電子物性第1 第4回 ーシュレーディンガーの波動方程式ー 電子物性第1スライド4-1 目次 ２ はじめに ３ Ψがあると電子がある。 電子物性第1　第4回 ーシュレーディンガーの波動方程式ー 目次 ２　はじめに ３　Ψがあると電子がある。 ４　電子の居場所を解析しよう。 ５　ポテンシャル ６　見えているのはエネルギー ７　周波数はエネルギー ８　周波数の計算 ９　周波数からのエネルギー 10　波長は運動量 11　運動量の計算 12　運動エネルギー 13　シュレーディンガーの波動方程式 14　まとめ

水素原子の電子のエネルギーは、量子化されている。 Ψがあると電子がある。 波動関数Ψ だと電子が一個存在する。（単位[個nm-3]など） の意味を考えよう。 Ψ（x, t）＝ei(kx－ωt) 縦軸は、正体不明のまま。 意味するところは、Ψがあれば電子がある。 電子物性第1　第4回 －シュレーディンガーの波動方程式－ 電子物性第1スライド4-2 はじめに 水素原子の電子のエネルギーは、量子化されている。 電子の波動性 （＝干渉する性質） を考えるとよい。 問題：何が電子の波なのか正体不明。 対応：正体不明のまま波動関数Ψを導入し解析。 ①　波動関数Ψを導入しました。

水素原子の電子のエネルギーは、量子化されている。 問題：何が電子の波なのか正体不明。 はじめに 水素原子の電子のエネルギーは、量子化されている。 電子の波動性 （＝干渉する性質） を考えるとよい。 対応：正体不明のまま波動関数Ψを導入し解析。 電子の居場所を解析しよう。 波動関数Ψがあれば電子がある。 の性質 Ψ（x, t）＝ei(kx－ωt) 矛盾しない（干渉してなくならない）条件 ⇒電子の所在を解析できる。 （微分とか） を利用して、 電子物性第1スライド4-3 Ψがあると電子がある。 波動関数Ψ の意味を考えよう。 Ψ（x, t）＝ei(kx－ωt) だと電子が一個存在する。（単位[個nm-3]など） 縦軸は、正体不明のまま。 意味するところは、Ψがあれば電子がある。 ①　Ψの意味は、それがあるところは電子がある。

電子の居場所を解析しよう。 波動関数Ψがあれば電子がある。 Ψ（x, t）＝ei(kx－ωt) の性質 （微分とか） を利用して、 Ψがあると電子がある。 波動関数Ψ だと電子が一個存在する。（単位[個nm-3]など） の意味を考えよう。 Ψ（x, t）＝ei(kx－ωt) 縦軸は、正体不明のまま。 意味するところは、Ψがあれば電子がある。 ポテンシャル 波動関数Ψを解析する。 ポイントは電子にとっての ポテンシャルエネルギー 原子核＋eの静電気 電子の波動性はΨが保証。 電子物性第1スライド4-4 電子の居場所を解析しよう。 波動関数Ψがあれば電子がある。 Ψ（x, t）＝ei(kx－ωt) の性質 （微分とか） を利用して、 矛盾しない（干渉してなくならない）条件 ⇒電子の所在を解析できる。 ①　Ψの方程式は電子の居場所を解析します。

ポテンシャル 波動関数Ψを解析する。 ポイントは電子にとっての ポテンシャルエネルギー 原子核＋eの静電気 電子の波動性はΨが保証。 電子の居場所を解析しよう。 波動関数Ψがあれば電子がある。 の性質 Ψ（x, t）＝ei(kx－ωt) 矛盾しない（干渉してなくならない）条件 ⇒電子の所在を解析できる。 （微分とか） を利用して、 見えているのはエネルギー 電子物性第1スライド4-5 ポテンシャル 波動関数Ψを解析する。 ポイントは電子にとっての ポテンシャルエネルギー 原子核＋eの静電気 電子の波動性はΨが保証。 ①　電子の感じるポテンシャルは原子核の静電気。

見えているのはエネルギー つぎにどうやってΨを解析するか？ ポイントは 測定可能な量 を調べたい。 見えているもの 波でわかったものは、 周波数はエネルギー E = hν は、 時間軸でよく 振れると、 エネルギー大 と示します。 ポテンシャル 波動関数Ψを解析する。 ポイントは電子にとっての ポテンシャルエネルギー 原子核＋eの静電気 電子の波動性はΨが保証。 電子物性第1スライド4-6-1 見えているのはエネルギー つぎにどうやってΨを解析するか？ ポイントは　測定可能な量　を調べたい。 見えているもの 波でわかったものは、 第1に E = hνのエネルギー 第2に p = 　　　　の運動量 h λ エネルギーの方でまとめて、 ①　観測できる量は、エネルギーと運動量 ②　波は見えなくとも、エネルギーは見える（図示）。

見えているのはエネルギー 周波数はエネルギー ポテンシャル 電子物性第1スライド4-6-2 ① 観測できる量は、エネルギーと運動量 周波数はエネルギー E = hν は、 時間軸でよく 振れると、 エネルギー大 と示します。 ポテンシャル 波動関数Ψを解析する。 ポイントは電子にとっての ポテンシャルエネルギー 原子核＋eの静電気 電子の波動性はΨが保証。 電子物性第1スライド4-6-2 見えているのはエネルギー ①　観測できる量は、エネルギーと運動量 ②　波は見えなくとも、エネルギーは見える（図示）。

周波数はエネルギー エネルギーの方程式で、波動関数Ψを考えます。 まず、光で最初に出てきた、 E = hν式を使います。 見えているのはエネルギー 周波数の計算 Ψ Ψの時間微分 dΨ ｄｔ で割ってあげると、 ＝－iωei(kx－ωt) ＝ei(kx－ωt) ＝－iω と（角）周波数がでました。 電子物性第1スライド4-7-1 周波数はエネルギー エネルギーの方程式で、波動関数Ψを考えます。 まず、光で最初に出てきた、 E = hν式を使います。 すなわち、強さでなく周波数がエネルギーです。 図に示すと、 ①　E=hν式で周波数がエネルギーに対応する。 ②　エネルギーが増えても振幅ではなく、周波数の増加。

周波数はエネルギー E = hν は、 のように 対応し、 時間軸でよく 振れると、 エネルギー大 と示します。 周波数の計算 見えているのはエネルギー 周波数の計算 Ψ Ψの時間微分 dΨ ｄｔ で割ってあげると、 ＝－iωei(kx－ωt) ＝ei(kx－ωt) ＝－iω と（角）周波数がでました。 電子物性第1スライド4-7-2 周波数はエネルギー E = hν は、 のように 対応し、 時間軸でよく 振れると、 エネルギー大 と示します。 ①　E=hν式で周波数がエネルギーに対応する。 ②　エネルギーが増えても振幅ではなく、周波数の増加。

周波数の計算 周波数 は、単位[s-1]です。 Ψ は、単位[正体不明]です。 Ψ は、そのまま残してはだめ。 として消してしまいたい。 周波数はエネルギー E = hν は、 時間軸でよく 振れると、 エネルギー大 と示します。 周波数からのエネルギー からエネルギーは、 E = hν となります。 dΨ ｄｔ Ψ 　－i 1 = hω = h = ih （ただし h＝　　　） h 2π 電子物性第1スライド4-8-1 周波数の計算 周波数 は、単位[s-1]です。 Ψ は、単位[正体不明]です。 Ψ は、そのまま残してはだめ。 として消してしまいたい。 操作（Ψ） Ψ ⇒ ①　Ψは正体不明のため、割って消して解析したい。 ②　Ψを時間微分してΨ自身で割れば、時間分の1。 ③　Ψの時間微分÷Ψの定数倍で周波数がでる。

周波数の計算 の単位は[正体不明･s-1]。 dΨ ｄｔ Ψの時間微分 Ψ は、単位[正体不明]です。 は、そのまま残してはだめ。 周波数はエネルギー E = hν は、 時間軸でよく 振れると、 エネルギー大 と示します。 周波数からのエネルギー からエネルギーは、 E = hν となります。 dΨ ｄｔ Ψ 　－i 1 = hω = h = ih （ただし h＝　　　） h 2π 電子物性第1スライド4-8-2 周波数の計算 の単位は[正体不明･s-1]。 dΨ ｄｔ Ψの時間微分 Ψ は、単位[正体不明]です。 は、そのまま残してはだめ。 として消してしまいたい。 操作（Ψ） ⇒ 割ってあげると、 dΨ ｄｔ Ψ は、単位[s-1]で、 周波数が出せる。 ①　Ψは正体不明のため、割って消して解析したい。 ②　Ψを時間微分してΨ自身で割れば、時間分の1。 ③　Ψの時間微分÷Ψの定数倍で周波数がでる。

周波数の計算 Ψ は、単位[正体不明]です。 は、そのまま残してはだめ。 として消してしまいたい。 操作（Ψ） ⇒ Ψの時間微分 dΨ ｄｔ 周波数はエネルギー E = hν は、 時間軸でよく 振れると、 エネルギー大 と示します。 周波数からのエネルギー からエネルギーは、 E = hν となります。 dΨ ｄｔ Ψ 　－i 1 = hω = h = ih （ただし h＝　　　） h 2π 電子物性第1スライド4-8-3 周波数の計算 Ψ は、単位[正体不明]です。 は、そのまま残してはだめ。 として消してしまいたい。 操作（Ψ） ⇒ Ψの時間微分 dΨ ｄｔ 割ってあげると、 は、単位[s-1]で、 νが出せる。 ＝－iωei(kx－ωt) ＝ei(kx－ωt) ＝－iω と（角）周波数がでました。 ①　Ψは正体不明のため、割って消して解析したい。 ②　Ψを時間微分してΨ自身で割れば、時間分の1。 ③　Ψの時間微分÷Ψの定数倍で周波数がでる。

周波数からのエネルギー （ただし h＝ ） E = hν = hω からエネルギーは、 dΨ ｄｔ Ψ －i 1 = dΨ ｄｔ Ψ ih 周波数の計算 Ψ Ψの時間微分 dΨ ｄｔ で割ってあげると、 ＝－iωei(kx－ωt) ＝ei(kx－ωt) ＝－iω と（角）周波数がでました。 波があまり立たない。 y 電子が運動していない。 波が立つ x 電子が運動している。 波長は運動量 電子物性第1スライド4-9 周波数からのエネルギー （ただし h＝　　　） h 2π E = hν = hω からエネルギーは、 dΨ ｄｔ Ψ 　－i 1 = dΨ ｄｔ Ψ ih = h となります。 ①　もちろん、微分して出したνにhを掛けてエネルギー。

波長は運動量 次は運動量です。 例えば、 h p = で求められます。 λ 空間で波が密だと運動 していることになります。 周波数からのエネルギー からエネルギーは、 E = hν となります。 dΨ ｄｔ Ψ 　－i 1 = hω = h = ih （ただし h＝　　　） h 2π dΨ ｄx Ψ ｰi p = h　　　　 運動量の計算 となります。 運動量の計算 pは、 = ikei(kx－ωt) = ikΨ を使っています。 電子物性第1スライド4-10-1 波長は運動量 次は運動量です。 例えば、 p = 　　　　で求められます。 h λ 空間で波が密だと運動 していることになります。 ①　運動量は電子の波長の逆数から出せます。 ②　電子の運動する方向に沢山波が立ちます。 ③　運動していない方向には電子の波は立ちません。

波長は運動量 一方、運動していない 方向に波を見ると、 次は運動量です。 p = で求められます。 h λ 空間で波が密だと運動 周波数からのエネルギー からエネルギーは、 E = hν となります。 dΨ ｄｔ Ψ 　－i 1 = hω = h = ih （ただし h＝　　　） h 2π dΨ ｄx Ψ ｰi p = h　　　　 運動量の計算 となります。 運動量の計算 pは、 = ikei(kx－ωt) = ikΨ を使っています。 電子物性第1スライド4-10-2 波長は運動量 　　一方、運動していない　　 　方向に波を見ると、 次は運動量です。 p = 　　　　で求められます。 h λ 空間で波が密だと運動 していることになります。 ①　運動量は電子の波長の逆数から出せます。 ②　電子の運動する方向に沢山波が立ちます。 ③　運動していない方向には電子の波は立ちません。

波長は運動量 周波数からのエネルギー 運動量の計算 電子物性第1スライド4-10-3 ① 運動量は電子の波長の逆数から出せます。 からエネルギーは、 E = hν となります。 dΨ ｄｔ Ψ 　－i 1 = hω = h = ih （ただし h＝　　　） h 2π dΨ ｄx Ψ ｰi p = h　　　　 運動量の計算 となります。 運動量の計算 pは、 = ikei(kx－ωt) = ikΨ を使っています。 電子物性第1スライド4-10-3 波長は運動量 ①　運動量は電子の波長の逆数から出せます。 ②　電子の運動する方向に沢山波が立ちます。 ③　運動していない方向には電子の波は立ちません。

運動量の計算 運動量の計算は、 p = h λ を波数kで、 p = h 2π k = hk とすれば簡単です。 波長は運動量 波があまり立たない。 y 電子が運動していない。 波が立つ x 電子が運動している。 波長は運動量 運動エネルギー 運動エネルギーは、 Ek = mv2 1 2 = (mv)2 2m = p2 ですが、 p2は、 d2Ψ ｄx2 = (ik)2ei(kx－ωt) = ｰk2Ψ 二階微分 より、 Ek Ψ ｰ h2 (hk) 電子物性第1スライド4-11-1 運動量の計算 運動量の計算は、 p = 　　　　 h λ を波数kで、 p = 　　　　 h 2π k = hk　 とすれば簡単です。 ①　運動量は波数kに比例します。 ②　波数kはΨの空間微分で出てきます。 ③　運動量はΨの空間微分から計算可能です。

運動量の計算 運動量の計算は、 p = h λ を波数kで、 p = hk とすれば簡単で、 Ψをxで微分します。 dΨ ｄx すなわち、 波があまり立たない。 y 電子が運動していない。 波が立つ x 電子が運動している。 波長は運動量 運動エネルギー 運動エネルギーは、 Ek = mv2 1 2 = (mv)2 2m = p2 ですが、 p2は、 d2Ψ ｄx2 = (ik)2ei(kx－ωt) = ｰk2Ψ 二階微分 より、 Ek Ψ ｰ h2 (hk) 電子物性第1スライド4-11-2 運動量の計算 運動量の計算は、 p = 　　　　 h λ を波数kで、 p = hk　 とすれば簡単で、 Ψをxで微分します。 dΨ ｄx すなわち、 = ikei(kx－ωt) =ikΨ です。 ①　運動量は波数kに比例します。 ②　波数kはΨの空間微分で出てきます。 ③　運動量はΨの空間微分から計算可能です。

運動量の計算 運動量の計算 pは、 dΨ ｄx Ψ ｰi となります。 p = h k dΨ ｄx = ikei(kx－ωt) = ikΨ 波があまり立たない。 y 電子が運動していない。 波が立つ x 電子が運動している。 波長は運動量 運動エネルギー 運動エネルギーは、 Ek = mv2 1 2 = (mv)2 2m = p2 ですが、 p2は、 d2Ψ ｄx2 = (ik)2ei(kx－ωt) = ｰk2Ψ 二階微分 より、 Ek Ψ ｰ h2 (hk) 電子物性第1スライド4-11-3 運動量の計算 運動量の計算 pは、 dΨ ｄx Ψ ｰi となります。 p = h　　　　 k dΨ ｄx = ikei(kx－ωt) = ikΨ を使っています。 ①　運動量は波数kに比例します。 ②　波数kはΨの空間微分で出てきます。 ③　運動量はΨの空間微分から計算可能です。

運動エネルギー Ek = mv2 1 2 = (mv)2 1 2m = p2 2m 運動エネルギーは、 d2Ψ ｄx2 ですが、 p2は、 ｰi p = h　　　　 運動量の計算 となります。 運動量の計算 pは、 = ikei(kx－ωt) = ikΨ を使っています。 シュレーディンガーの波動方程式 がシュレーディンガーの波動方程式です。 これを満たすΨが存在する場所に電子がいます。 ｰ h2 2m d2Ψ ｄx2 + V(r)Ψ　= dΨ ｄｔ ih 電子物性第1スライド4-12 運動エネルギー Ek = mv2 1 2 = (mv)2 1 2m = p2 2m 運動エネルギーは、 d2Ψ ｄx2 ですが、 p2は、 二階微分 = (ik)2ei(kx－ωt) = ｰk2Ψ d2Ψ ｄx2 Ψ より、 Ek = p2 2m = 1 2m (hk) 2 = ｰ h2 2m ①　運動エネルギーはΨの２階微分で求めます。

シュレーディンガーの波動方程式 運動エネルギーは、 位置エネルギーを足して全エネルギー ですから、 ｰ h2 2m d2Ψ ｄx2 Ψ Ek = mv2 1 2 = (mv)2 2m = p2 ですが、 p2は、 d2Ψ ｄx2 = (ik)2ei(kx－ωt) = ｰk2Ψ 二階微分 より、 Ek Ψ ｰ h2 (hk) まとめ シュレーディンガーの波動方程式は、 Ψの時間微分から、周波数とエネルギーを、 Ψの空間微分から、運動量、運動エネルギーを それぞれ、求め、電子の所在を解析します。 電子物性第1スライド4-13-1 シュレーディンガーの波動方程式 運動エネルギーは、 位置エネルギーを足して全エネルギー ですから、 ｰ h2 2m d2Ψ ｄx2 Ψ 周波数からの エネルギー + V(r) = ①　運動エネルギー＋ポテンシャルでエネルギー ②　周波数から求めたエネルギーも代入できる。 ③　シュレーディンガーの方程式ができました。

シュレーディンガーの波動方程式 運動エネルギーは、 ですから、 ｰ h2 2m d2Ψ ｄx2 Ψ 位置エネルギーを足して全エネルギー Ek = mv2 1 2 = (mv)2 2m = p2 ですが、 p2は、 d2Ψ ｄx2 = (ik)2ei(kx－ωt) = ｰk2Ψ 二階微分 より、 Ek Ψ ｰ h2 (hk) まとめ シュレーディンガーの波動方程式は、 Ψの時間微分から、周波数とエネルギーを、 Ψの空間微分から、運動量、運動エネルギーを それぞれ、求め、電子の所在を解析します。 電子物性第1スライド4-13-2 シュレーディンガーの波動方程式 運動エネルギーは、 ですから、 ｰ h2 2m d2Ψ ｄx2 Ψ 位置エネルギーを足して全エネルギー + V(r) = dΨ ｄｔ Ψ ih ですが、これにΨを掛けて、 ①　運動エネルギー＋ポテンシャルでエネルギー ②　周波数から求めたエネルギーも代入できる。 ③　シュレーディンガーの方程式ができました。

シュレーディンガーの波動方程式 ｰ h2 2m d2Ψ ｄx2 + V(r)Ψ = dΨ ｄｔ ih がシュレーディンガーの波動方程式です。 運動エネルギー 運動エネルギーは、 Ek = mv2 1 2 = (mv)2 2m = p2 ですが、 p2は、 d2Ψ ｄx2 = (ik)2ei(kx－ωt) = ｰk2Ψ 二階微分 より、 Ek Ψ ｰ h2 (hk) まとめ シュレーディンガーの波動方程式は、 Ψの時間微分から、周波数とエネルギーを、 Ψの空間微分から、運動量、運動エネルギーを それぞれ、求め、電子の所在を解析します。 電子物性第1スライド4-13-3 シュレーディンガーの波動方程式 ｰ h2 2m d2Ψ ｄx2 + V(r)Ψ　= dΨ ｄｔ ih がシュレーディンガーの波動方程式です。 これを満たすΨが存在する場所に電子がいます。 ①　運動エネルギー＋ポテンシャルでエネルギー ②　周波数から求めたエネルギーも代入できる。 ③　シュレーディンガーの方程式ができました。

まとめ シュレーディンガーの波動方程式は、 Ψの時間微分から、周波数とエネルギーを、 Ψの空間微分から、運動量、運動エネルギーを スライドを終了します。 がシュレーディンガーの波動方程式です。 これを満たすΨが存在する場所に電子がいます。 ｰ h2 2m d2Ψ ｄx2 + V(r)Ψ　= dΨ ｄｔ ih シュレーディンガーの波動方程式 電子物性第1スライド4-14 まとめ シュレーディンガーの波動方程式は、 Ψの時間微分から、周波数とエネルギーを、 Ψの空間微分から、運動量、運動エネルギーを それぞれ、求め、電子の所在を解析します。 ①　Ψの微分演算を工夫して波動方程式を作りました。