陽表面付近から惑星間空間のような平均自由行程が十分に長い場合：
１．準備　拡散近似と自由流領域３ 光学的に薄い場合、たとえば、太陽表面付近から惑星間空間のような平均自由行程が十分に長い場合： この場合は、光子は吸収も散乱もほとんど受けずに、光源から反対方向へ向けて、“自由流”として直進する。 Tsukuba Colloquim 06/08/30

20 １．準備 輻射場の物理量１ 光子の流れ（輻射）は、エネルギーと運動量を運び、周辺のガスに圧力（応力）を及ぼす。
１．準備　輻射場の物理量１ 光子の流れ（輻射）は、エネルギーと運動量を運び、周辺のガスに圧力（応力）を及ぼす。 「輻射エネルギー密度E」：単位体積あたりの輻射のエネルギー（ [erg/cm3]） 「輻射流束F」：単位時間単位面積あたりに輻射が運ぶエネルギー（ [erg/cm2/s]＝c× [erg/cm3] ） 「輻射圧P」：単位面積あたりの輻射の力（ [dyn/cm2]＝ [erg/cm3] ） Tsukuba Colloquim 06/08/30

21 １．準備　輻射場の物理量２ 光学的に厚い領域：等方的拡散：輻射圧（拡散圧）も等方的（パスカルの原理と同じ）。xyzの3方向のそれぞれに対して、 　　　Pxx＝E/3、Pyy＝E/3、Pzz＝E/3　　　 （３） 　 が成り立つ（輻射圧はテンソル量）。 大局的には、光子密度の勾配の負方向へ拡散するので、輻射流束は、xyzの3方向のそれぞれに対して、 　　　Fx=－(1/κρ)dPxx/dx＝－(1/3κρ)dE/dx 　　　Fy=－(1/κρ)dPyy/dy＝－(1/3κρ)dE/dy 　　　Fz=－(1/κρ)dPzz/dz＝－(1/3κρ)dE/dz　　（４） 　のようになる（輻射流束はベクトル量）。 Tsukuba Colloquim 06/08/30

22 １．準備　輻射場の物理量３ 光学的に薄い領域：自由流：輻射圧は流れの方向へだけ働き、他の方向への輻射圧はない。したがって自由流の方向をz方向とすると、 　　　Pxx＝0、Pyy＝0、Pzz＝E （５） 　 となる。 また同様に、輻射のエネルギーEが自由流の方向に光速cで運ばれるので、輻射流束は、 　　　Fx=0、Fy=0、Fz=cE （６） Tsukuba Colloquim 06/08/30

23 ボルツマン方程式と流体方程式 Tsukuba Colloquim 06/08/30

24 １．準備 輻射輸送方程式 原理的には、輻射輸送方程式を解けば、輻射輸送の問題はまぎれなく解けることになる。
7つの独立変数（r、l、t）をもった微分積分方程式である。こんなの解きたくない！→梅村研究室 相対論：（座標）静止系／実験室系と（流体）静止系／共動系を区別しなければならない。　 １．準備　輻射輸送方程式 Tsukuba Colloquim 06/08/30

25 １．準備　モーメント定式化 輻射の“非等方性”はあまり強くないと仮定し、光線の角度依存性は弱いとして、輻射輸送方程式を角度方向に展開し、角度について積分して、0次のモーメント、1次のモーメント、などと呼ばれる一群の方程式セットを得ることができる。 方程式系を閉じるために別の関係式が必要。 Tsukuba Colloquim 06/08/30

26 １．準備 エディントン近似 光学的に厚い領域で成り立つ関係： P＝E/3 （一般にはPij=δijE/3） （７）
１．準備　エディントン近似 　光学的に厚い領域で成り立つ関係： 　　　P＝E/3　（一般にはPij=δijE/3） 　（７） 　 を「エディントン近似」と呼んでいる。 このエディントン近似でモーメント式を閉じる。 この関係は常に成り立つとは限らない。実際、光学的に薄い領域では、輻射の輸送は拡散的ではなくなるし、エディントン近似も成り立たない。 Tsukuba Colloquim 06/08/30

27 １．準備 変動エディントン因子 エディントン近似を一般化して、 P＝f E （８）
１．準備　変動エディントン因子 エディントン近似を一般化して、 　　　　P＝f E （８） 　と仮定し、係数 f を、光学的に厚い領域では1/3、光学的に薄い領域では1にさせる：たとえば、光学的深さをτとして、 　　 f （τ）＝（1＋τ）／（1＋3τ） 　　（９） 　 などがある（Tamazawa et al. 1975）。 光学的深さなどに依存して変化する係数を、「変動エディントン因子」と呼んでいる。変動エディントン因子を上手に用いると、光学的に厚い領域から光学的に薄い領域にかけて、輻射輸送を連続的に調べることが可能になる。 Tsukuba Colloquim 06/08/30

28 Variable Eddington Factor
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29 Flux-Limited Diffusion 1
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30 Flux-Limited Diffusion 2
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31 Flux-Limited Diffusion 3
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32 １．準備　相対論的輻射輸送方程式１ Tsukuba Colloquim 06/08/30

33 １．準備　相対論的輻射輸送方程式２ Tsukuba Colloquim 06/08/30

34 １．準備　モーメント方程式１ Tsukuba Colloquim 06/08/30

35 １．準備（流体）共動系ｖｓ（座標）静止系 Tsukuba Colloquim 06/08/30

36 １．準備　モーメント方程式２ Tsukuba Colloquim 06/08/30

37 １．準備　エディントン近似at共動系 Tsukuba Colloquim 06/08/30

38 １．準備　質量保存の法則 Tsukuba Colloquim 06/08/30

39 １．準備　運動方程式１ Tsukuba Colloquim 06/08/30

40 １．準備　運動方程式２ Tsukuba Colloquim 06/08/30

41 １．準備　運動方程式３ 輻射力 輻射抵抗 Tsukuba Colloquim 06/08/30

42 輻射抵抗 Tsukuba Colloquim 06/08/30

43 １．準備　エネルギー式１ Tsukuba Colloquim 06/08/30

44 １．準備　エネルギー式２ Tsukuba Colloquim 06/08/30

45 ２　動機 モーメント定式化の病的特異性 Motivation

46 ２．動機 従来の定式化の下で相対論的輻射流を調べた（Fukue 2005）
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47 ２．動機 v＝c/√3で特異性が出現 平行平板（１次元定常輻射流）で、τは表面からの光学的厚み
u2=1/2 or β2=1/3 で分母=0！ 平行平板（１次元定常輻射流）で、τは表面からの光学的厚み u=γβ=γv/c： 流れの4元速度、β=v/c F：輻射流束、P：輻射ストレス、J：質量流束 Tsukuba Colloquim 06/08/30

48 ２．動機 従来の定式化の下では 特異性を通過する遷音速解はあるが、輻射抵抗で減速する解で境界条件も満たさず、不適
２．動機　従来の定式化の下では 特異性を通過する遷音速解はあるが、輻射抵抗で減速する解で境界条件も満たさず、不適 加速する解で、かつ表面境界条件を満たすのは、特異性を通過しない亜音速解だけだった 光速まで加速できない！ Tsukuba Colloquim 06/08/30

49 先行研究 Relativistic Radiation TransferのMoment Formalismの欠陥：
　Turolla and Nobili 1988； 　Turolla et al. 1995; 　Dullemond 1999 らが、特性速度など、数理的な解析をしている。 ただし、回避法などについては未研究 Relativistic Wind/Accretion 　Flammang 1982 　Nobili et al. 1993 拡散近似をしているので、特異性は出ない （因果律がおかしくなっているはず？） Tsukuba Colloquim 06/08/30

50 ３　物理 速度依存変動エディントン因子 Physics

51 ３．物理 問題はclosure relationの妥当性
　特異性の原因を辿ると 　エディントン近似に行き着く。 従来の定式化では、 P0：流体共動系での輻射ストレス（テンソル） E0：流体共動系での輻射エネルギー密度 　　P0= f E0： f =1/3 と置くが、これは v～c （β～1）で成り立つのか？ Tsukuba Colloquim 06/08/30

52 （１）世の中 粒子サンと光クンがいる Tsukuba Colloquim 06/08/30

53 （２）千鳥足 光速で飛ぶ光クンは粒子サンにぶつかるので、遅い実効速度で拡散する
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54 （３）亜光速一様流 粒子サンが亜光速で動いていても、全員が一様に動けば静止系と同じ
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55 （４）亜光速加速流 速度勾配が大きいと、平均自由行程が方向で異なり、拡散は非等方となる
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56 ４．修正 変動エディントン因子 光学的に厚い－薄いを遷移する輻射流（球対称） Tamazawa et al. 1975
４．修正　変動エディントン因子 光学的に厚い－薄いを遷移する輻射流（球対称） 　　Tamazawa et al. 1975 τ大：diffusion limit→ f ～1/3 （光子の平均自由行程が短く、光子拡散が等方） τ小：streaming limit→ f ～1 （光子の平均自由行程が長くなり、光子拡散が非等方になる） 低速（静止）－亜光速へ加速される輻射流 　　Fukue 2006 β小：diffusion limit→ f ～1/3 （光子の平均自由行程が短く、光子拡散が等方） β大：relativistic limit→ f ～1 （加速が光速のオーダーになり、平均自由行程が伸びて、光子拡散が非等方になる） 例えば Tsukuba Colloquim 06/08/30

57 ４．修正 速度依存変動エディントン因子 ｆ （β）の条件
４．修正　速度依存変動エディントン因子 ｆ （β）の条件 f（0）=1/3、f（1）=1 単調増加 f（β）－β2>0 　（特異点はβ=1のみ） du/dτ|c<0 　（加速解が特異点までつながる） もっとも単純な形が→ Tsukuba Colloquim 06/08/30

58 Modification and Results
４　修正と結果 Modification and Results

59 Plane-Parallel with no Gravity Fukue 2006, PASJ, 58, 461
４．１　平行平板：重力なし Plane-Parallel with no Gravity Fukue 2006, PASJ, 58, 461

60 ４．修正 ｆ （β）を用いた新しい定式化１ 平行平板１次元定常流 ［特殊相対論の枠内］ 質量流束の保存 運動方程式 エネルギー（輻射平衡）
４．修正　ｆ （β）を用いた新しい定式化１ 平行平板１次元定常流 　　［特殊相対論の枠内］ 質量流束の保存 運動方程式 エネルギー（輻射平衡） ０次のモーメント １次のモーメント 速度に依存するエディントン近似↓ Tsukuba Colloquim 06/08/30

61 ４．修正 ｆ （β）を用いた新しい定式化２ 光学的深さτを導入 光学的深さ 運動量流束の保存 エネルギー流束の保存 運動方程式
４．修正　ｆ （β）を用いた新しい定式化２ 光学的深さτを導入 光学的深さ 運動量流束の保存 エネルギー流束の保存 運動方程式 u =γβ ：流れの4元速度 β=v/c F：輻射流束 P：輻射ストレス J：質量流束 Tsukuba Colloquim 06/08/30

62 ４．結果 光速まで加速される解 境界条件 流れ基部（大気深部） 流速 v=0 光学的深さ τ=τ0 （輻射流束 F=F0）
４．結果　光速まで加速される解 　　　　　　　境界条件 流れ基部（大気深部） 流速 v=0 光学的深さ τ=τ0 （輻射流束 F=F0） （輻射圧 P=P0） 流れ表面（大気表面）　 　（亜光速で動いている境界条件；Fukue 2005b） 流速 v=vs 光学的深さ τ=0 質量流束 J （固有値で求まる） 光速まで加速できる！！ Tsukuba Colloquim 06/08/30

63 ４．結果　光速まで加速される解 質量流束 J （固有値として求まる） Tsukuba Colloquim 06/08/30

64 Plane-Parallel with Gravity Fukue and Akizuki 2006, submitted
４．２　平行平板：重力あり Plane-Parallel with Gravity Fukue and Akizuki 2006, submitted

65 ４．修正 ｆ （β）を用いた新しい定式化１ 平行平板１次元定常流 ［天体重力：PN］ 質量流束の保存 運動方程式 エネルギー（輻射平衡）
４．修正　ｆ （β）を用いた新しい定式化１ 平行平板１次元定常流 　　［天体重力：PN］ 質量流束の保存 運動方程式 エネルギー（輻射平衡） ０次のモーメント １次のモーメント 速度に依存するエディントン近似↓ Tsukuba Colloquim 06/08/30

66 ４．修正 ｆ （β）を用いた新しい定式化２ 光学的深さτを導入 光学的深さ 運動方程式 厚さの式 ０次のモーメント １次のモーメント
４．修正　ｆ （β）を用いた新しい定式化２ 光学的深さτを導入 光学的深さ 運動方程式 厚さの式 ０次のモーメント １次のモーメント u =γβ ：流れの4元速度 β=v/c F：輻射流束 P：輻射ストレス J：質量流束 Tsukuba Colloquim 06/08/30

67 ４．結果 光速まで加速される解 境界条件 流れ基部（大気深部） 流速 v=0 光学的深さ τ=τ0 （輻射流束 F=F0）
４．結果　光速まで加速される解 　　　　　　　境界条件 流れ基部（大気深部） 流速 v=0 光学的深さ τ=τ0 （輻射流束 F=F0） （輻射圧 P=P0） 流れ表面（大気表面）　 　（亜光速で動いている境界条件；Fukue 2005b） 流速 v=vs 光学的深さ τ=0 質量流束 J （固有値で求まる） r＝3 rｇ τ0＝1 F0＝1 LE/(4πrg2) P0＝1.23 LE/(4πrg2)/c J＝1 r＝3、 τ0 ＝1、 F0 ＝1、 P0 ＝1.23（J＝1） F0 ＝10、 P0 ＝10.6（J＝1） F0 ＝1、 P0 ＝1.041（J＝0.005） τ0 ＝1、 F0 ＝1、 P0 ＝1.23 r＝3 r＝2 r＝1.5 Tsukuba Colloquim 06/08/30

68 ５　影響 Influence

69 ５．影響 関連する天体現象 輻射場が重要な相対論的天体現象全般 ブラックホール降着流 相対論的天体風、亜光速宇宙ジェット
５．影響　関連する天体現象 　　輻射場が重要な相対論的天体現象全般 ブラックホール降着流 相対論的天体風、亜光速宇宙ジェット 相対論的爆発、ガンマ線バースト ニュートリノ輸送 初期宇宙 Tsukuba Colloquim 06/08/30

70 ５．影響 今後の課題 ｆ （τ,β）のより適切な形？ まだ対症療法 平行平板→球対称の場合 → 秋月講演 重力場の効果 ガス圧、磁気圧の効果
５．影響　今後の課題 ｆ （τ,β）のより適切な形？　まだ対症療法 平行平板→球対称の場合　→　秋月講演　 重力場の効果 ガス圧、磁気圧の効果 非定常流の場合 降着流の場合 いろいろな天体現象への応用 数値シミュレーション→誰か他の人（笑） FLD(flux-limited diffusion)などへの応用 Tsukuba Colloquim 06/08/30