大学院物理システム工学専攻 2004 年度 固体材料物性第 8 回 －光と磁気の現象論 (3) － 佐藤勝昭ナノ未来科学研究拠点

復習コーナー 第 7 回に学んだこと 光の伝搬とマクスウェルの方程式 光の伝搬とマクスウェルの方程式 – 固有解：波動解、固有値：複素屈折率 ファラデー配置の場合の固有値と固有状 態 ファラデー配置の場合の固有値と固有状 態 – ２つの固有値と対応する固有状態（円偏光） フォークト配置の場合の固有値と固有状 態 フォークト配置の場合の固有値と固有状 態 – 磁気誘起の複屈折 ファラデー効果の現象論 ファラデー効果の現象論 – ファラデー効果と誘電率テンソル

マクスウェル方程式を E と H で 表す 簡単のため， J=0 と置く。 [ 伝導電流を分 極電流（変位電流）の中に繰り込む ] 簡単のため， J=0 と置く。 [ 伝導電流を分 極電流（変位電流）の中に繰り込む ] B と H 、 D と E の関係式 B と H 、 D と E の関係式 を代入して、 (3.18) (3.18) 誘電率テンソル

平面波の解を仮定する 波数ベクトル K として 波数ベクトル K として (3.19) (3.19) ここにＥ 0 ，Ｈ 0 は時間や距離に依存しない定数ベク トルである。この式を式 (3.18) に代入すると、 ここにＥ 0 ，Ｈ 0 は時間や距離に依存しない定数ベク トルである。この式を式 (3.18) に代入すると、 となる。 となる。

固有方程式 両式から H を消去し、 固有方程式として 両式から H を消去し、 固有方程式として が得られる。問題 3.1 参 照

ファラデー配置の場合 (  =0) 磁化が z 軸方向にあるとして、 z 軸に平行に進む波 (N //z) に対して式 (3.21) は 磁化が z 軸方向にあるとして、 z 軸に平行に進む波 (N //z) に対して式 (3.21) は と表される。固有方程式 (3.22) は と表される。固有方程式 (3.22) は と書ける。この方程式が E  0 の解をもつためには、 上式において E の係数の行列式が 0 でなければならな い。こうして次の永年方程式を得る。 ( 問題 3.2 参照 ) と書ける。この方程式が E  0 の解をもつためには、 上式において E の係数の行列式が 0 でなければならな い。こうして次の永年方程式を得る。 ( 問題 3.2 参照 )

永年方程式 （３．２５） （３．２５） これより、 N 2 の固有値として２個の値 これより、 N 2 の固有値として２個の値（３．２６） を得る。 これらの固有値に対応する固有関数は、 を得る。 これらの固有値に対応する固有関数は、 （３． ２７） （３． ２７） E+ 、 E- は、それぞれ、右円偏光、左円偏光に対応す る。 E+ 、 E- は、それぞれ、右円偏光、左円偏光に対応す る。

フォークト配置の場合 N 2 の固有値として N 2 の固有値として および および という２つの解を得る。 N 1 および N 2 に対応す る固有関数は という２つの解を得る。 N 1 および N 2 に対応す る固有関数は (3.33) (3.33) となり、複屈折を生じる。 ( コットンムートン 効果 ) となり、複屈折を生じる。 ( コットンムートン 効果 )

3.3 のまとめ 光の伝搬をマクスウェルの方程式で記述 すると，磁化された等方性物質の屈折率 N は 光の伝搬をマクスウェルの方程式で記述 すると，磁化された等方性物質の屈折率 N は で与えられる２つの固 有値をとり，それぞれが右円偏光および 左円偏光に対応する．（ここに， ε xx は誘 電テンソルの対角成分， ε xy は非対角成分 である．）もし， ε xy が０であれば，円偏 光は固有関数ではなく，磁気光学効果は 生じない． で与えられる２つの固 有値をとり，それぞれが右円偏光および 左円偏光に対応する．（ここに， ε xx は誘 電テンソルの対角成分， ε xy は非対角成分 である．）もし， ε xy が０であれば，円偏 光は固有関数ではなく，磁気光学効果は 生じない．

磁気光学の式 磁気光学効果には対角・非対角両成分が寄与

磁気光学 Kerr 効果 反射の磁気光学効果を磁気光学カー効果 (MOKE) という 反射の磁気光学効果を磁気光学カー効果 (MOKE) という 1. 通常の反射の法則を導く：電界に対する 反射率＝複素振幅反射率 (Fresnel 係数 ) 2. 右回り円偏光に対する Fresnel 係数と左 回り円偏光に対する Fresnel 係数の差を 考える。位相の差から Kerr 回転が振幅の 差から Kerr 楕円率が導かれる。

斜め入射の場合の反射 反射は界面における 電磁波の伝搬の境界 条件により決められ る。 反射は界面における 電磁波の伝搬の境界 条件により決められ る。 Ｚ Ｙ Ｘ E 0p E 1p E 2p 法線 00 １１ ２２ K0K0 K１K１ K２K２ K の x 成分の連続性 K 0 sin  0 =K 1 sin  1 ＝ K 2 sin  2 これより Snell の法則が 導かれる。

電界と磁界の界面における連続 性 電界の x 成分、 y 成分の連続性より 一方、磁界の x 成分、 y 成分についての連続の式 H S ＝ (K/  0 ) Ｅ P 、 H P ＝－ (K/  0 )E S によっ て電界についての式に書き直す 連立方程式を解く

複素振幅反射率 (Fresnel 係数 ) P 偏光の反射 S 偏光の反射 ここに、ｒ p ＝ | ｒ p | ｅ iδ p 、ｒ s ＝ | ｒ s| ｅ iδ s である。

エリプソメトリ ( 偏光解析）  azimuth ( 方位角 )  azimuth ( 方位角 )  phase ( 位相差 )  phase ( 位相差 ) 反射は方位角  と位相差  =  p-  s によって記述できる。 反射光は一般には楕円偏光になっているが、そのｐ成分 とｓ成分の逆正接角  と位相差  を測定すれば  r が求めら れる。（測定には 1/4 波長板と回転検光子を用いる。） この方法を偏光解析またはエリプソメトリという。 反射は方位角  と位相差  =  p-  s によって記述できる。 反射光は一般には楕円偏光になっているが、そのｐ成分 とｓ成分の逆正接角  と位相差  を測定すれば  r が求めら れる。（測定には 1/4 波長板と回転検光子を用いる。） この方法を偏光解析またはエリプソメトリという。

P 偏光反射率と S 偏光反射率 第１の媒体が真空、第２の媒体の複素屈 折率が N の場合 第１の媒体が真空、第２の媒体の複素屈 折率が N の場合

入射角に依存する反射率 Ｐ偏光と S 偏光 では反射率の 入射角依存性 が異なる。 Ｐ偏光と S 偏光 では反射率の 入射角依存性 が異なる。

反射と偏光： Brewster 角 もし、 ψ0 ＋ ψ2 ＝ π/2 であ れば、 tan が発散するた め、 R p は 0 となる。 もし、 ψ0 ＋ ψ2 ＝ π/2 であ れば、 tan が発散するた め、 R p は 0 となる。 このとき、反射光は S 偏 光のみとなる。 このとき、反射光は S 偏 光のみとなる。 このときの入射角を Brewster angle という。 このときの入射角を Brewster angle という。

垂直入射の Fresnel 係数 垂直入射の場合、  0 ＝ 0 、従って  1 ＝ 0 。 このとき電界に対する Fresnel 係数 r として、 垂直入射の場合、  0 ＝ 0 、従って  1 ＝ 0 。 このとき電界に対する Fresnel 係数 r として、 （媒質 1 が 真空のとき） （媒質 1 が 真空のとき） を得る。これより、

垂直入射の光強度反射率と位相 R ＝ r*r=|r| 2 は光強度の反射率、  は反射の 際の位相のずれ R ＝ r*r=|r| 2 は光強度の反射率、  は反射の 際の位相のずれ

反射率と位相 Kramers-Kronig( クラマースクローニヒ）の関 係 Kramers-Kronig( クラマースクローニヒ）の関 係

Kramers-Kronig の関係 応答を表す物理量の実数部と虚数部の間 に成立 （ P は積分の主値を表す。） 応答を表す物理量の実数部と虚数部の間 に成立 （ P は積分の主値を表す。）

KK 変換の微分性 第２式を部分積分すると 第２式を部分積分すると 右辺の第１項は 0 であるから、結局第２項のみと なる。は x ～  付近で大きい値をとるので、  “ は  ‘ の微分形に近いスペクトル形状を示すことにな る。 右辺の第１項は 0 であるから、結局第２項のみと なる。は x ～  付近で大きい値をとるので、  “ は  ‘ の微分形に近いスペクトル形状を示すことにな る。  ' がピークを持つ  では  " は急激に変化し、  ' が急 激に変化する  付近で  " は極大（または極小）を 示す．  ' がピークを持つ  では  " は急激に変化し、  ' が急 激に変化する  付近で  " は極大（または極小）を 示す．

K-K 関係の数学的説明 線形応答関数 f (ω) が、図に示す ω の複素平面の上半面内で 正則、かつ上半平面で |ω| → ∞ において |f(ω)| → 0 、さら に実数 ω に対し f'(-ω)=f'(ω) 、 f"(-ω)=-f"(ω) であるような性 質を持っておればよい。このような条件が成り立つとき、 コーシーの積分公式によって 線形応答関数 f (ω) が、図に示す ω の複素平面の上半面内で 正則、かつ上半平面で |ω| → ∞ において |f(ω)| → 0 、さら に実数 ω に対し f'(-ω)=f'(ω) 、 f"(-ω)=-f"(ω) であるような性 質を持っておればよい。このような条件が成り立つとき、 コーシーの積分公式によって πif(ω)= ∮ dω'f(ω')/(ω'-ω) πif(ω)= ∮ dω'f(ω')/(ω'-ω) が成立する。 が成立する。

つづき f(ω)=f'(ω)+if"(ω) を代入し、両辺の実数部、 虚数部がそれぞれ等しいとおくことに よって導くことができる。 f(ω)=f'(ω)+if"(ω) を代入し、両辺の実数部、 虚数部がそれぞれ等しいとおくことに よって導くことができる。 ω の複素平面の上半面内で正則、かつ、上 半平面で |ω| → ∞ において |f(ω)| → 0 という 条件は、 t=0 において外場が加えられたと きの応答は t>0 におきるという因果律に対 応している。 ω の複素平面の上半面内で正則、かつ、上 半平面で |ω| → ∞ において |f(ω)| → 0 という 条件は、 t=0 において外場が加えられたと きの応答は t>0 におきるという因果律に対 応している。

Kerr 効果 磁気カー回転角  K と磁気カー楕円率  K を ひとまとめにした複素カー回転  K 磁気カー回転角  K と磁気カー楕円率  K を ひとまとめにした複素カー回転  K

複素カー回転 この式から，カー効果が誘電率の非対角 成分  xy に依存するばかりでなく，分母に 来る対角成分  x x にも依存することがわか る．この式の対角成分  x x を光学定数 n,  によって表すと， この式から，カー効果が誘電率の非対角 成分  xy に依存するばかりでなく，分母に 来る対角成分  x x にも依存することがわか る．この式の対角成分  x x を光学定数 n,  によって表すと，

Kerr 効果と誘電率

第８回の問題 反射の際に偏光選択性が生じることの理 由を考えよ。 反射の際に偏光選択性が生じることの理 由を考えよ。