第４課 輻射の方程式 Ｉ 平成１６年１１月１日 講義のファイルは、

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1 第４課 輻射の方程式 Ｉ 平成１６年１１月１日 講義のファイルは、
第４課 輻射の方程式　Ｉ 平成１６年１１月１日 講義のファイルは、 質問は、 レポート提出は出題の次の授業が原則ですが、それ以降でも構いません。単位が欲しい人は５つ以上のレポートを提出して下さい。とにかく全部のレポートを頑張って出した人には良い点が与えられます。 Ｍ２その他で単位認定を急ぐ人は申し出て下さい。

2 ４．１． 輻射の基礎方程式 吸収断面積 吸収断面積 線吸収 バンド吸収 連続吸収 波長

3 光学深さ τ ｄｘ Ｉ（ｘ） Ｉ（ｘ）＋ｄＩ ｄＩ＝－ＩσｄＮ＝ －Ｉσｎ ｄｘ＝－Ｉκρｄｘ ｄＮ＝ｎ ｄＸ＝ｄＸ内の粒子数/単位面積
光学深さ　τ ｄｘ Ｉ（ｘ） Ｉ（ｘ）＋ｄＩ ｄＩ＝－ＩσｄＮ＝ －Ｉσｎ ｄｘ＝－Ｉκρｄｘ　　　 　　　ｄＮ＝ｎ ｄＸ＝ｄＸ内の粒子数/単位面積　　 　　　　　　　　　　　　ｎ＝粒子の数密度　ρ＝密度 　　　　　　　　　　　　σ＝吸収断面積　　κ＝質量当たり吸収係数 光学深さ　τ：　　ｄτ＝σｎ ｄｘ＝κρｄｘ （ｏｐｔｉｃａｌ　ｄｅｐｔｈ） ｄＩ＝－Ｉｄτ

4 見通しとτ Ｘ（厚み） 正面（面積Ｓ）から見ると Ｎ＝ｎＳＸ Σ＝σＮ＝σｎＳＸ＝総吸収断面積 ＝粒子総数 Σ／Ｓ＝σｎＸ＝τ
Ｎ＝ｎＳＸ　　　　　　　　　　　Σ＝σＮ＝σｎＳＸ＝総吸収断面積 　＝粒子総数　　　　　　　　Σ／Ｓ＝σｎＸ＝τ τ＜＜１　：　τ＝正面から見たときの粒子の被覆率 τ＝１　　：　　重なり合いがなければ、被覆率＝１ 　　　　　　　　　実験的に　ｅ　を決められる？

5 第１課の復習：　体積輻射率ε 体積ｄＶからのエネルギー放射率（全立体角）がεｄＶのとき、εを体積放射率と呼ぶ 　　　ｄＶ ＝ｄｓｄＸ ε ｄω ｄＳ ｄΩ ｄｓ＝Ｘ２ｄΩ Ｘ ｄＸ ｄＶからｄＳを通ってｄΩに放出されるエネルギー率は、微小長さｄＸからＩ（Ｘ）への貢献を ｄＩ とすると、 　　　　ｄＩｄＳｄΩ＝εｄＶｄω/４π＝εＸ２ｄΩｄＸｄＳ/ ４πＸ２ したがって、ｄＩ＝ （ε/４π）ｄＸ　である。

6 Ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｒａｄｉａｔｉｖｅ ｔｒａｎｓｆｅｒ
Ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｒａｄｉａｔｉｖｅ　ｔｒａｎｓｆｅｒ　 吸収：　ｄＩ＝－ＩσｄＮ＝ －Ｉσｎ ｄｘ＝－Ｉκρｄｘ 放射：　ｄＩ＝ （ε/４π）ｄｘ 吸収と放射の両方を合わせて、 dI(x)/dx= - Iρκ+ερ dI(x)/ρκdx = - I+ε/κ 　　前ページの（ε/４π)を 　　　今後、ερと置く。 　　（εの意味がちょっと変わる） Ｉ（ｘ＋ｄｘ） Ｉ（ｘ） κρdx＝ dτ　　　 τ ＝ Optical Depth (光学的深さ) ε/κ＝Ｓ 　　　　　Ｓ＝Source Function　(源泉関数) 　で、τとＳを定義すると、  dI(τ)/dτ+ I (τ) = S(τ)　：　輻射の基礎方程式 勿論、 波長表示では、 dIλ(τλ)/dτλ+Iλ (τλ)=S(τ λ) 周波数表示では、 dIν(τν)/dτν+Iν (τν)=S(τν) の意味である。

7 注意 ：天体の表面をτ＝０とし、光線がやってくる方向へ（上の図では左） τが増えるようにとる記述もある。その場合、輻射の方程式は
　τが増えるようにとる記述もある。その場合、輻射の方程式は 　　dI (τ)/dτ- I (τ) = - S(τ)　 　となる。

8 吸収係数と見通し距離 Ｘ λ λ 観測者 大体τ＝１までを見通せると考えると、κ大の波長で浅い場所からの光を、
同じ区間でもκ(x,λ)が波長により異なるので、τ(λ)＝∫κ(x,λ)ρdx も 波長により変化する。特に吸収線の部分では大きくなる。 大体τ＝１までを見通せると考えると、κ大の波長で浅い場所からの光を、 κ小では深い場所からの光が見える。 κ(λ) τ＝２ Ｘ τ＝１ τ＝０ λ λ 観測者

9 ４．２．Source Function (源泉関数) ： S
源泉関数Ｓはどう表せるのか？　　 ０ 局所熱平衡の仮定：　各点での吸収係数κや放射係数εが温度Ｔと密度ρ （ＬＴＥ）　　　　　で決定される。 　　　　　　　　　　ε(x)＝ εν (ρ,T)、κ＝ κν (ρ,T) すると、　　　　　　Ｓν (τν) =εν (τν) /κν (τν) ＝Ｓν (ρ,T) 1 Ｔ＝Ｔ（ｘ）　：　（Ｔが場所によって変わる） Ⅰはｄｘの間に、ΔＩ＝－[Iν (x)－Ｓν (ρ,T)] dτν の変化を受ける。 I(x+dx) =I(x)- I(x)κ (ρ,T) ρdx＋ε(ρ,T) ρｄｘ 　　　＝ I(x) －[I(x)－Ｓ (ρ,T)] dτ I(x) (ρ,T) 他のところでは温度は必ずしもＴではない。

10 2 あか その他の点でも温度が一様 にＴになった状況を考えて みる。 すると、 Ⅰν (ｘ)はどこでも、Ⅰν ＝Ｂ(T,ν)
I(x)=Ｂ(T,ν) I(x+dx)=Ｂ(T,ν)－[Ｂ(T,ν)－Ｓν (ρ,T)]dτλ I (x)＝I (x+dx)= Ｂ(T,ν) なので Ｂ(T,ν)－Ｓν (ρ,T)＝０ つまり 熱平衡状態では Ｓν (ρ,T)＝Ｂ(T,ν) ところが、Ｓν (ρ,T) は系全体が熱平衡か どうかには関係なく、そこがＬＴＥであれば そこの(ρ,T) から決まるので、 一般に　Ｓν (ρ,T)＝Ｂ(T,ν)　が成立する。 dIλ(τλ)/dτλ+Iλ (τλ)=Ｂλ[Ｔ(τλ)] ：　LTEの輻射の方程式 あか

11 ４．３．簡単な解 ｘ （i） ε＝０ （途中の物質がとても冷たい。） 光源 吸収体 Iλ (x=0) Iλ(x) ｘ＝０
dI/dx= - Iρ(x)κ(x) ：　I(x=0)=I０ I(x) =I０exp ( -∫κ(λ)ρ(x) dx ) = I０exp [ -τ(x)]

12 入射光 吸収体 出射光 κρ ５ τ ０ Ｉ / Ｉo Ｉ

13 この銀河は中心に高温の活動銀河核を持ち、そこからの連続（滑らかな）スペクトルが銀河内星間ガスにより吸収を受けている。
下のグラフは、1995 ApJ 450, Forster, Rich and McCarthy 　　による、　　　　活動銀河　Ｍｒｋ２３１　のスペクトルである。 この銀河は中心に高温の活動銀河核を持ち、そこからの連続（滑らかな）スペクトルが銀河内星間ガスにより吸収を受けている。 Ｍｒｋ　２３１ 活動核 連続光 １ 星間ガス 吸収を受けた光 波長５９８０Ａ（＝０．５９８μｍ）の吸収線はＭｒｋ２３１星間ガス中のＮａ原子によるもので、Ｄ線と呼ばれる。 ０ ５９７０ Ａ ５９８０ Ａ ５９９０ Ａ 吸収線の深さから　Ｍａｒ２３１銀河内のＮａ原子のコラム密度を求めよう。 Ｄ線中央の吸収断面積はσ＝(２×１０ －2０ / √Ｔ ) cm2 である。　実験室ではＴはＮａガスの温度を表わす。星間空間ではＴは銀河内ガスの運動による視線速度の幅を表わし、吸収線の幅　Ｄ＝１．１×１０－３ √Ｔ　Ａ　である。　上のグラフから　Ｄ≒１．８Ａなので、 √Ｔ ＝１．６４×１０３　となる。したがって、σ＝１．２２×１０－２３ cm2 である。

14 吸収線中央では　( Ｉ / Ｉｏ ) = Ｅｘｐ（ーτ）＝０．５　　τ＝０．７
Ｎａ原子のコラム密度を　Ｎ　（ｃｍ－２）　とすると、　τ＝Ｎσ　であった。 したがって、Ｎ＝０．７/ （ １．２２×１０－２３ ）＝５．８×１０２２　/ｃｍ２ 　　 この値は、詳しいラインフィットの手法で求めたＮａコラム密度とファクター ２程度しか違わない。 このように、吸収断面積を知っていると、吸収体のコラム密度を簡単に推算できる。線吸収の吸収断面積については、後の章で勉強する。　

15 簡単な解（ii） I(x=0) = 0 I=0 I(x,λ) ｘ x=0 （天体の向こう側からは光が来ない。） S(τλ)
dI(x,λ)/dx+I(x,λ)κ(λ)ρ(x)=ε(λ)ρ(x) dI(τλ)/dτλ+I(τλ)=S(τλ) I(x,λ) =∫0τλS(ｔ)exp{ - (τλ-ｔ)} dｔ S(τλ)=So(λ)=const.の時、 I(x,λ) =So(λ) exp( -τλ)[exp(τλ)-1]=So(λ) [1- exp(-τλ)]

16 Ⅰ ＬＴＥが成立し [つまりS(τλ)=Bλ(T) ] 、 かつＴ＝一様の場合、 Iλ =Bλ(Ｔ) [1- exp(-τλ)]
０　　　　　１　　　　　　２　　　　　　３ 　　　　　　　　　　τ Ⅰ Ｂ（Ｔ） Iλ =Bλ(Ｔ) [1- exp(-τλ)] （１）τλ＜＜１の時は、 　　　 Iλ＝τλBλ(Ｔ) （２）τλ＞＞１の時、 　　　Iλ＝Bλ(Ｔ)

17 輝度温度（brightness temperature） Tb
：　Ｔｂの定義 　Ⅰ（ν）＝Ｂ（Ｔｂ， ν ）　 例えば、 Tｃ=100Kの星間雲を1.42GHｚ（λ＝21cｍ）で観測する場合、 x=hν/kTc ＝1.44 / 210,000 / 0.0１=0.0007<<1 Ｂ（Ｔc，ν）＝(2h/c2)ν3/[exp(hν/kTc)-1] 　　　　　　 (2 ｋTcν２/c2)　　Reyleigh-Jeans law　　　　　 光学的深さτ＜＜１のこの星間雲を観測して、 輻射強度I （ν）を得た。すると、 Ⅰ（ν）＝Ｂ(Ｔb,ν) ＝τνＢ(Ｔc,ν) 　　　　：光学的に薄いから。 　　 (2 ｋTbν２/c2)=τν (2 ｋTcν２/c2)　　：　レーリージーンズ領域 よって、光学的に薄くかつレーリージーンズ領域にある波長では、 Ｔb=τνTc

18 簡単な解（iii） I(x=0) =Io(λ)
光源と途中の吸収・輻射帯の両方 Sλ (x)＝Bλ(T) Io(λ) I(λ) 光源 途中の吸収・放射帯 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　簡単な I(x,λ) = Io(λ) exp ( －∫κ(λ)ρ(x)dx ) = Io(λ) exp [－τλ ]　　　解(i) I(x,λ) =∫S(t) exp{－ (τλ－t)} dt 解(ii) をあわせて、 I (λ) = Io(λ) exp[－τ(x,λ)]＋∫S(τ1λ)exp{－ (τλ－τ1λ)} dτ1λ = Io(λ) exp[－τλ] + Bλ(T)[1－exp(－τλ)] τλ ＜＜１の場合には、 Ｉ(λ) ＝Io(λ)（１－τλ）+ Bλ(T)τλ 　　　＝ Io(λ) + [Bλ(T) － Io(λ) ]τλ

19 例： ＣａＩＩのＫ線の中心部に現れる彩層(chromosphere)輝線
Tchrom（高温） Teff スペクトル 恒星大気 彩層 Teff 6,400 Teff 30,000 6,250 9,800 7,300 5,950