第5回 確率変数の共分散 確率･統計Ⅰ ここです！ 確率変数と確率分布 確率変数の同時分布、独立性 確率変数の平均 確率変数の分散

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1 第5回 確率変数の共分散 確率･統計Ⅰ ここです！ 確率変数と確率分布 確率変数の同時分布、独立性 確率変数の平均 確率変数の分散
ベルヌイ試行、二項分布 二項分布（続き）、幾何分布 ポアソン分布 正規分布 正規分布（続き） 大数の法則、中心極限定理 統計学の基礎1（母集団と標本、確率論との関係） 統計学の基礎2（正規分布を用いた推定・検定） ここです！

2 確率変数の共分散 確率変数の共分散 （定義） 共分散の公式 相関係数 チェビシェフの不等式

3 Cov(X, Y) = E[(X-μ) (Y-ν)]
確率変数の共分散 E(X)=μ, E(Y)=νとする。 Cov(X, Y) = E[(X-μ) (Y-ν)] を X と Y の共分散という。

4 確率変数の共分散 Cov(X, X) = V(X) 分散 自分自身との共分散が「分散」にほかならない。

5 確率変数の共分散 確率変数の共分散 （定義） 共分散の公式 相関係数 チェビシェフの不等式

6 共分散の公式(a) V(X+Y) = V(X) + 2Cov(X,Y) + V(Y) V(X+Y) = E[(X+Y -μ-ν)2]
証明 V(X+Y) = E[(X+Y -μ-ν)2] V(X+Y) = Cov(X-Y,X-Y) ←→ (X+Y)2 と思えば、平方展開とまったく同じである。 = E[( X -μ)2 + 2 ( X -μ) (Y -ν) + (Y -ν) 2] = E[( X -μ)2]+ 2E [( X -μ) (Y -ν) ]+ E[(Y -ν) 2] = V(X) + 2Cov(X,Y) + V(Y)

7 共分散の公式(b) Cov(X,Y) = E(XY) - E(X) E(Y) Cov(X,Y) = E[(X-μ)(Y-ν)]
証明 Cov(X,Y) = E[(X-μ)(Y-ν)] これは 公式 V(X) = E(X2) – E(X)2 の一般化になっている。 = E( XY -νX -μY + μν ) = E(XY) -νE(X) -μE(Y) +μν = E(XY) - μν

8 共分散の意味？ Cov(X,Y) = 0 X, Y が独立ならば X, Y が独立 ⇒ E(XY) = E(X)E(Y) だったから、これと
証明 X, Y が独立 ⇒ E(XY) = E(X)E(Y) 逆は成り立たないことに注意。 だったから、これと Cov(X,Y) = E(XY) - E(X) E(Y) より明らか。

9 確率変数の共分散 確率変数の共分散 （定義） 共分散の公式 相関係数 チェビシェフの不等式

10 2つの確率変数の相関係数 を X と Y の相関係数という。 ※ 内積との類似性に注目せよ！ ρ≦1 独立⇒ρ=0
Y=aX+b ⇒ |ρ|=1 そして、|ρ|が1に近いほどYとXは1次関係に近づく（最小二乗法の意味で）。 その1次関係は、Y-ν =Cov(X,Y)/(√V(X))・( X -μ ) となる。 を X と Y の相関係数という。 ※ 内積との類似性に注目せよ！

11 確率変数の共分散 確率変数の共分散 （定義） 共分散の公式 相関係数 チェビシェフの不等式

12 チェビシェフの不等式 μ=E(X)

13 チェビシェフの不等式 V(X) = Σ(xi-μ)2 pi ≧（|xi-μ|≧εだけの和で）Σ(xi-μ)2 pi
証明 （離散型の場合） V(X) = Σ(xi-μ)2 pi ≧（|xi-μ|≧εだけの和で）Σ(xi-μ)2 pi ≧ （|xi-μ|≧εだけの和で） Σε2 pi 連続型の場合もやってみよ。（同じことだが、むしろ連続型のほうが見やすいかもしれない） = ε2 （|xi-μ|≧εだけの和で） Σpi = ε2 P( |xi-μ|≧ε)

14 チェビシェフの不等式 チェビシェフの不等式から、X がどんな分布に従う場合でも、平均μ, 分散σ2 とすれば
チェビシェフの不等式で、ε=nσとおけばよい。 ※ Xの分布がわかっている場合は、もちろんもっと詳しいことがいえる。 たとえば、Xが正規分布に従うならば、平均から±3σ以上になる確率は（チェビシェフからわかる確率よりはるかに少なく）0.004以下である。 たとえば 平均から±3σ 以上離れた値になる確率は 1/9 = 0.111… 以下であることがわかる。

15 チェビシェフの不等式 （「分散の意味」の証明！）
チェビシェフの不等式から、X の分散σ2 が小さいほど、平均μの近くの確率が大きいことがわかる。 ( |X-μ|≧ε) の余事象のほうで見ただけ。 （「分散の意味」の証明！）

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