Chapter 6 Applications Taiki Todo March 29, 2012 Repeated Games and Reputations Long-Run Relationships

Introduction 本章では完全観測繰り返しゲームの 適用例を３つ紹介 現実問題の解析・説明に繰り返し ゲームを用いる際の定式化の例

Outline 6.1 Price Wars – n 企業間の価格競争 – プレイヤ間の協調 (collusion) の達成可能性 6.2 Time Consistency – 企業 - 政府間の資本課税競争 – 無限回繰り返しゲームによる効率的結果の実 現 6.3 Risk Sharing – 消費と保険加入 – 現実問題の，均衡結果による説明

6.1 Price Wars 6. Applications

Price Wars 同一の商品を生産する n 個の企業 最安値を設定した企業のみが勝者（消費 者に販売可能） 勝者の利益は，消費者の需要量 × 価格 – 複数の企業が最安値を設定した場合，その企 業間で需要を等分割 この競争が繰り返し行われる場合に，企 業間の協調（全員が同一価格を設定）は 達成できるだろうか

Repeated Game Representation (1/3) n: 企業（プレイヤ）数 s: 状態．全プレイヤが正確に状態を把握 (perfect monitoring) S: 状態の集合 q: S 上の分布関数． q(s) は状態 s が生起する確率 p1,…, pn: 分布 q から選ばれる現在の状態を観測 後，プレイヤが設定する価格．プレイヤの戦略． s-min{p1,…,pn}: 最安値に対応する需要．この形式 で与えられると仮定． min{p} * (s – min{p}): 勝者が等分割する利益

Repeated Game Representation (2/3) 各期のゲームにおけるナッシュ均衡では，最安 値は $0 となり，全員利得 0 – 他の誰か一人でも $0 を付けた場合，自分はどのよう な価格を付けても利得は 0 – 一方，自分以外の最安値が $100 のとき， $99 を付け れば全ての需要を独占 – この繰り返しにより最安値は $0 まで低下 一方，最も利得を増加させる価格は，需要 s に 対して s/2. そのときの利得 (s/2)^2 自分以外の全員が s/2 を付けているとき，少し 下げれば需要を独占

Repeated Game Representation (3/3) The most collusive equilibrium (MCE) – Strongly symmetric – Maximizes the firms’ expected payoff 以降，この MCE p(s) を考慮 – p(s) <= s/2: min{p}(s-min{p}) の式より一般性を失わない – 均衡からの逸脱は，以降永久に処罰 分布 q の構造と均衡戦略との関係を議論 – independent and identically distributed – with persistence

6.1.1 Independent Price Shocks 各期独立に，同一の分布 q に従って状態 s が生起 MCE p(s) は，全ての s において以下の式の 解： 協調した場合の今期の利得と 今後の期待利得 均衡戦略 p から逸脱した場合の 今期の利得

For Large δ δ が十分大きいとき， v* の式のみが有効 すなわち， p(s) = s/2 が均衡戦略 – 現在の状態 s に対する価格設定による利得が 小さくなる

For Small δ (1/3) 一方， δ が十分小さいとき， p(s) は次の式を解く： 右図より， s = max{S} の場 合 であるから，必ず bar(s) が 存在 p(s) u bar(s) p(s)(s-p(s))

For Small δ (2/3) この bar(s) を用いて， MCE p(s) は次のように書 ける： – s > bar(s) のとき – s <= bar(s) のとき p(s) u

For Small δ (3/3): discussions Bar(s) が与えられたとき， MCE p(s) は， – s > bar(s) に対して単調減少 (counter-cyclical) 状態 s の値が大きいほど，逸脱した場合の利益は 大きい – s < bar(s) に対して単調増加 (pro-cyclical) 問題（特に需要 s ）が与えられたとき，需 要が小さいうちは協調戦略の価格は増加 傾向 しかし，需要が大きくなると，協調戦略 の価格が減少

6.1.2 Correlated Price Shocks では，各期の状態は独立に同一の分 布から選ばれると仮定 現実の問題，次の状態は現在の状態と何 らかの関係を持つことが多い 特に，次の状態が現在の状態から変わり にくい（粘度， persistence ）というのはよ く見られる傾向 – 景気の変動：好景気と不景気が急激に入れ替 わることは稀，多くの場合緩やかに変動

Simple Example n=2 S = {1 (low demand), 2 (high demand)} q: 次状態の分布．以下のマルコフ過程で定義： – 初期状態はランダム（互いに確率 1/2 ）で生起 – 確率 1-φ で，現在の状態と同一の状態が生起 – 確率 φ で，現在の状態と異なる状態が生起 – φ を小さく選べば， persistent な状況を表現可能 δ = 11/20 （ 1/2 より微妙に大きい点がポイン ト）

Cf. MCE 先に， のケースと同様の i.i.d. の分布 を仮定し， MCE を考えてみる – 需要が小さいとき (s=1), 1/2 を設定 – 需要が大きいとき (s=2), 次の式で与えられる p を設定： – この式を解くと， p~ = 0.22 が得られる – 即ち， countercyclical High-demand の場合の方が均衡価格が低くなる

Persistent States (1/2) 次に，定義したマルコフ過程を考える 各期 s/2 を定める戦略 p を考える – s に関して単調増加 – この戦略が MCE であれば，このモデルは pro-cyclical φ がほぼ 0 のとき（＝ persistence が強いとき）， – 初期状態 s=1 -> v* = 1/8 – 初期状態 s=2 -> v* = ½ よって，上記の戦略が MCE となるための必要十 分条件は

Persistent States (2/2) これらを解くと， δ >= ½ よって，現在の discount factor 11/20 であ れば，各期 s/2 を定める戦略が MCE – この MCE p(s) は明らかに単調増加 – すなわち，このモデルは pro-cyclical: 需要 s が 増加すれば，協調 (MCE) による利益も増加

6.2 Time Consistency 6. Applications

Time Consistency 企業と政府の資本課税競争 企業は各期，１単位の分割財を，消費と資本に 分割 – 消費はそのまま自分の利益 – 資本は，ある一定の割合の収益を生み出すが，その 収益は政府によって課税される – 徴収された税によって，公共財が生産され，企業は その公共財からも（微量の）利益を得る 企業が毎期同一の分割を行うような税率は？ – 政府は benevolent/ 慈善的

6.2.1 Stage Game Player 1: 政府 Player 2: 企業．毎期同一性能の異なる企業 が参加 – c: 消費 (consumption) – 1-c: 資本 (capital) – R: 資本からの収益 (return). R>1 – t: 政府による課税率 (tax rate) – γ(>1): 税収からの公共財の生産率． R-1<γ<R

Consumer’s Utility 但し， G は公共財の量 企業の立場では， G は微少量と考えられ る？ため，固定して計算

Government’s Response 企業が分割 c を選択したときの政府の最適 な課税率 t – ただし，政府は慈善的であり，目的関数は企 業の利益の最大化

Best Response 互いの最適反応を図示す ると右図のようになる ところで，政府は慈善的 であるから，政府 - 企業の 利害は一致 R は資本からの収益であ るから明らかに R>1 よって，企業は全て資本 とする (c=0) のが効率的 そのときの最適な課税は t = γ/R （点 B ）

6.2.2 Equilibrium, Commitment, and Time Consistency しかし，点 B は効率的 ではあるが，均衡でな い – 課税率 t=γ/R に対す る最適な分割は c=1 – 実際，均衡は点 A 企業が最適反応を取る と仮定すると，企業の 利得を最大化する課税 率は t=(R-1)/R となり，結果 は点 C – 企業が全て資本とす るような最大の課税 率

Commitment Problem 先に政府が t=(R-1)/R を選び，それを企業が観測 できるのであれば，点 C の結果を保証可能 しかし，現実には不可能 このとき，政府の立場から見るとコミットメン ト問題が生じる – 相手の戦略決定前に自分の戦略を相手に伝えること ができれば，自分の効用（この場合は政府の効用で あり，問題の定義より企業の効用と等価）を増加可 能 – Time consistency problem とも呼ばれる．このとき，政 府は optimal だが time inconsistent な課税率を持つ， という

6.2.3 The Infinitely Repeated Game 無限回の繰り返しゲームを考えることで，政府 が企業に情報を伝えられるのではないか 仮定として，政府は割引率 δ を持つものとする ここでは， grim-trigger 戦略を考え，毎期点 C を 達成可能なサブゲーム完全均衡となることを示 す

Grim Trigger Strategy 状態 : wL and wH – wL: 低税率（ t=t*=(R-1)/R ）かつ c=0 – wH: 高税率（ t=1 ）かつ c=1 初期状態 wL 行動 – 政府 : wL のとき t*, otherwise t=1 – 企業 : wL のとき c=0, otherwise c=1 遷移 – wL かつ t=t* のとき wL, otherwise wH

6.3 Risk Sharing 6. Application

Risk Sharing 消費者の消費と保険契約 高所得者は低所得者よりも消費が多い？ 現実のデータを見ると，必ずしもそのようには なっておらず，現在や過去の収入状況に依存し ている，らしい． ここでは，プレイヤ２人のシンプルなモデルを 用いて，そのデータに一つの説明をつける – モラル・ハザードとの関係？

6.3.1 The Economy (1/2) n=2: プレイヤは二人 State: e(1) = (y-, y_) & e(2) = (y_, y-) – 初期保有量を規定 – y- + y_ = 1, y- \in (1/2, 1) – 等確率 (random state RG) Stage game strategy: 相手に譲渡する量（＝保険 料？） – 譲渡後の保有量を c1, c2 で表 記 Utility u(c): 保有量に関する関数 – 単調増加かつ凹 → リスク回避 – Ex. 限界効用逓減 c u(c)

6.3.1 The Economy (2/2) Strategy: 前期までの履歴と今期の初期保有 量から，今期相手へ譲渡する額を出力 – Ex. No-transfer: 効用関数が単調増加なので， 各期相手に譲渡しないことが均衡．但し， concave であるから結果は非効率的（ risk- neutral であれば効率的） 各期で効率的な結果を導くサブゲーム完 全均衡は存在する？それはどのような場 合？

6.3.2 Full Insurance Allocations Full-insurance strategy profile: ある定数 c が 存在し，任意の履歴に対してプレイヤ 1 が c を保有し，プレイヤ 2 が 1-c を保有す るような戦略の組 – 即ち，任意の履歴に対して，両エージェント が毎期同じ額を消費する戦略の組 – No-transfer は full insurance? – Player1-all-transfer は full insurance? – Equal-payoff-transfer は full insurance? – Full insurance 自体は均衡とは別の概念 → NO → YES

SPE and Full Insurance Full Insurance (FI) strategy profile がサブゲーム完全均衡と なるのはいつ？ – Minmax payoff 及び feasibility より， 扇型の領域が IR かつ feasible な payoff の集合 – サブゲーム完全均衡戦略 は，次の式を解く： 例えば，多くの δ について， equal-payoff transfer は この式を解く，即ち FI かつ SPE

Equal-Payoff Strategy 相手が逸脱しない限り，互いの保有量が 1/2 となるように譲渡 相手が逸脱したあとは，一切の譲渡を 行わない 性質： – Full insurance: 常に同じ消費を行う – Sub-game perfect: 逸脱の誘因が生じない

6.3.3 Partial Insurance δ* を， equal-payoff equilibrium のみが full insurance SPE となる最小の割引率とする δ* より小さい割引率の場合， full insurance equilibrium は存在しない このとき，代わりの概念として， stationary-outcome equilibrium (SOE) を導入 – e(1) においてはプレイヤ 1 が ε だけ保険料を支 払い， e(2) においてはプレイヤ 2 が ε だけ支払 う – FI profile → SO profile. Equal-payoff も stationary- outcome.

Discussions on Risk Sharing ここまで， δ が十分大きい場合 (full insurance), 及び δ が δ* よりも少しだけ小さ い場合 (partial insurance) を議論してきた – 即ち，割引率が大きい範囲においては，収入 (endowment) のレベルが異なっていても，消 費 (consumption) が一定となる均衡が存在

Remainings 以降の内容は十分理解できていない Consumption Dynamics – の一般化 – 履歴に e(1) のみが現れる場合 (y-, y_), それ以 外では stationary-outcome をとるような戦略 Intertemporal Consumption Sensitivity – 状態数が 3 （ middle state を追加）の場合の議 論

Summary

完全観測繰り返しゲームによる定式化と 解析