電気伝導の不思議 元素周期表と物質の多様性 「自由電子」って、ほんとに自 由？ 電気の流れやすさ、流れにくさ 電子は波だ 電子はフェルミ粒子 金属と絶縁体の違いの根源 超伝導の性質 阪大基礎工 三宅和正

高等学校 物理Ⅱ （啓林館）

金属のモデル： 自由電子の存在 伝導電子 イオ ン 素朴な疑問： 自由電子って本当に自由？ １９世紀末にタイムスリップしてみよう（現在の高校物理の世界）

高等学校 物理Ⅰ（啓林館） P ． 23

水素原子 陽子 電子 0.1 nm= m 水素原子の周りの電場の強さ = 13.6V / m ≒ 10 9 V/m cf. 日常的な電場の強さ : 100V/1m =10 2 V/m こんな強い電場の影響を受けていて、電子は金属の中を 自由に動けるのだろうか？ これは１９世紀末の物理学者にとってパラドクス！？ 電場＝電界

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R V I 電気抵抗率 電気伝導率 オームの法則 電気抵抗 試料の形状によらない物 質 固有の性質を反映 単位 （  ・ m) 断面積

室温 (20 C=293 K) での電気抵抗率 アルミニウム (Al) 2.8 ×10 － 8  ・ m 水銀 (Hg) 0.91×10 － 6 錫 (Sn) 1.1 ×10 － 7 銅 (Cu) 1.7 ×10 － 8 鉄 (Fe) 1.0 ×10 － 7 金属（導体） 絶縁体（不導体） ナイロン ~10 13  ・ m 天然ゴム ~10 15 水晶 >10 15

いろいろな金属の電気抵抗率の温度依存性  デバイ温度 Ｄｅｂｙｅ Ｔ：絶対温度 Ｔ≒ 273+ ｔ（℃）

不純物がない完全結晶では

電気伝導率 電場（電界）の定 義 オームの法則 電流密度 ＝ 単位面積を単位時間に 通過する電荷 一般化された オームの法則

 緩和時間、または 平均自由時間 電気伝導率の古典力学による導出 Ｓ 電子数密度（電子数／単位体 積） 一つの電子に対するニュートンの運動方程式 終 端 速 度 定常な状態での電流密度

平均自由行程 : エネルギー等分配則から電子の平均速度 v を評価 室温 (T~300 K) では これは長すぎる！ m = 9.1×10 － 31 kg e = 1.6×10 － 19 C n = 8.5×10 28 m -3 (R: 気体定数、 N A : アボガドロ数 ) ( a : 格子間隔 )

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パラドクスを解く鍵は何か？ 電子は金属の中で波のように振舞う 電子の運動法則が波動的なものである ー 量子力学に従うー でも、電子は一定の質量と電荷をもっている m = 9.1×10 － 31 kg e = 1.6×10 － 19 C のにどうして？

波の特徴：干渉現象 d1d1 d2d2 |d 1 -d 2 |= 整数  波長 D ( D/  の関数  |d 1 -d 2 |=  整数 +1/2)

電子の速度 アルミの薄膜 電子ビームを観測するフィルム ド・ブロイの関係 h : プランク定数 6.63×10 ー 34 Ｊ

波長 運度量 (n: 正の整数 ) L: 結晶のサイズ 電子波の量子化

自由電子の運動エネルギー １次元 ３次元 n x 、 n y 、 n z は正の整数で量子数と呼ばれる

電子のブラッグ反射 格子間隔 (m: 整数 ) ( 結晶のサイズ ) ブラッグ条件 : B =2a  B = ブラッグ波長 )

ブラッグ波長 B に対応する量子数 n B n B = 長さ Ｌ の結晶に含まれるイオンの数 ≠ B の波長をもつ電子は結晶中を自由に動けるが、 = B の電子は動けない。 しかし、ある物質では電子は自由に動け、別のクラスの 物質では動けないということは可能か？

電子はフェルミ粒子 フェルミ粒子って何？ フェルミ粒子： スピン当り一つの波の状態しかとることが出来ない 二つのスピン状態： 時計まわり または 反時計まわり ミクロな磁石 パウリの排他原理

自由電子のエネルギー準位 フェルミ エネルギー フェルミ 波長 結晶のサイズ １次元モデル 格子間隔

イオン当り電子１ヶが供給される場合： フェルミエネルギー E F 付近の電子は自由に伝播でき 金属的伝導を示す （イオン当り奇数個の電 子） （イオン当り偶数個の電 子） イオン当り電子２ヶが供給される場合： フェルミエネルギー E F をもつ電子は自由に伝播できず 絶縁体となる

金属的伝導 ｐ Ｆ ：フェルミ運動量 ｐ Ｆ ＝ｈ／ Ｆ

ブラッグ反射によるエネルギーギャップの形成

Na MgC (diamond)Si １価イオン２価イオン４価イオン 禁制帯 空のバンド 占有状態 金属 絶縁体半導体 より洗練された取り扱い ⇒ バンド理論、第一原理計算 物質設計 ＣＭＤ 空のバンド

以上のまとめ 量子力学的見方をすれば、固体の中で電子が「自由に」 伝播できることが理解される。 物質が金属になるか絶縁体になるかは、ブラッグ反射と パウリ原理に帰着できる。 量子力学は巨視的な世界においても重要な役割を 演じている つぎに、超伝導の話に移ります

水銀（Ｈｇ）の電気抵抗 超伝導の発見

黒い部分が超伝導体 白い部分は磁石 YBa 2 Cu 3 O 7

永久電流の観測

臨界磁場の温度依存性（相図）

Ｎｂ ３ Ｓｎ，ＹＢＣＯ

超伝導の磁束量子化を利用した脳活動の観察

超伝導の発現機構 ４ Ｈｅ ｖｓ ３ Ｈｅ ヘリウム４，３の相図 1930 年代 1972 年 ３ Ｈｅ：フェルミ粒子 ４ Ｈｅ：ボース粒子 ４ Ｈｅ と ３ Ｈｅ は同位体 原子としての性質は同じ ボース粒子： 一つの波の状態が いくつの粒子で占 拠 されてもよい エネルギー

フェルミ粒子が偶数個集まるとボース粒子となる ４ Ｈｅ ＝陽子２ヶ＋中性子２ヶ＋電子２ヶ： ボース粒子 ３ Ｈｅ ＝陽子２ヶ＋中性子１ヶ＋電子２ヶ： フェルミ粒子 電子のペア（フェルミ粒子２個） ＝クーパーペア はボース粒子的に振舞う ⇔ ＢＣＳ理論の基本 ペアを作る相互作用は？ 電子とイオン間の引力 （１９７９年以前） ＢＣＳ理論： Ｂａｒｄｅｅｎ、Ｃｏｏｐｅｒ、 Ｓｃｈｒｉｅｆｆｅｒ （１９５７）