1 心理学の基礎 (6) 因子分析の基本問題 香川大学経済学部 堀 啓造 日本心理学会第回大会 ２０００年１１月６日

2 １．主成分分析・因子分析 （直交モデル） 主成分分析はデータの集約 因子分析は潜在因子を仮定する この違いを示す。

3 データの作成 全く相関しない乱数データを多数作る。 N=1000 の変数を任意に作成する。 SPSS 使用 互いに独立な正規乱数生成マクロ spss.html#ranzero

4 Ｆ１因子Ｆ１因子 Ｆ２因子Ｆ２因子 ＝０．６ × ＝０．５ × Ｖ１ Ｖ２ Ｖ３ Ｖ４ Ｖ５ Ｖ６ Ｖ７ Ｖ８ Ｖ９ Ｖ１０ Ｅ１Ｅ１ Ｅ２Ｅ２ Ｅ３Ｅ３ Ｅ４Ｅ４ Ｅ５Ｅ５ Ｅ６Ｅ６ Ｅ７Ｅ７ Ｅ８Ｅ８ Ｅ９Ｅ９ Ｅ１ ０ ＋０．８ × ＋０．８７ ×

5 変数の作成 (v1 ～ v10) 第１因子 compute x1=0.6**2. compute w1=sqrt(x1). compute w2=sqrt(1-x1). compute v1=w1*f1+w2*e1. compute v2=w1*f1+w2*e2. compute v3=w1*f1+w2*e3. compute v4=w1*f1+w2*e4. compute v5=w1*f1+w2*e5. 第２因子 compute x1=0.5**2. compute w1=sqrt(x1). compute w2=sqrt(1-x1). compute v6=w1*f2+w2*e6. compute v7=w1*f2+w2*e7. compute v8=w1*f2+w2*e8. compute v9=w1*f2+w2*e9. compute v10=w1*f2+w2*e10.

6 相関行列 V1V2V3V4V5V6V7V8V9V10 V V V V V V V V V V

7 1 ．００ + ０．３６ ＊４ 1 ．００ + ０．２５ ＊４ ０．３６ ＊５ ０．２５ ＊５

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10 主成分分析を行う FACTOR /VARIABLES v1 to v10 /ANALYSIS v1 to v10 /PRINT extraction /CRITERIA MINEIGEN(1) ITERATE(25) /EXTRACTION pc.

11 sqrt(2.44/5) ＝

12 因子分析はモデルをきれいに再現させ た。 主成分分析はもとのモデルよりも負荷 量・共通性とも大きくなる。 主成分分析がデータの記述であること を示すにはもう一つつっこむ必要があ る。 変数の数を減らしてみる。 v9,v10 をカット

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15 主成分分析と因子分析の違い 主成分分析は関係する変数の数が変わ ると負荷量・共通性が変わる。 → 主成分分析は記述 しかも，数値はその因子に関連する変 数の数によって意味が違っていて，結 果を誤読するおそれがある。 因子分析は関係する変数の数が変わっ ても負荷量・共通性の値は変化しない。

16 ２．主成分分析と 因子分析の直交解・斜交解 斜交解が適切な場合におこる問題を指 摘し，斜交解が適切であることを示す。 特に主成分分析は斜交解が適切な場合 におおきな問題を抱えている。回転を しない解の問題を指摘する。 斜交回転は 直接 oblimin(0)

17 データの作成 compute a1=0.5. /* 因子 compute a3=0.3. /* g compute a2=1-a1-a3. compute w1=sqrt(a1). compute w3=sqrt(a3). compute w2=sqrt(a2). compute v6=w1*f2+w3*f5+w2*e6. compute v7=w1*f2+w3*f5+w2*e7. compute v8=w1*f2+w3*f5+w2*e8. compute v9=w1*f2+w3*f5+w2*e9. compute v10=w1*f2+w3*f5+w2*e10. compute a1=0.3. /* 因子 compute a3=0.3. /*g compute a2=1-a1-a3. compute w1=sqrt(a1). compute w3=sqrt(a3). compute w2=sqrt(a2). compute v16=w1*f4+w3*f5+w2*e16. compute v17=w1*f4+w3*f5+w2*e17. compute v18=w1*f4+w3*f5+w2*e18. compute v19=w1*f4+w3*f5+w2*e19. compute v20=w1*f4+w3*f5+w2*e20. exec.

18 Ｇ因子Ｇ因子 Ｆ１因子Ｆ１因子 Ｆ２因子Ｆ２因子 ＝０．５ ５ × ＋０．７ １ × ＋０．５５ × Ｖ１ Ｖ２ Ｖ３ Ｖ４ Ｖ５ Ｖ６ Ｖ７ Ｖ８ Ｖ９ Ｖ１０ Ｅ１Ｅ１ Ｅ２Ｅ２ Ｅ３Ｅ３ Ｅ４Ｅ４ Ｅ５Ｅ５ Ｅ６Ｅ６ Ｅ７Ｅ７ Ｅ８Ｅ８ Ｅ９Ｅ９ Ｅ１ ０ ＋０．４ ５ × ＋０．６ ３ × （ｓｑｒｔ （０．３）） （ｓｑｒｔ （０．５））

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22 ｒ＝．４３ ３ ０．８９ ４＝ ｓｑｒｔ （０．３ ＋０． ５） ０．７７ ５＝ ｓｑｒｔ （０．３ ＋０． ３）

23 主成分分析をすると

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25 一般因子がある場合，主成分分析（回 転をしない本来のもの）は，意味もな く，２つの因子をひっつける。これは 単に分散を最大化するためのもの。 だから，解釈する意味はないと考えた ほうがいい。 実際にはいろんな複雑な関係があるか ら，解釈したくなる。 意味づけできるものでも分散最大化の 人工的なものと抑える。

26 ｒ＝．３９ ７ ｒ＝．４３ ３

27 主成分分析 変数の数を減らす 因子分析の負荷量は変化しないが， 主成分負荷量は変化する。

28 主成分間相関・因子間相関 主成分分析 主成分分析 因子分析 因子分析 主成分分析の主成分間相関はもとのモ デルを再現できないし，変数の数に よって変化する

29 Ｇ因子Ｇ因子 Ｆ３Ｆ３ Ｆ４Ｆ４ ＝ Ｖ１ Ｖ２ Ｖ６ Ｖ７ Ｖ１１ Ｖ１２ Ｖ１６ Ｖ１７ Ｅ１Ｅ１ Ｅ２Ｅ２ Ｅ６Ｅ６ Ｅ７Ｅ７ Ｅ１ １ Ｅ１ ２ Ｅ１ ６ Ｅ１ ７ Ｆ１Ｆ１ Ｆ２Ｆ２

30 ４因子データ (2,4 は前と同 じ） compute a1=0.6. /* 因子 compute a3=0.3. /*g */ compute a2=1-a1-a3. compute w1=sqrt(a1). compute w3=sqrt(a3). compute w2=sqrt(a2). compute v1=w1*f1+w3*f5+w2*e1. V2 ～ v5 compute a1=0.4. /* 因子 compute a3=0.3. /*g */ compute a2=1-a1-a3. compute w1=sqrt(a1). compute w3=sqrt(a3). compute w2=sqrt(a2). compute v11=w1*f3+w3*f5+w2*e 11.v12 ～ v15

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32 主成分を解釈したくなるが，あくまで 分散最大化するためのもの 意味がなくても結合するのである。 但し，第１主成分は主として一般因子

33 Varimax 回転と直接 oblimin Varimax 解には小さな負荷量がつく。 小さな負荷量であっても必ずしも無視 できるものではない。

34 因子間相関 r=0.433

35 Varimax 回転直接 oblimin

36 高次因子 階層因子分析

37 変数 因子 高次因子 階層因子 １次因 子

38 高次因子 因子間相関行列から計算 一般因子の負荷量の設定 は同じ： sqrt(0.3)=0.548 F1=0.577*0.949 ＝ F2=0.613*0.894 ＝ F3=0.655*0.837 ＝ F4= 0.707*0.775 ＝ 絶対量でなく比率

39 参考： Statistica の階層因子分析 変数大幅に省略（各因子の１変数のみ記 載） sqrt(0.3)= sqrt(0.6)= sqrt(0.5)= sqrt(0.4)= sqrt(0.3)= 0.548

40 斜交の図（省略） promax k の指定：３，４，６，８ ｋが大きい方が単純解 直接 oblimin γ または δ ＝０ 指定 －方向は直交解に近くなる ＋方向はより斜交 ０がもっともよい (promax よりも単純 解）

41 promax k=3 r=0.373 θ=68.1°

42 promax k=4 r= θ=64.7°

43 直接 oblimin γ=0 r=0.442 θ=63.7°

44 第２部 因子抽出法 (1) ＭＬ 最尤法 (2) ULS 最小２乗法＝反復主因子法 (3) 非反復法 （ Kano, 1990; Cudeck,1991) Cudeck(2000)

45 (1) 最尤法（ＭＬ） (a) 多変量正規分布を前提 はっきりと正規分布からはずれる場 合には使わない → 最小２乗法 (b) 検定法がいろいろある →good (c) 変数が非常に多いときにはよくない かもしれない。 Cudeck(2000) では５０以 内。 (d) 不適解になる可能性が他の方法より 多い →bad であり 診断としては good (e) 初期値を変えたら不適解でなくなるか もしれない

46 (2) 最小２乗法 (ULS) (a) 収束すれば反復主因子法， Minres な どと同じ結果。 (b) 反復主因子法に比べ収束がはやい (c) 多変量正規分布の前提がない (d) どの因子数でもそれなりにフィット する （これは欠点） (e) 不適解

47 (3) 不適解「共通性が１を超えま した」 (a) 反復主因子法をやってみる （不適解 か？） (b) 非反復因子分析 (Kano, 1990; Cudeck, 1991) (c) 不適解がどうして起こっているか検討す る 狩野裕 (1998). 不適解の原因と処理：探索的因 子分析 大阪大学人間学部紀要, 24, (d) 因子数を減らしてみる (e) その因子の変数の減（またはなくす） (f) 主成分分析または非反復の主因子法 (g) その因子の変数増 （再調査） (h) サンプル増（良性の場合）（再調査）

48 第３部 因子数の決定 因子分析と主成分分析との違いは分かった。 しかし，因子数をうまく決定しないと因子分 析は結局意味ないよ。 探索的因子分析なんて風水みたいなもんじゃ ない。

49 １．因子数決定の主たる方法 (1) 市川雅教,1990 in 柳井・繁桝・前川・市川 『因子分析ーその理論と方法』朝倉書店 (1) 対角１の相関行列の固有値１以上の数 (2) 相関行列の対角にＳＭＣを入れて固有値 ０以上の数 (3) スクリープロット (4) 共通因子により説明される割合 (5) 尤度比検定 (6) 情報量 AIC

50 １．因子数決定の主たる方法 (2) Cudeck, R. (2000). Exploratory factor analysis. In Handbook of applied multivariate statistics and mathematical modeling. Academic Press. (1)Eigenvalues Greater than Unity (2)Scree Test (3)Test of Exact Fit (4)Root Mean Square Error of Approximation (RMSEA)

51 (a) 固有値１以上 →parallel analysis ランダムなデータを因子分析したときの固 有値の期待値よりもその固有値が大きい Horn, J.L. (1965). 同一変数，ケース数の 乱数を生成し，比較する。 その都度生成せず，（変数数，因子数， ケース数をつかう）重回帰により固有値の 大きさを推測する。 –Montanelli & Humphreys (1976) ＳＭＣ –Allen and Hubbard(1986) など 主成分分析

52 (b) ＭＡＰ (Velicer, 1976) 最小平均偏相関 minimum average partial correlation (MAP) １因子あたりの指標の数が多いときに もっともいい成績 Velicer, W.F. (1976). Determining the number of components from the matrix of partial correlations. Psychometrika, 41,

53 ２．因子の範囲を絞り込む ＭＡＰ＜＝主成分ＰＡ＜＝ＳＭＣのＰＡ 基本的にこの範囲の中に解がある。 さらに以下のことを考慮する ＲＭＳＥＡが 0.08 以下である。 0.05 以下なら よい （ＡＩＣ），ＢＩＣ，ＢＩＣ ＊ の最小値 不適解にならない 結果が解釈可能 変数の増減，サンプルの削除

54 柳井・繁桝・前川・市川『因子分析ー その理論と方法』朝倉書店 の性格検査 男女各１００名合計２０ ０名 １３性格尺度

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56 ３～５因 子

57 ４因子が有望

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61 ３．因子のチェック 一つの変数だけの因子になっていない か – 独自因子 高い負荷量であっても標準誤差が大き くないか？ Browne らのＣＥＦＡを使用 する 果たして直交解でいいのか？

62 ４．過小因子数と過大因子数 このタイプの研究はいくつかある。 Wood et al.(1996) の研究からまとめる。 – （シミュレーション実験） 過小因子数は過大因子数よりも大きな 問題がある。独自因子だけの変数があ る場合、かつ１または２の過大因子数 による被害はほとんどない。独自因子 だけの変数がない場合は本来の因子を 分割する。

63 第４部 被験者，変数の数 相関係数を安定させるためにはかなり の被験者の数を要求する。きれいな構 造をもつデータで１００～２００程度 は必要というものもある。それ以外は ２００以上。 しかし，変数の数とも関係する。

64 １．変数の数 その因子に所属する変数の数。 共通性が高ければ変数の数は少なくて もいい。 しかし，その因子をどの程度代表する のか問題。広範に変数をとる。変数の サンプリングは重要 Velicer らの実験結果をまとめた Stevens の考え。次に →

65 因子と変数の数 Guadagnoli and Velicer(1988) (1) 絶対値 0.60 以上の負荷をもつ変数が４つ以 上の因子（サンプル数に関係ない） (2) 低い負荷量 (0.40) の因子が１０以上の変数で サンプル数が１５０以上 (3) サンプル数が３００以上でない場合は、少 数の低負荷量変数しかない因子は解釈すべき でない。 追加。 0.80 以上の負荷量の変数が少なくとも３ あるときはいい。

66 (2)RMSEA から必要サンプルを求 める SAS のマクロがある。 これを SPSS の syntax にした。 #samplefactor 探索的因子分析の必要サンプル数求める syntax （参考） １因子当たりの変数の数が増えると必要な ケース数は減る

67 第５部モデル 知能テスト 児玉ら (1978) 『日本版 WISC-R 知能検査 法』 男女５０人ずつ ６歳児 １２の下位検査 (1) 知識 (2) 類似 (3) 算数 (4) 単語 (5) 理解 (6) 数唱 (7) 絵画完成 (8) 絵画配列 (9) 積木模様 (10) 組み合わせ (11) 符号 (12) 迷路

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71 第１因子に注目

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74 Varimax 解

75 varimax 解

76 promax 解 ｋ＝４ r=0.444

77 階層因子分析 Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａ （元ｒ＝０． ５１４）

78 モデル 直交解でいいのか？ → 一般因子や因子間 相関を見えなくする 高次因子でいいのか → 斜交の当てはまりの 良さを強調する。きちんと理論モデルを立 てていないとなにか分かりにくい 階層因子分析でいいのか → モデルがあまり きれいでない 下位尺度をつくるなら，一般因子があるは ず。 – 高次因子または階層因子を想定する → 斜交解 いろんなモデルの立て方を学ぶ

79 結局は探索的因子分析である。確定す るためには検証するための他の研究が 必要 因子の単純構造がはっきりしている場 合にはどの方法を使っても，因子数を 含め簡単に決定できる。 人間は何でも解釈できるという欠点を もっている。