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構造方程式ゼミナール 2012年11月14日-11月21日 構造方程式モデルの作成
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主な内容 モデルの設計 内生変数と外生変数 モデルの識別 モデルの推計 モデルの評価 モデルの修正 推計方法: 2段階最小2乗法,
3段階最小2乗法
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経済理論 計量経済モデル データ モデル推計 定式化の検定と回帰診断 モデルは適切か? NO YES 仮説検定 予測や政策にモデルを使う
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内生変数と外生変数 内生変数 経済モデルによって決定される変数 外生変数 外部から決定される変数
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事例1 需要関数 (1) 供給関数 q:数量 p:価格 y:所得 R: 雨量 :誤差 内生変数: q p 外生変数: y R
需要関数 (1) 供給関数 q:数量 p:価格 y:所得 R: 雨量 :誤差 内生変数: q p 外生変数: y R (1)式は最小2乗法では推計できないので、 間接最小2乗法を使う。
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間接最小2乗法 y, R について(1)の内生変数 q, pを解くと、次の式を得る (2) (2)は以下のように書き変える (3)
(2) (2)は以下のように書き変える (3) (3)式は誘導型方程式、それらの式が経済体系の構造を表しているから構造方程式という。この方法を間接最小2乗法。
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識別問題(identification problem)
識別の必要な条件(order condition) :次数条件 g:システムの中のすべての内生変数の数 k:当該方程式に現れないすべての変数(外生変数 と内生変数)の数 K=g-1,その方程式は丁度識別(just-identified) K>g-1,その方程式は過剰に識別(over-identified) K<g-1,その方程式は識別されない (under-identified)
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事例2 解答: g=2(連立方程式体系のすべての内生変数) 方程式1: k=1(R), K=g-1, 丁度識別
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事例3
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事例3解答 G=3 ① k=3 k > g -1 ; 過剰識別 ② k=1 k < g-1 ; 識別されない
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識別の必要十分条件 (rank condition) :階数条件
連立方程式を行列の形にして、その識別にしようとする方程式がある行を取り除く。 その行でゼロの要素をもつ列を取り出す。 この列を並べたもので、すべての要素がゼロでない(g-1)本の行と列があるならば、そしてどの行(または列)も他の行(または列)と比例てきでないならば、その方程式は識別される。そうでない場合はその方程式は識別されない。 ただし、gはシステムの中に含まれる内生変数の数である。
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事例4 3つの内生変数 と3つの外生変数 の場合を考えよう。 変数がある方程式に現れるとき×印を、現れないとき0をいれることにする
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事例4に関する次数条件の判断 方程式の数はg=3である。除かれている変数の数は最初の方程式では2であり、2番目では3であり、3番目では2である。 従って、次数条件から1番目と3番目の方程式は丁度識別であり、2番目の方程式は過剰識別である。
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事例4(解答1) 方程式1: g=3 1行目を取り除き、除かれている変数y2とz2に対応する列を取り出す、これらの列は次のとおりである
すべての要素がゼロでない行は1つだけであるので、階数条件により、この方程式は識別されない。
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事例4(解答2) 方程式2: 第2行を取り除き,第2行の要素がゼロとなるy2,y3,z2に対応する列を取り出す。
すべての要素がゼロでない行が2つあり、 g-1=2となっているので、方程式2は識別される。
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事例4(解答3) 方程式3: 3行目を取り除き、y1とz3に対応する列を取り出す。 すべての要素がゼロでない行が2つ(そして列も2つ)あり、
g-1=2となるので、階数条件によれば、方程式3は識別される。
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次数条件と階数条件の関係 階数条件は同時方程式が識別されるどうかの必要十分条件である。
次数条件は丁度識別、過剰識別、識別されないことを決める。必要条件。 次数条件が満たされないときには計算不能であるが、次数条件が満たされていれば、階数条件が満たされなくてもパラメータの推定値を得ることができるが、こういった場合の推定値は意味はない。
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